1、1陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学（五校）2014 届高三数学第三次模拟试题 文 北师大版注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，总分 150 分，考试时间120 分钟2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上3.选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效第 I 卷（选择题 共 50
2、 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.若复数2()(3)mi是纯虚数，则实数 m的值为( )(A)0或 2 (B) (C)0 (D)1或 22.已知集合 1Ax,1|()2xB,则 RAB( )(A) )1,2( (B) 2( (C) )0( (D) 0,13等差数列 na中，如果 14739a， 6927a，则数列 na前 9 项的和为( )(A)297 (B)144 (C)99 (D)664.圆 022yx上的点到直线 yx的距离最大值是( )(A)2 (B)1+ (C) 21(D)1+ 25.某班的全
3、体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )(A)45 (B)50 (C)55 (D)606.若下框图所给的程序运行结果为 35S，那么判断框中应填入的关于 k的条件是( ) 2(A) 7k (B) 6k (C) 6k (D) 6k 7.下列命题正确的个数是 ( )命题“200,13xRx”的否定是“2,13xRx”；函数2()cosinfa的最小正周期为 ”是“ a”的必要不充分条件； 2x在 ,x上恒成立 mxin2)()(x在 ,2上恒成立；“平面向量 a与
4、b的夹角是钝角”的充分必要条件是“ 0b”.(A)1 (B)2 (C)3 (D)48.已知 ABC外接圆 O的半径为 1，且12AOB 3C，从圆 O内随机取一个点 M，若点 取自 内的概率恰为34，则 的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形9.双曲线21(0,)xyab的左、右焦点分别是 12F， ，过 1作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 点，若 2MF垂直于 x轴，则双曲线的离心率为( )(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D)10.定义域为 R的函数 ()fx满足 ()(ffx，当 0,2)时，23|,01,()2)xf若当 4,2
5、)x时，函数21()4tfx恒成立，则实数t的取值范围为( )(A)23 (B)13t (C)1t (D) t第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .312.若目标函数 2zkxy在约束条件21xy下仅在点 (,)处取得最小值，则实数k的取值范围是 .13.函数 sin(34cos)(yxR的最大值为 M，最小正周期为 T，则有序数对(,)MT为 .14.观察下列等式：123；781023；167920393；则当 nm且 ,N时，1nm.（最后结果用 表示）
6、15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(A)（不等式选讲选做题）己知 ,(0,)xy，若 3xykx恒成立，利用柯西不等式可求得实数 k的取值范围是 .(B)（几何证明选讲选做题）如图， PA切圆 O于点 ，割线PBC经过圆心 O， 1B， 绕点 逆时针旋转 60到D，则 的长为 .(C)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆 C的极坐标方程为24cos()103，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系 xOy，则在直角坐标系中，圆心 C的直角坐标是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共
7、 75 分）16.（本小题满分 12 分）已知函数2()sin2)cos16f x.（）求函数 ()fx的单调增区间；（）在 ABC中， abc、 、 分别是角 ABC、 、 的对边，且11,2,()abcfA，求 的面积.17.（本小题满分 12 分）为了解某市的交通状况，现对其 6 条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：4FDEC1 B1A1C BA（）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（）用简单随机抽样方法从这 6条道路中抽取 2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对
8、值不超过 5.0的概率.18.（本小题满分 12 分）设数列 na的前 项和为 nS，且 4nap，其中 是不为零的常数（）证明：数列 n是等比数列；（）当 3p时，数列 b满足*1()nnbaN， 12b，求数列 nb的通项公式19.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 1ABC中，侧棱 1A平面 ，ABC为等腰直角三角形， 90，且 ,DEF分别是 1,B的中点.（）求证： /DE平面 AB； （）求证： 1平面 A；（）设 a，求三棱锥 EF的体积.20.（本小题满分 13 分）已知椭圆2:(0)xyCab的短半轴长为 1，动点 (2,)Mt0在直线2c（ 为半焦距）上（）求椭圆的标准方
