1、第一讲 数列的概念与简单表示法,【高考帮理科数学】第六章 数列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 数列的概念 考点2 数列的函数特性 考点2 数列的前n项和与通项的关系,考法1 利用an与Sn的关系求通项公式 考法2 数列的单调性及其应用 考法3 利用递推关系求数列的通项公式,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 忽略对“n=1”情形的检验致误,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,主要考查:(1)由数列的递推关系求通项公式,(2)由an与Sn的关系求通项公式,(3)利用数列的函数性质求最
2、值等,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度有所下降. 2.学科核心素养 本讲通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 数列的概念 考点2 数列的函数特性 考点2 数列的前n项和与通项的关系,考点1 数列的概念,1.数列的有关概念,2.数列的表示方法,通项公式和递推公式的异同点,辨析比较,考点2 数列的函数特性,1.数列与函数的关系 数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限子集1,2,3,4,n,所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.,2.数列的性质,考点3 数列
3、的前n项与通项的关系(重点）,若数列an的前n项和为Sn,则an= 1 (=1), 1 (2).,B考法帮题型全突破,理科数学 第六章：数列,考法1 利用an与sn的关系求通项公式 考法2 数列的单调性及其应用 考法3 利用递推关系求数列的通项公式,考法1 利用an与Sn的关系求通项公式,示例1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1, nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 (nN*). (1)求a2的值; (2)求数列an的通项公式.,思维导引 (1)把n=1代入式子nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 中,求出 S2,即可求出a2的值; (2)对式子nSn+1-(n+1)
4、Sn= (+1) 2 进行变形,得 +1 +1 - = 1 2 ,利用等差数列的通项公式,求出Sn,再利用an= 1 ,=1, 1 ,2 求出数列an的通项公式.,理科数学 第六章：数列,解析 (1)因为a1=1, nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 , 把n=1代入上式得,S2-2S1= 12 2 =1. 所以S2=1+2S1=1+2a1=3. 所以a2=S2-a1=2. (2)由nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 , 得 +1 +1 - = 1 2 . 所以数列 是首项为 1 1 =1, 公差为 1 2 的等差数列(活用等差数列的定义),理科数学 第六章：数列,所以 =1+
5、 1 2 (n-1)= 1 2 (n+1). 所以Sn= (+1) 2 . 当n2时, an=Sn-Sn-1 = (+1) 2 - (1) 2 =n, 而a1=1满足an=n, (注意检验a1=1是否满足an=n) 故数列an的通项公式为an=n.,答题模板 由Sn与an的关系求通项公式的一般步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式; (3)对a1进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分成n=1与n2两段来写. 注意 利用公式an=
6、Sn-Sn-1求an时,容易忽略对“n=1”的情形进行检验而致错.,拓展变式1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列an+bn的前n项和Tn.,1.(1)当n2时,由an=2-3Sn ,得an-1=2-3Sn-1 , -得4an=an-1. 而当n=1时,a1=2-3a1,故a1= 1 2 , 因而数列an是首项为 1 2 ,公比为 1 4 的等比数列,其通项公式为 an= 1 2 ( 1 4 )n-1=( 1 2 )2n-1(nN*). (2)由(1)知an=( 1 2 )2n-1,故bn=1-2n
7、.,理科数学 第六章：数列,数列an+bn的前n项和 Tn=a1+b1+a2+b2+an+bn =(a1+an)+(b1+bn) = 1 2 1( 1 4 ) 1 1 4 + (1+12) 2 = 2 3 -n2- 2 3 ( 1 4 )n(nN*).,考法2 数列的单调性及其应用,示例2 (1)已知数列an的通项公式为an= 3+ 2 ,若数列an为递减数列,则实数k的取值范围为 A.(3,+) B.(2,+) C.(1,+) D.(0,+) (2)已知数列an的通项公式为an= 9(+1) 10 ,则数列中的最大项为 .,思维导引,解析 (1)因为an+1-an= 3+3+ 2 +1 -
