1、第二讲 古典概型与几何概型,理科数学】第十二章：概 率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 古典概型 考点2 几何概型 考点3 随机模拟,考法1 求古典概型的概率 考法2 几何概型的求法 考法3 随机模拟的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 几何概型中“区域”选取不准致误,理科数学 第十二章：概率,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,理科数学 第十二章：概率,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的热点,常以选择题和填空题的形式出现,主要 考查古典概型,与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出
2、现,如概率与统计和统计案例的综合,求解时要掌握古典概型和几何概型的应用条件和计算公式. 2.学科核心素养 本讲通过古典概型和几何概型考查考生的数学运算、数学建模素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 古典概型 考点2 几何概型 考点3 随机模拟,理科数学 第十二章：概率,考点1 古典概型（重点）,1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型的特点,3.古典概型的概率计算公式P(A)= .,注意：下列三类试验不是古典概型:(1)基本事件的个数有限,但非等可能;(2)基本事件的个数无限,但等可能;(3)基本
3、事件的个数无限,也非等可能.,考点2 几何概型（重点）,1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点,3.几何概型的概率公式P(A)= .,考点3 随机模拟（重点）,用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这种方法的基本步骤是:(1)用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数的个数N;(3)计算频率fn(A)= 作为所求概率的近似值.,B考法帮题型全突破,考法1 求古典概型的概率
4、考法2 几何概型的求法 考法3 随机模拟的应用,理科数学 第十二章：概率,考法1 求古典概型的概率,示例1 (1)2019黑龙江省大庆中学模拟甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是,思维导引 (1)先写出“6元分成3份”所含的基本事件数,然后求出乙获得“手气最佳”所含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式即可得结果.解析 (1)用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为(1,1,4),(
5、1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).(按顺序列举,不重不漏),答案 D,理科数学 第十二章：概率,乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2). 根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P,理科数学 第十二章：概率,(2)2017全国卷,11,5分从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为,理科数学 第十二章：概率,思维导
6、引 先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率公式求解.解析 解法一 依题意,记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足ab的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(按顺序列举,不重不漏)因此所求的概率为,= .,答案 D,理科数学 第十二章：概率,由图可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率为,=,.,. 解法二 画出树状图如图所示.,理科数学 第十二章：概率,方法总结 1.求古典概型概率的步骤,2.基
7、本事件个数的确定方法,注意 求解基本事件的个数时,应注意两个方面的问题:一是基本事件是否具有顺序性;二是注意元素的选取是否为有放回的抽取.,理科数学 第十二章：概率,拓展变式1 (1)2018沈阳市第三次质量监测某校在高二年级进行“三城三创”演讲比赛,如果高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛,那么选派的都是男生的概率是( ),.,理科数学 第十二章：概率,答案 D 解析 记3位男同学分别为a,b,c,1位女同学为d,从4位同学中选派2位同学的所有情况有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种,设选派的2位同学都是男生为事件A,其情况有(
8、a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以P(A)= = ，故选D.,理科数学 第十二章：概率,(2)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( ),理科数学 第十二章：概率,答案 B 解析 设“数字4是取出的五个不同数的中位数”为事件A.“从这组数据中取出五个数字”的基本事件个数为 =56. 对于事件A,先将数字4放在五个不同数的中间位置,再考虑分别从数字1,2,3和5,6,7,8中各取两个数字,则事件A包含的基本事件种数为 =36=18.由古典概型的概率计算公式,得P(A)= = .,理科数学 第十二章：概率,考法2
9、几何概型的求法,1.与长度、角度有关的几何概型 示例2 在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C. (1)在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率; (2)在ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC 的概率. 思路分析,确定构成事件的区域,根据几何概型的概率计算公式求解,解析 (1)如图所示,在AB上取一点C,使AC=AC,连接CC. 由题意,知AB= 2 AC. 由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因 此基本事件的区域应是线段AB. 所以P(AMAC)= = 2 = 2 2 .( 区域为一维度，用长度比) (2)由于在ACB内以C为端点
