1、试题研究解题技巧敦学教学通讯(中等教育)投稿邮箱：sxjkvip163com朱建波江苏沛县中学221600舅一黛芸篡嚣椭籼籼黼躺，点氕戳了触蹲腻糊瞄关键词：椭圆；双曲线；离心率；思路剖析离心率e是刻画圆锥曲线性质的重要参数求圆锥曲线离心率的值或范围的问题在全国各省市高考试题中屡见不鲜在各地的调研试题中也每每出现解决此类问题。需要认真审核从题目信息，从所给的数式与图形中，构造关于三个量口。b。c的等量关系或不等关系从而找到解题方向但是学生在处理这类问题的部分试题时经常束手无策笔者认为：此类问题并非无迹可寻而是有法可依现选取部分高考试题。给出几种思路或方法。并加以解析与点评以期能为同行与学生提供参
2、考Q剪定义法利用定义求解e倒1(2011年福建卷理科第7题)设圆锥曲线C的两个焦点分别为R，B，若C_E存在点P满足I矾l：I FIRI：I踢l-4：3：2求圆锥曲线C的离心率解析：由题意*-fi雯I隅I-4k，IE尼l=3七，lPF2l=2k，矗娥若c为椭圆，由椭圆的定义可得l隅l+fPF2I=2a=6k，黜la=3k而IE足I-3k=2c，得c=委七，所以e=三=了1若c为双曲线，由双曲线的定义可得I矾llPF2l l=2I仁2_j，勋la=k而IR|-3扣2c，得c=詈七，所以e-詈3詈综上，圆锥曲线C的离心率为土或三评注：圆锥曲线的教学是围绕着定义展开的定义准确地揭示了圆锥曲线这一概念
3、内涵因此定义法应当是解决离心率问题的基本策略本题中根据点P的特殊位置利用定义分别列出等量关系迅捷地达到了求解的目的当然我们除了应重视圆锥曲线的具体定义外。还应关注圆锥曲线的统一定义，即根据已知条件选取对应的焦点与准线构造圆锥曲线的统一定义，从而解决问题以下例2就是利用圆锥曲线的统一定义解题的范例倒2(2010年全国卷I理科第16题)已知难椭圆C的一个焦点，曰是短轴的一个端点线段引P的延长线交椭圆c于点D，且藤2而，则椭圆c的离心率为一一 ：厂 汾。弋 彰7解析：如图1，IBFl=、佰茸孑=口，作DD坍彻一岫藤疡滑器=器=詈，M IDO-I=乏3 10mI_c3即菇庐詈又由圆锥曲线的统一定义可得
4、I刃I=e兰2 11一翌2a，x由IBFI=21FDI，得泸弘望，所她宰评注：定义是数学概念之本是解决数学问题的重要依据，回归定义，应用定义法解题是不容忽视的重要方法之一(固。坐标法通过求定点坐标解e值倒3(2009年江苏卷第13题)在平面直角坐标系菇0，中，A。，A 2，B。，B2为椭圆薯+岳=1(D6o)的四个顶点，肋其右焦点，直线A。B2与直线B。瑚交于点r，线段OT与椭圆的交点肘恰为线段0r的中点，则该椭圆的离心率为一vJB2 取r。i夕A八0 拦z；Bl图2解析：如图2，易得A，(一口，0)，B1(0，一b)，B2(0，b)，F(c，0)，直线AlB2的方程为bxay+ab=O，直线
5、日lF的方程为6戈-c)，一bc=O联立直线AIB2和直线B，F的方程可求得点r的坐标为f丝，望堕堕1，点肘的坐标为(三，罴)，橼肘的坐万方数据投稿邮箱：sxjkvip163corn数学教学遥讯(中等lllllf)试觏愧俩匦技巧标(告，等卜曲线方程告唔=口2c2 62(叶c)21(。6o)有尘+掣：1，即e2+lOe一3-0，可求得e=2、可一5评注：标准方程是圆锥曲线的量化体现，&M(xo，Yo)在圆锥曲线上除了满足圆锥曲线的定义外其坐标也满足曲线的方程例3借助直线的方程、中点坐标公式、圆锥曲线的性质等基础知识通过计算，直接用口，b，c刻画定点肘的坐标后，将其代入曲线方程从而解出e值 因此，
6、通过求定点坐标，找出口与c的关系。也是解决离心率问题的有效途径之一例4 (2012年浙江卷理科第8题)已知，I，2分别是双曲线c：吾一吾=1(口，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点。直线FIB与C的两条渐近线分别交于PQ两点，线段用的垂直平分线与石轴交于点麒若IMF2J-lEF2I，则c的离心率是 ，。 必渡7 弋；圈3解析：如图3，易得fOBl=b，IOF,I=c所以|胪鱼，l|胪一旦直线PQ的方程为，：鱼(并+c)，两条渐近线的方程为辟鱼氩由a得Q f旦，旦1；由C-a Ca ib，、)，2L并+c)，Cb，=一茹nP(署，兰C 1I可叫害b，针b所以C+口 +o 直线删的方程妒等一詈卜害
7、)令产喊庐乏 又lJIfRl-I FlRl=2c，所姚C2-矿，解之得e2=吾=寻，即、6e=一2评注：这道题也是由直线的方程、中点坐标公式、双由线的性质等基础知识，。直接求出定点M的坐标再结合题目条件列出口与c的奇次式从而求出离心率j(翁有界法利用有界性求e的范围圆锥曲线具有有界性点P(x。，yo)为椭圆要+丢=1(础o)上任意一点，FaY 6为其中一个焦点则椭圆中主要包含两类有界性问题：一类为一口粕8，-byoo)的右焦点为1 2I旷DF。其右准线与省轴交于A点。在椭圆上存在点尸满足线段AJP的垂直平分线过点F则椭圆的离心率的范围为一，。 LP ， 渊V弋7 夕Al；解析1：如图4，设P(