8、3+ 2 = 33 2 +1 ,由数列an为递减数列知,对任意nN*,an+1-an= 33 2 +1 3-3n对任意nN*恒成立,所以k(0,+).故选D. (2)解法一 an+1-an= 9 +1 (+2) 10 +1 - 9 +1 (+1) 10 = 9 10 8 10 , 当n0,即an+1an; 当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n8时,an+1-an0,即an+1an.,则a1a10a11,故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9= 9 8 9 10 8 = 9 8 10 8 . 解法二 设数列an中的第n项最大,则 anan1 anan+1 即 9
9、(+1) 10 9 1 10 1 9 (+1) 10 9 +1 (+2) 10 +1 解得8n9.又nN*,则n=8或n=9.故数列an中的最大项为第8项和第9项,且a8=a9= 9 9 10 8 .,方法总结 1.判断数列单调性的常用方法 (1)作差比较法.an+1-an0数列an是递增数列;an+1-an0时, an+1 1数列an是递增数列; an+1 1数列an是递减数列; an+1 1数列an是递增数列; an+1 =1数列an是常数列.,(3)结合相应函数的图象直观判断. 2.求数列中的最大(小)项的方法 (1)构造函数,确定出函数的单调性,进一步求出数列中的最大项或最小项. (2
10、)利用 anan+1 anan1 求数列中的最大项an;利用 anan+1 anan1 求数列中的最小项an.当解不唯一时,比较各个解的大小即可确定.,拓展变式2 已知an是递增数列,且对于任意的nN*,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是 .,2. -3 解法一 (定义法)因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an+1an,即(n+1)2+(n+1)n2+n,整理,得2n+1+0,即-(2n+1) (*). 因为n1,所以-(2n+1)-3,要使不等式(*)恒成立,只需-3. 解法二 (函数法)设f(n)=an=n2+n,其图象的对称轴为直线n=- 2 ,要使数列an为递增数列,只
11、需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数,故只需满足f(1)-3.,考法3 利用递推关系求数列的通项公式,示例3 已知数列an满足a1=2,an-an-1=n(n2,nN*),则an= .,思维导引 利用递推公式an-an-1=n(n2),写出n-1个式子并相加,再利用等差数列的前n-1项和的公式,即可求出an.,解析 (累加法)由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2), 以上式子累加得,an-a1=2+3+n, (累加时注意开始的一项与最后一项) 因为a1=2, 所以an=2+(2+3+n) (用公式求2+3+n时,注意项数为n-1) =2+ (1)(2+)
12、2 = 2 +2 2 (n2). 因为a1=2满足上式,所以an= 2 +2 2 .,示例4 已知在数列an中,an+1= +2 an(nN*),且a1=4,则数列an的通项公式an= .,思维导引 利用递推公式an+1= +2 an,得 +1 = +2 ,写出n-1个式子并相乘,即可求出an.,解析 (累乘法)由an+1= +2 an,得 +1 = +2 , 故 2 1 = 1 3 , 3 2 = 2 4 , 1 = 1 +1 (n2), 以上式子累乘得, 1 = 1 3 2 4 3 1 2 1 +1 = 2 (+1) (累乘时注意开始的一项与最后一项) 因为a1=4,所以an= 8 (+1
13、) (n2). 因为a1=4满足上式,所以an= 8 (+1) .,示例5 已知数列an中, a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,则数列an的通项公式为 .,思维导引 把点Pn(an,an+1)代入直线方程4x-y+1=0,得数列an的递推公式,再利用构造法,构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式求得结果.,解析 (构造法)因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上, 所以4an-an+1+1=0. (将点的坐标代入直线方程) 所以an+1+ 1 3 =4(an+ 1 3 ). 因为a1=3,所以a1+ 1 3 = 10 3 . 故数
14、列an+ 1 3 是首项为 10 3 ,公比为4的等比数列 (注意数列an+ 1 3 的首项不是a1,而是a1+ 1 3 ) 所以an+ 1 3 = 10 3 4n-1,故数列an的通项公式为an= 10 3 4n-1- 1 3 .,示例6 已知数列an满足a1=2,an+1= 2 2+ (nN*),则an= .,思维导引,解析 (取倒数)因为an+1= 2 2+ ,所以 1 +1 - 1 = 1 2 . 因为a1=2,即 1 1 = 1 2 , 所以数列 1 是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列, (注意数列 1 的首项不是a1,而是 1 1 ) 所以 1 = 1 2 +(n-1)