10、任作射线CM,所以CM等可能分布在ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是ACB,所以P(AMAC)= = 4 2 2 = 3 4 . ( 利用角度比求概率 ),理科数学 第十二章：概率,2.与面积有关的几何概型,示例3 2019江淮十校联考七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.图12-2-6是一个用七巧板拼成的大正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为,理科数学 第十二章：概率,设大正方形的边长为2,则该正方形的面积为4,阴影部分的面积为,所以在大正方形中任取一点,此点取自
11、阴影部分的概率为 ,.(区域为二维,用面积比),答案 C,解析,理科数学 第十二章：概率,示例4 2018陕西咸阳二模一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率是 .,理科数学 第十二章：概率,解析 设正方体的棱长为2 ,其体积V1=(2 )3=8 3, 所以正方体内切球的直径为2 ,该内切球的体积V2= 3,利用几何概型的概率计算公式可得,这只蚊子安全飞行的概率P= = = .(区域为三维,用体积比),答案,理科数学 第十二章：概率,方法总结 1.求解几何概型的解题思路 (1)判断试验是否为几何概型,要切实理解并掌握几何概型的两
12、个基本特点:无限性和等可能性. (2)求解几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围. 当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算; 当考察对象涉及射线的转动时,一般用角度比计算; 当考察的对象在某块区域时,用面积比计算; 当考察对象在某个空间时,用体积比计算.,(3)在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解. 2.求解几何概型概率的步骤,理科数学 第十二章：概率,拓展变式2 (1)在区间0,上随机取一个数x,使cos x的值介于- 与 之间的概率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 解析 cos x的值介于- 与 之间的
13、区间长度为 - = .由几何概型的概率计算公式,得P= = .故选B.,2 3 0,理科数学 第十二章：概率,(2)2019吉林百校联考 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象地表达了阴阳轮转,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在如图所示的平面直角坐标系中,圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ),理科数学 第十二章：概率,答案 B 解析 由题意,得所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型. 由题图可知,大圆的直径等于函数y=3sin x的周期T. 设大圆的半径为R,则
14、R= = =6, 则大圆的面积为S1=R2=36. 因为两个小圆的半径都为1,所以阴影部分的面积和为S2=122=2, 由几何概型的概率计算公式可得,所求事件的概率P= = .故选B.,理科数学 第十二章：概率,(3)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机抽取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 . 答案 解析 由题意可知,圆柱的体积V圆柱=R2h=2, 半球的体积V半球= R3= . 所以圆柱内一点P到点O的距离不大于1的概率为 .所以点P到点O的距离大于1的概率为1- = .,理科数学 第十二章：概率,考法3 随机模拟的应用,示例5 2018
15、合肥市三检如图12-2-8是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率的值:随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为N,落在圆内的豆子个数为M,则估计圆周率的值为,答案 D 解析 设正六边形的边长为1,易得正六边形的面积为6 1 = ,内切圆的半径为 ,所以 = ,可得 .,感悟升华 利用随机模拟计算不规则图形面积的基本思路利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是先根据随机模拟估计概率P(A)= , 然后根据P(A)= 列等式求A的面积.为了方便解题,我们常常设计出一个规则的图形(面积为定值)来表示随机取点的全部结果构成的区域.,理科数学 第十二章：概率,拓
16、展变式3 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 .,答案 0.4 解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857
17、8636 6947 4698 8045 9597 7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为 8 20 =0.4.,C方法帮素养大提升,易错 几何概型中“区域”选取不准致误,理科数学 第十二章：概率,易混易错,示例6 (1)在长为1的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 的概率为 ; (2)在等腰直角三角形ABC中,C=90,在直角边BC上任取一点M,则CAM30的概率是 .,解析 (1)设任取两点所表示的数分别为x,y,则0x1, 且0y1,如图,则总事件所占的面积为1. 记这两点之间的距离小于 1 2 为事件A,则A=(x,y)|x-y| 1 2 ,0x1,0y1,如图中阴影部分
18、所示,阴影部分所占的面积为2 1 2 1 2 1 2 = 1 4 ,所以所求两点之间的距离小于 1 2 的概率P(A)= 1 1 4 1 = 3 4 .（注意几何区域是面积而非长度） (2)因为点M在直角边BC上是等可能出现的,所以“区域”是长度.设BC=a,则所求概率P= 3 3 = 3 3 .(注意几何区域是长度而非角度),理科数学 第十二章：概率,素养提升 本例主要考查数学学科核心素养中的“数学抽象”和“数学运算”,要求学生能够根据情境提炼出解决问题的方法,理解其中的数学思想,然后通过数学运算进行求解.解题时需注意:(1)在线段上取点,则点在线段上等可能出现;在角内作射线,则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值,对应的“区域”是面积.,理科数学 第十二章：概率,
