1、- 1 -江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考数学（理）试卷第卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知集合 ，则 （ ）10xMRMC.Ax.B1x.C1x或 .D或2、已知 ，其中 是实数， i 是虚数单位，则 =（ ）1abii,a|abi.3.2.5.53、函数 的图象在原点处的切线方程为（ ）3yx不存在 .A.B0x.C0y.D4、函数 的值域不可能是（ ）2lg()a.(,0.,.1,).R5、实数 满足 ，若 恒成立，则 的取值范围是（ xy1()26)0yx2tyx
2、t）.A13t.B5t.C13t.D5t6、如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的 是( )T.A1.B2.C3.D47、已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一2F、 21(0,)xyab2F条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 ，若点 在以线段 为直径的圆外，M1则双曲线离心率的取值范围是( ).A1,.B(3,).C(3,2).(,)8、已知 ，其中 为常数. 的图象关于直线 对称，则()sin2cosfxaxafx6x在以下区间上是单调函数的是( )f.A31,56.B71,23.C1,63.D10,29、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为（ ）
3、 222俯视图2 211正视图3侧视图- 2 -.A9.B283.C8.D710、已知焦点在 轴上的椭圆方程为 ，x214xya随着 的增大该椭圆的形状（ ）a越接近于圆 越扁 .A.B先接近于圆后越扁 先越扁后接近于圆 CD11、坐标平面上的点集 满足 ，将S244(,)|log()sin2cos,8xyxy,-点集 中的所有点向 轴作投影，所得投影线段的长度为（ ）Sx1 2.A.B352.C87.D12.已知函数 , ，若对任意的 ,存在实数 满足1ln)(xf *)()Nkxg1cba,，使得 ，则 的最大值为( )0abcbaf.A2.B3.C4.D5第卷 (非选择题)二、填空题(本
4、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填入答题纸相应位置)13、在 中， ，则 .CA3,20abAcosB14.已知 是定义在 上周期为 的奇函数，当 时， ，则()fxR4(0,2x2()logxf.2015f15、从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是 .16、如图所示，在 中， 与 是夹角为 的两条直径，OABCD60分别是 与直径 上的动点，若 ，,EF 0OEBFAC则 的取值范围是_三、解答题（共 6 小题，共 70 分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17、(本小题满分 12
5、 分)某校随机调查了 80 位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：A BCDOEF- 3 -（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3 名学生.设这 3 人中爱好羽毛球运动的人数为 ，求 的分X布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附： 2()(nadbc18、(本小题满分 12 分)已知数列 为等差数列，首项 ，公差 .若 成等比数列，且na1a0d123,nbbaa ，1b， .235(1)求数列 的通项公式 ；nnb(2)设 ，求和 .(21)clog123452121nnTcccc19
6、、(本小题满分 12 分)在三棱柱 中，侧面 为矩形， ， ， 是 的中点，1ABC1ABAB1D1A与 交于点 ，且 平面 .D1O(1)证明： ；(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.DC20、(本小题满分 12 分)已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于点 ，当直线2:(0)CxpyFlC,AB的倾斜角是 时， 的中垂线交 轴于点 .l45ABy(0,5)Q（1）求 的值；（2）以 为直径的圆交 轴于点 ，记劣弧 的,MNA长度为 ，当直线 绕 旋转时，求 的最大值.SlFS21、(本小题满分 12 分)已知函数 ,三个函数的定义域均为集合ln,(),()auxxvwx.