8、，yo)，由圆锥曲线的统一定义得型牟：盟：三，I明l兰叫。口所以IPFl铷叫粕由IPFI=IAFI得口一e菇庐!叶，b手xo=a(ac-a2+c2)一由川戈口即口_a(ac-a2+c2)6o)的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线z的倾斜角为60。，刑毫2赢，求椭圆C的离心率y。，。 叫弋勿j圈5解析：如图5，设A，B的坐标分剐为(茗。，Y1)，(石：，y2)，结合刑已2商，直线z的倾斜角为60。，可知”0，直线Z的方程f产、丁(算_c)，为)，2订(纠)，联立k：1Ib2可得(3ab2)2、了bYy一3b4=0，鲤攫x3 b2(c+2口)解的l=一铲舻X3ibFZ(2a-c
9、)又捷2商，所以功：瓦矿M忙刖”功2轨，解得e=三=善评注：对于这类“硬算型”问题应紧扣题目的已知条件，找准出发点。构造方程或方程组，层层递进，步步为营例6就是紧紧围绕计算A。曰的横、纵坐标展开的此类题目思路非常清晰计算过程较为复杂，但设计十分精巧，能够应用方程思想解决是一道考查学生基本能力的好题数形结合法通过数形结合求e倒7(2012年四川卷文科第15题)(下转第49页)47得L石茹k。口=yy万方数据投稿邮箱：sxjkvip163tom一一-一一一-一-一一群蠢障鼍I讯(中等辅)-一-一-一一-一。试题研究)解题技巧所以二!二迎0，进而得到此时啦不 +卦-2 2 存在，于是得到结论二生孑三
10、0，所以a,-O 翔用常见结论进行传递(3)“-3 o22(鲁+了d3+A=暖1啦=(砚+4口1)口2因为矾+oa+a3-0，所以aI蜘乒吨， 6。铆2，设d：11 l、6- 、62 Vb +封Y-a3O， (nE N+)，所-z4as+a2=(aI+口2)+3口I3aIoR-a22(手+亨+ 点评：本题将先将出表示成2(鲁+0，所以此时m不存在+鱼1(改编自高三考试题) 鲁+：)一(磐1-圭，)+1tb“J情综合(1)(2)(3)知半a2as传递得到吻0，然后对口2进行 2)，所以磷毽，：2尘一三 上+土放大为1-!再将1一上放大讨论，其中当azO-ga4#O，将式-T-al口i= 32 9
11、2 ，l n啦嘲变形为嘞=华，再利用口l啦得由(鹰-)+(tq乙)+(鹰瑙)2为1。最后利用两个常见结论土k2砚，从而得到m的部分取值范 ! 和1一! 矿54、了)的左焦点为F。直线茗=m与椭圆相交于点A，B，AFAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是一y L m仁 习 A 岁 二B圈6解析：如图6可设椭圆的右焦点为F，连接FA，F曰，则AFAB的周长Z=lE4 I+l，曰I+IA曰IIFA I+I，曰I+lFA l+lFBl=4a=12(当且仅当A，F，麒线时“=”1成立)此时a=3。则离心率e=三倒8 (2008年江西卷理科第7题)已知只，既是椭圆的两个焦点满足砀寸础的点M总在椭圆内
12、部，则椭圆的离心率的取值范围是一y J日1仍 永。迅4 幺；图7解析：因为丽寸丽才=0，结合图7，点If的轨迹是以E最为直径的圃且内含于椭圆。由图易得bc，lltbZ-_a2c2c2，解得!三2评注：例7通过构造AFAB，利用两边之和大于或等于第三边这个性质从而求出口的值进而确定e该题综合性较强。有一定的难度例8这道题从丽亓丽露匈入手，构造以Fl尼为直径的圆，建立相应关系进而求解以上两题应用数形结合。列出所需关系。化繁为简，变难为易达到了事半功倍的效果高考试题中圆锥曲线离心率问题是一类既常见又有一定综合性的题目该类题目涉及面广题目条件又具多样性，如何根据图形与条件，找出关系。寻求规律。要求学生对知识的广阔性、系统性有深刻的理解要求学生具备扎实的基本功和较好的数学素养这需要数学教师在教学中想方设法、千方百计启迪学生的思维。开发学生的潜能。提升学生的能力。从而全面提高学生的综合素质这才是新课程改革所期望的也是我们每个数学教育工作者的不懈追求万方数据高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析作者： 朱建波作者单位： 江苏沛县中学 221600刊名： 数学教学通讯英文刊名： SHUXUE JIAOXUE TONGXUN年，卷(期)： 2013(24)引用本文格式：朱建波 高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析期刊论文-数学教学通讯 2013(24)
