1、考点一 空间几何体的结构特征,考点清单,考向基础,考向突破 考向 空间几何体的结构特征,例 (2018江苏建湖中学检测)下列结论正确的是 . (1)各个面都是三角形的几何体是三棱锥; (2)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成 的曲面所围成的几何体叫圆锥; (3)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥; (4)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.,解析 (1)错误,图是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体, 它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;(2)错误,如图,若ABC不是 直角三角形,或ABC是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线
2、,所 得的几何体都不是圆锥;(3)错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六 棱锥,易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.易知(4)正 确.,答案 (4),考点二 表面积,考向基础,考向突破 考向 与表面积有关的计算,例 (1)(2018江苏启东期末)若圆锥底面半径为2,高为 ,则其侧面积为. (2)(2019届江苏泰州中学检测)一个圆锥的表面积为,它的侧面展开图 是圆心角为120的扇形,则该圆锥的高为 .,解析 (1)由题意知圆锥的母线长l= =3, 所以其侧面积为23=6. (2)设圆锥底面半径是r,母线长为l, 所以r2+rl=,即r2+rl=1. 根据圆锥与其侧面展开图的关
3、系及题意知 = , 即l=3r,所以r= ,l= , 故圆锥的高为 = .,答案 (1)6 (2),考点三 体积,考向基础 (1)长方体的体积公式是V=abc,正方体的体积公式是V=a3.圆柱的体 积公式是V=r2h.柱体的体积公式可以统一为 V柱=Sh ,其中S为底 面积,h为高. (2)圆锥的体积公式是V= r2h,棱锥的体积公式是V= Sh.锥体的体积公 式可以统一为 V锥= Sh ,其中S为底面积,h为高.,考向突破 考向 与体积有关的计算,例 (1)(2019届江苏启东中学周练)已知正六棱锥P-ABCDEF的底面边 长为2,侧棱长为4,则此六棱锥的体积为 . (2)(2018江苏海门
4、中学最后一卷)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面 ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=3,点E为棱CD上一点,若三棱锥E- PAB的体积为4,则PA的长为 .,解析 (1)由题意得正六棱锥P-ABCDEF的高为 =2 ,所以六棱 锥的体积V= 2 =12. (2)由题意可知SPAB= PAAB=PA,点E到平面PAB的距离为3, 所以由三棱锥的体积公式可得 PA3=4,则PA=4.,答案 (1)12 (2)4,方法一 空间几何体表面积的求解方法 1.公式法:对于规则几何体的表面积,直接应用公式求解. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给的几何体分割成基本的柱、 锥、台体,先求简
5、单几何体的表面积,再通过求和或作差,从而获得所给 几何体的表面积. 例1 底面边长为2,高为1的正四棱锥的侧面积为 .,方法技巧,解析 正四棱锥的底面边长为2,高为1,则侧高为 = ,所以该正 四棱锥的侧面积为4 2 =4 .,答案 4,方法二 空间几何体体积的求解方法 1.公式法:直接根据相关的体积公式计算. 2.等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积 计算更容易,或是求出一些体积比等. 3.割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转 化为可计算体积的几何体.,例2 已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的 中
6、点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为 .,解析 解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作O1 HB1D于H.易知EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF, 所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1 EDF的距离. 易知平面B1D1D平面B1EDF,又平面B1D1D平面B1EDF=B1D,所以O1H,平面B1EDF,所以O1H的长等于四棱锥C1-B1EDF的高. 因为B1O1HB1DD1,所以O1H= = a. 所以 = O1H= EFB1DO1H= a a a= a3. 解法二:连接EF,B1D.
7、设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1= a.由题意得, = + = (h1+h2)= a3.,答案 a3,方法三 与球有关的切、接问题的求解方法 1.球与正方体,长方体的切、接问题,利用体对角线和面对角线和直径的 关系解决. 2.球与侧棱互相垂直的三棱锥的切、接问题,考虑补形,转化成正方体和 长方体解决. 3.球与旋转体的切、接问题,考虑轴截面,构造直角三角形解决. 4.几个与球有关的切、接常用结论. (1)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球: 外接球:球心是正方体的中心,半径r= a(a为正方体的棱长);,内切球:球心是正方体的中心,
8、半径r= (a为正方体的棱长); 与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= a(a为正方体的 棱长). (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R= . (3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分). 外接球:球心是正四面体的中心,半径r= a(a为正四面体的棱长); 内切球:球心是正四面体的中心,半径r= a(a为正四面体的棱长).,例3 (2019届江苏姜堰中学检测)已知正四棱锥的顶点都在同一球面 上,且该棱锥的高为4,底面边长为2 ,则该球的表面积为 .,解析 如图,正四棱锥P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上,设球 的半径为R,因为底面边长为2 ,所以AC=4,在RtAOO1中,R2=(4-R)2+2 2,所以R= ,所以球的表面积S=4R2=25.,答案 25,