7、|1A=（1）若 恒成立，满足条件的实数 组成的集合为 ，试判断集合 与 的关系，()v BAB并说明理由；爱好 不爱好 合计男 20 30 50女 10 20 30合计 30 50 80 2()pk0.100 0.050 0.0102.706 3.841 6.635xyQABFM NOBACD11B1CO- 4 -（2）记 ，是否存在 ，使得对任意的实数()()()2wxGxuxvmN，函数 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 ；若不,am m存在，说明理由.（以下数据供参考： ）.7183,ln(2)0.814e请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按
8、所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22、（本小题满分 10 分）选修 41:几何证明选讲.如图， 的 半径为 6， 线段 与 相交 于点 、 ， ， ， 与OABOCD=4ABOA 相交于 点 .E（1）求 长；BD（2）当 时， 求证： .C AEODCB23、（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系 xoy中，以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐l标方程为 ，曲线 的参数方程为 .42cosiny（1）写出直线 与曲线 的直角坐标方程；lC（2）过点 M 平行于
9、直线 的直线与曲线 交于 两点，若 ，求点 M 轨迹的l ,AB83B直角坐标方程.24、（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲.已知函数 .()23,()12fxaxgx(1)解不等式 ；5g(2)若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1R212()fga江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考数学（理）试卷答 案一、CDCAB CDBBA DB12、分析：易知 ,即 恒成立，()g()fcbclnc1k, . 令 , ,ln1ckpy xObac1kx1lnxy- 5 -则 .221ln1lnl() 1cccpc令 , ,2lq， ()0qc递增, . ()c()1
10、c又 , , ,3ln042ln存在 ,使得 ，即0c()qc00lc当 时, , 递减，当 时, , 递增.1p()0qpc代入得00minln()()1cpc02lnc000in 0l()() 03kc易知 ，当 时可证明 .1ae3k()()fagbamax二、13 14.-2 15. 16. 22323,16、解：设圆的半径为 ，以 为原点， 为 轴建立直角坐标系，则rOBx13(,0),)2BrC设 ，(cos,in)E3(,)(1)2FCr21OACr()cossin2OEB()cos3in2(3)132,三、17、解：(1)任一学生爱好羽毛球的概率为 ，故 2 分8X(,)8B0
11、3512()(8PXC1235()()PC237X- 6 -的分布列为X8 分398E（2） 10 分20(2130)8.3562.705故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. 12 分18、解：(1) 22152()1(4)4=0addd或 （ 舍 去 ）3 分12,3.bbq, 6 分1()n nbnna132nb(2) 7 分321nclog435657212()()()()n nnTccc12 分22n)19、解：(1)由题意 ， ，2tanADB112tanAB又 ， ， ，0AD121，1 12B， .又 ， ，2O1B1COAB平 面 1CO与 交于点 ， ，又 ， .6
12、 分DC1AD平 面 D平 面 1AB(2)如图，分别以 所在直线为 轴，以 为坐标原点，建立如图所示的空, ,xyz间直角坐标系 ，则 ， ,Oxyz236(0,)(,0)B236(,),(0)C，263(,),(,),(,)3ABACDX012 3P5571- 7 -设平面 的法向量为 ，ABC(,)nxyz则 ，即 ，0n2630yx令 ，则 ， ，所以 .1yz2x2(,1)n设直线 与平面 所成角为 ，则CDAB63(,0)(,1)2sinco,|n，6230()(1535所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .12 分CDAB1520、解：（1） 当 的倾斜角为 时， 的方程为(0,
13、)2pFl4l2pyx设 得12(,)(,)AxyB2pyx220xp得 中点为 3 分121212, 3pAB3(,)D中垂线为 代入得 6 分AB3()yxp0x52yp2（2）设 的方程为 ，代入 得lk2440kx中点为1212()yxkAB2(,1)Dk令 8 分MDNSABS到 轴的距离 x21Ek- 8 -10 分 当 时 取最小值221cos1DEkkAB20kcos12的最大值为 故 的最大值为 .12 分3SAB321.解：(1) .1()ln().ln,uxvaxxmxx易知 在 上递减， 6 分1lnm(,)存在 ，使得 ，函数 在 递增，在 递减0(,)x0x()x0
14、1,0+x，. 由 得0a0()m0ln00011()mxx6 分aBA(2) .()()()ln,() ,(1)2awxafxuwxxgvx令 ，由于21ln0,1, 0,mf，由零点存在性定理可知： 函数 在定义域内有且,()xf1a()x仅有一个零点8 分 ， ，同理可2()10,(1)agx3(0,2g,()g知 函数 在定义域内有且仅有一个零点9 分,g 假设存在 使得 ，0x00fx消 得200lnlaxa002ln1x令 2()ln1h2214()()hxx递增 ()x432()lnl0(1)0.8405 3he- 9 -02,1x此时 0018,2254ax所以满足条件的最小整
15、数 12 分m22、解：（1） OC=OD， OCD= ODC， OAC= ODB BOD= A， OBD AOC ，ACODB OC=OD=6， AC=4， ， BD=95 分46BD（2）证明： OC=OE， CE OD COD= BOD= A AOD=180 A ODC=180 COD OCD= ADO AD=AO 10 分23、解：（1）直线 曲线 4 分:lyx2:1xCy（2）设点 及过点 M 的直线为0,xy012:txly由直线 与曲线 相交可得： 1lC220003txtxy，即：20883xyMAB206表示一椭圆8 分26xy取 代入 得：m21xy22340xm由 得03故点 M 的轨迹是椭圆 夹在平行直线 之间的两段弧10 分26xy3yx24.解(1)由 得15125x得不等式的解为 5 分73x4x- 10 -(2)因为任意 ，都有 ，使得 成立，1xR2x12()fxg所以 ，|()|()yfyg又 ，()23| 3)|fxaxaxa，所以 ，解得 或 ，|1|g|215所以实数 的取值范围为 或 .10 分15
