1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2010）考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.一、 计算下列各题（共 20 分，每小题各 5 分，要求写出重要步骤）.(1) 求极限 .12lim()sinnkk(2) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，22axdyzadxy22zayx.0a(3) 现要设计一个容积为 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积 元，V a而侧面的材料费为单位面积 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何b值时所需费用最少？(4) 已知 在 内满足 ，求 .()fx1,42331()sincofxx()f二、 （10
2、 分）求下列极限(1) ； (2) , 其中 .1limnne11lim3nnab0,abc三、 （10 分）设 在 点附近有定义，且在 点可导， . 求()fx1x(1),()2ff.20(sincoltaxf四、 （10 分）设 在 上连续，无穷积分 收敛. 求 .()fx0,)0()fxd01lim()yyxfd五、 （12 分）设函数 在 上连续，在 内可微，且 . ()f,1(,1)(0),2ff证明：(1) 存在 使得 ；(2) 存在 使得 .,2()f(,)()1ff六、 （14 分）设 为整数， 1n.20()1.!nxtttFed证明: 方程 在 内至少有一个根.()2nx,七、 （12 分）是否存在 中的可微函数 使得 ？若存1R()fx2435()1fxx在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.八、(12 分) 设 在 上一致连续，且对于固定的 ，当自然数 时()fx0,0,)n. 证明: 函数序列 在 上一致收敛于 0.(fxn():1,2.fxn