9、程；（）求以 O为直径且被直线 3450xy截得的弦长为 2的圆的方程；（）设 F是椭圆的右焦点，过点 F作 OM的垂线与以 为直径的圆交于点 N，求证：线段 N的长为定值，并求出这个定值21.（本小题满分 14 分）已知函数32()fxaxbc在 (,0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数 ()f在 R上有三个零点，且 1是其中一个零点（）求 b的值； （）求 2f的取值范围；（）设 ()1gx，且 ()xg的解集为 (,)，求实数 a的取值范围评估的平均得分 (0,),8,10全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀5长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高 2014 届
10、第三次模拟考试数学（文）答案第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C C B B D B B A B第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）15题号 11 12 13 14A B C答案 43(,2)(4,)2mn10k7(1,3)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16.（本小题满分 12 分）
11、【解析】 （） ()fx2sin2)cos16x=3sin2cos2xx=31sin2co=i). -3 分函数 ()fx的单调递增区间是,()36kkZ.-5 分（）12f，1sin()2A.又 0A， 366.52,故. -7 分在 ABC中，1,2,3abcA， 21osbc,即 4bc. . -10 分6 ABCS13sin.24bc-12 分17.（本小题满分 12 分）【解析】 （）6 条道路的平均得分为5.7)1098765(1.-3 分该市的总体交通状况等级为合格. -5 分（）设 A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 5.0”. -7分从 6条道路中抽取 2条
12、的得分组成的所有基本事件为： )6,5(， 7,， )8,(， 9,，)10,5(， 7,， )8,6(， 9,， )10,6(， 8,7， 9， 10， ， 10，9，共 个基本事件 -9 分事件 A包括 ),5(， 10,， )8,6(， 9,， )10,6(， 8,7， )9,(共 7个基本事件，7P 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 5.0的概率为 17.-12 分18.（本小题满分 12 分）【解析】 （）证明：因为*4()nSapN,则*14(,2)nSapnN，所以当 2n时， 11nnn，整理得 13n-4 分由 4nSap，令 ，得 14a，解得 1pa所以 n
13、是首项为 3，公比为 的等比数列 -6 分（）当 p时，由（）知，则14()3na，7由 1(1,2)nnba ，得114()3nnb， -8 分当 2时，可得 )(123 nbb1)34(1)(nn， -10 分当 n时，上式也成立数列 nb的通项公式为1*43()()nnbN -12 分19.（本小题满分 12 分）【解析】 （）取 AB中点 O，连接 ,CD， 11/,2DO， /,E.四边形 CE是平行四边形. /，又 ,ABCAB平 面 平 面 ， 平面 AB. -4 分（） F是等腰直角三角形 斜边 的中点， FC.又三棱柱 1C是直三棱柱，面 AB面 1. A面 B， 1AF.设
14、 1，则 1163,22E.2BFE. 1BF.又 A， 1平面 AE. -8 分（）点 D是线段 的中点，点 D到平面 F的距离是点1B到平面 AEF距离的 2.8而221 6()BFaa，三棱锥 DAEF的高为64a；在 RtAEF中，3,EA，所以三棱锥 的底面面积为28，故三棱锥DF的体积为23161846aa. -12 分20.（本小题满分 13 分）【解析】 （）由点 (2,)Mt在直线2axc上，得2，故21c， 1c 从而 2 -2 分所以椭圆方程为2xy -4 分（）以 OM为直径的圆的方程为 (2)()0xyt即22(1)()14txy 其圆心为1,半径214tr-6分因为
15、以 O为直径的圆被直线 350xy截得的弦长为 2，所以圆心到直线 3450xy的距离21tdr 所以25tt，解得 t所求圆的方程为22()()5xy-9 分（）方法一：由平几知：2ONKM，直线 :OM2tyx，直线 :F(1)yxt，9由2(1)tyxt得 24Kt -11 分2222 4|()()(1)24KMtttONxx 所以线段 的长为定值 -13分方法二：设 0(,)xy，则 001,(2,)(2,),(,)FNOMtNxytONxy00(xyt -11分又20000,(2)(), 2txyxty所以，2ONxy为定值 -13分21.（本小题满分 14 分）【解析】 （）f（x
16、）=x3+ax2+bx+c， 23fxaxb-1 分f（x）在在 (,0)上是减函数，在 (0,1)上是增函数，当 时， fx取到极小值，即 f 0b-3 分（）由（）知，32()fac， 1是函数 x的一个零点，即 (1)0f， 1a-5分 230fxax的两个根分别为 1x， 23又 ()在 ,1上是增函数，且函数 ()f在 R上有三个零点，10 213ax，即32 -7 分5()84()72fa故 (2)f的取值范围为5(,)2 -9 分（）解法 1：由（）知 321fxa，且32a 是函数 ()f的一个零点， ()0f， gx， 1g，点 (1,0)是函数 ()fx和函数 ()x的图像的一个交点 -10 分结合函数 f和函数 的图像及其增减特征可知，当且仅当函数 ()fx和函数()gx的图像只有一个交点 (1,0)时， ()fxg的解集为 (,1)即方程组32yxa只有一组解： 0.xy-11 分由 321，得 3211xa即 x即 220ax 1x或 -12 分由方程 2x得22147aa32a，当 0，即 270，解得1-13 分此时方程无实数解，方程组只有一个解,0.xy