15、 1 2 = 2 ,故an= 2 .,方法总结 由递推公式求通项公式的方法,拓展结论 (1)形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)的数列,有两种求解方法:先在递推公式两边同除以qn+1,得 +1 +1 = + 1 ,然后引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1= bn+ 1 ,再用待定系数法求解;在原递推公式两边同除以pn+1,得 +1 +1 = + 1 ( )n ,引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1-bn= 1 ( )n,再利用累加法求解.,(2)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,构造等比数列,将其变形为an+2-
16、an+1=(-q)(an+1-an),则an-an-1(n2,nN*)是等比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n),然后用累加法求得通项.,拓展变式3 (1)各项均不为0的数列an满足 +1 ( + +2 ) 2 =an+2an(nN*),且a3=2a8= 1 5 ,则数列an的通项公式为 . (2)已知数列an中,a1= 5 6 ,an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1,求an.,3.(1)an= 1 +2 因为 +1 ( + +2 ) 2 =an+2an,所以an+1an+an+1an+2=2an+2an. 因为anan+1an+20,所以 1 +2 + 1 = 2
17、+1 ,所以数列 1 为等差数列. 设数列 1 的公差为d,则 1 8 = 1 3 +(8-3)d. 因为a3=2a8= 1 5 ,所以d=1, 又 1 1 = 1 3 -2d=3,所以数列 1 是以3为首项,1为公差的等差数列. 所以 1 =3+(n-1)1=n+2,故数列an的通项公式为an= 1 +2 . (2)解法一 将an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1两边分别乘以2n+1,得2n+1an+1= 2 3 (2nan)+1. 令bn=2nan,则bn+1= 2 3 bn+1, 将上式变形,得bn+1-3= 2 3 (bn-3). 所以数列bn-3是首项为b1-3=2 5 6
18、-3=- 4 3 ,公比为 2 3 的等比数列. 所以bn-3=- 4 3 ( 2 3 )n-1,即bn=3-2( 2 3 )n. 于是an= 2 = 3 2 - 2 3 .,解法二 将an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1两边分别乘以3n+1,得 3n+1an+1=3nan+( 3 2 )n+1. 令bn=3nan,则bn+1=bn+( 3 2 )n+1, 所以bn-bn-1=( 3 2 )n,bn-1-bn-2=( 3 2 )n-1,b2-b1=( 3 2 )2. 将以上各式累加,得bn-b1=( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n. 又b1=3a1=3 5 6
19、= 5 2 =1+ 3 2 , 所以bn=1+ 3 2 +( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n= 11( 3 2 ) +1 1 3 2 =2( 3 2 )n+1-2,即bn=2( 3 2 )n+1-2. 故an= 3 = 3 2 - 2 3 .,C方法帮素养大提升,易错 忽略对“n=1”情形的检验致误,示例7 2019南昌调考已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 (n2),则数列an的通项公式an= .,易错 忽略对“n=1”情形的检验致误,易错分析 因为an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1, 所以an-1=a1+2a2+3a3
20、+(n-2)an-2, 所以an=an-1+(n-1)an-1=nan-1, 所以an= 1 1 2 2 3 3 2 2 1 a1=n(n-1)(n-2)321=n! 所以数列an的通项公式为an=n!. 本题产生错误的原因是忽略了an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2中隐含的n3这一条件,使累乘过程中出现了错误.,审题指导 (1)注意给出关系式的结构特征. (2)特别关注n2的限制条件.解析 因为an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2), 所以an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2(n3), 所以当n3时,an=an-1+(n-1)an-1=nan-1(n3), 所以 1 =n(n3).,又因为a2=a1=1,所以当n3时, an= 1 1 2 2 3 3 2 2 1 a1=n(n-1)(n-2)321=n! 又因为a2=1= 2! 2 ,a1=1,所以an= 1，=1, 1 2 !,2, 点评 在求解递推关系问题时,常用累加法或累乘法.求解时要注意n的取值范围以及对题中隐含条件的挖掘.,
