1、人口模型,微分方程模型,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,求出方程的解求出未知函数的解析表达式利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求近似解 不必求出方程的解根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势,把未知变量表示为已知量的函数跟已知量的导数有关,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的
2、单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,离散化为连续，方便研究, 4.1 Malthus模型与Logistic模型,美丽的大自然,哇！, 4.1 Malthus模型与Logistic模型,模型1 马尔萨斯（Malthus）模型,假设：人口净增长率r是一常数,符号：,则,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固
3、定的。,（4.2）,当r0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人口指数模型。,模型检验,用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作单位），对模型作检验。,参数估计：,r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计,（4.2）,（4.2）式两边取对数，得：,（4.3）,以17901900年的数据拟合（4.3）式，用Matlab软件计算得：r0.2743/10年，,Matlab计算示范,以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=0：11； %输入数据 x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76; p
4、lot (t, x, o); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1),（4.3）,输出结果：,表示：,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 计算并作图，观察并分析结果。,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x),r(x)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方
5、法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(x)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(4.6)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为xm（近似地将xm看成常数），x表示当前的种群数量，xm-x恰为环境还能供养的种群数量，（4.6）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统
6、计规律，得到了实验结果的支持，这就是（4.6）也被称为统计筹算律的原因。,图4-1,对（4.6）分离变量：,两边积分并整理得：,令x(0)=x0，求得：,易见：,x(t)的图形请看图4.1,练习二：（1）用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格4-1；（2）对计算出来的结果和原始数据进行比较（可通过画图等方式），并予以解释。,模型检验,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长
7、速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，x(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合，见图4.2。,图4-2,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4.4）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,
8、Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。,例5 赝品的鉴定,在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范梅格伦（HAVanmeegren），此人曾将17世纪荷兰名画家扬弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。可是，范梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还
9、说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。,然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制
10、“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦（Carnegie-Mellon）大学的科学家们 基本上解决。,为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学
11、家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。,原理,著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：物质的放射性正比于现存物质的原子数。,设 时刻的原子数为 ，则有,为物质的衰变常数。,初始条件,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出，只要知道 就可算出,这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。,断代。,油画中的放射性物质,白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之
12、一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。,（放射性）,（无放射性）,假设,（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。,（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别
13、的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。,建模,设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，,为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。,为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量,求解,均可测出。,可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。,矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。,测定结果与分析,若第一幅画是真品，,铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。,同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。,新产品的推广,经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建
14、立一个数学模型来描述它，并由此析出一些有用的结果以指导生产呢？以下是第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭煲销售模型。,设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，于是由统计筹算律：,记比例系数为k，则x(t)满足：,此方程即Logistic模型，解为：,对x(t)求一阶、两阶导数：,容易看出，x(t)0，即x(t)单调增加。,在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降。,所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有20%用户到有80%用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果。,
