1、第三讲 趣味组合数学和几何,选修课：趣味数学,1）找次品 2）抽屉原理 3）斐波那契数列 4）黄金分割 5）经济包装 6）哥德堡七桥问题,1)称次球,27只球中有一只次品，这只次品外观上与正品毫无差别，只是略重一些，现有一架天平，要把次球找出来，至少需要称几次？,2）检查次钢珠,某店进了十箱钢珠，根据标准，每颗10克。但后来知道，其中一箱为次品。次钢珠的外观与正品毫无差别，只是每颗少了1克。问怎样才能迅速简便把这箱珍珠找出来？,齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子。 这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳。但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴。晏子便劝
2、齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃。,二桃杀三士,晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋。汉朝有人在一首诗中曾不无讽刺地写道：“一朝被谗言，二桃杀三士。谁能为此谋，相国务晏子！”,在晏子的权谋之中，包含了一个重要的 数学原理抽屉原理。,什么叫做抽屉原理？,把m个物体放到n个抽屉中(mn)，那么至 少有一个抽屉里有不止一个这种物体。,形式一： 设把n1个元素分为n个集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于2.,形式二： 设把nm1
3、个元素分为n个集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示这n个集合里相应的元素个数，证明至少存在某个ai大于或等于m1。,这与只有135块饼干矛盾.所以一定有2个小朋友得到的饼干数目相同.,把135块饼干分给16个小朋友，如果每个小朋友至少要分到1块饼干，那么不管怎样分，一定会有2个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？,1）分饼干,假设无人借6本或6本以上的图书，则全班至多借书542=210（本）.但全班共借来212本，所以要么至少有两人借6本，要么至少有1人借7本.,某班共有学生42人，从学校图书室借来212本书，是否有人能至少借到6本或6本以上的图书？,2）借书,某校派出学生204人上山植
4、树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.,假设无人或人以上植树的株数相同，那只有人以下植树的株数相同，而参加植树的人数为204人，所以，最多有4人植树相同，故植树的总株数最多有：,4(505199100)=1530015301,矛盾,所以，至少有5人植树的株数相同.,3）植树,4）取手套1,有5副手套混杂在一起，想闭着眼睛从中取出1副手套，问至少要取出多少只才能保证达到要求？,6只,有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？,最多取出8根只有一种颜色的筷子，再取任意
5、3根即可保证达到要求。所以至少要取11根.,5）取筷子,在1只箱子里面放着红、黑、白三种颜色的手套各6副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取出多少只才能达到要求？,最多取出12只有一种颜色的手套，再取任意13只即可保证达到要求。所以至少要取25只.,6）取手套2,边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3 个点组成的三角形 中，至少有一个的 面积不超 过1/8.,7）正方形的面积,解：将边长为1的正方形等分成边长为,的四个小正方形，视这四个正方形为 抽屉，9个点任意放入这四个正方形中， 据形式2，必有三点落入同一个正方形 内.现特别取出这个正方形来加以讨论.,把落
6、在这个正方形中的三点记为D、E、F. 通过这三点中的任意一点（如E）作平行 线， 如图可知：,h,SDEFSDEGSEFG ,E,D,F,G,任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”,如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。,用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三
7、个人，他们是B、C、D。,8）是朋友，还是陌生人,9）电脑算命,“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日、时和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。,如果以60年计算，按出生的年、月、日、时、性别的不同组合数应为60365122525600我们把它作为“抽屉”数。设我国有人口13亿，我们把它作为“物体”数。由于1.3=2473525600+191200根据原理2，存在2473个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”,荒谬绝伦,斐波那契数列,魔术师的地毯,一日，魔术师
8、拿着一块88米的正方形地毯到裁缝店，要求把它改成135米的长方形地毯。,裁缝师心里暗笑，这家伙是不是连小学都没毕业，这么简单的数学题都不会,88=64， 而135=65，面积相差1平方米，怎么可能改呢？,面积少了1,面积多了1,问题的提出,早在 800年前（1202 年），意大利数学家斐波那契在他的著作算盘全书 中，提出以下的一个问题：,假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子?,这就是著名的“兔子问题”,合作探究：,1 月 1 对,1 月 1 对,2 月 1 对,合作探究
9、：,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,合作探究：,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,合作探究：,合作探究：,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,合作探究：,合作探究：,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,合作探究：,合作探究：,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,7 月 13 对,合作探究：,合作探究：,归纳小结,我们可以将结果以表格形式列出：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,5
10、5,89,144,因此，兔子问题的答案是 144 对。 以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，因此这种数列被称为“斐波那契数列”,斐波那契数列,这个数列有着十分明显的特点，那是：,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，,数列中的每一个数都被称为斐波那契数。,前面相邻两项之和，构成了后一项。,下图是一个树形图的生长过程，依据图中 所示的生长规律，第16行的实心圆点的个 数是 （迎春杯赛题）,610,1）树的成长,一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶， 一共可以有多少种不同的走法？,分析：,1级台阶，有1种；,2级台阶，
11、有,1、1；,2，,共2种；,3级台阶，有,1、1、1；,1、2；,2、1；,共3种；,4级台阶，有,1、1、1、1；,1、1、2；,1、2、1；,2、1、1；,2、2；,共5种；,5级台阶，,若第一次迈1级台阶，还剩4级，有几种？,若第一次迈2级台阶，还剩3级，有几种？,你有什么发现？,2）爬楼梯1,一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级 台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？,分析：,1级台阶，有1种；2级台阶，有2种3级台阶，有4种4级台阶，有7种5级台阶，有13种,你又有什么发现呢？,3）爬楼梯2,菠萝的螺旋数目,大自然中的斐波那契
12、数列现象,向日葵的螺旋数目,蜗牛壳的螺旋数目,树枝的生长,延龄草的花瓣数,野玫瑰的花瓣数,金凤花花瓣数,樱树的叶序,郁金香花瓣的角度,达芬奇密码和斐波那契数列,达芬奇密码中索尼埃临死的时候在自己身边用黑光笔给自己的孙女留下的话中有个字谜，其中部分 “1332211185 ”我们发现经排列后为斐波那契数列：1 1 2 3 5 8 13 21,有一堆火柴共 12根，如果规定每次取 13根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？,一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米,或1米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?,共有89种,共有927种,3）青蛙过水田,4）取火柴,如下图，
13、小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。(1)问获胜方的跳法比另一方多 种。(2)若把C点向右移动一格,那又是谁的跳发多?,小方要跳11步、小张要跳9步。,小方有144种，,小张有149种，,所以小张获胜。,5,5）跳格子游戏,在春节期间，某超市准备利用超大屏幕反复播放一个广告节目。这个广告节目每次播放时间是10秒钟。如果开始只有一段10秒的录象带母带。如果用两盘空白录象带在一台录象机互相转录，问应如何操作，才能用最少的录制遍数录制一盘可以播放一小时的广告节目？,6）播广告,解：操作方法
14、如下： 第一步：将母带上的节目录入第一盘空白录象带； 第二步：将母带上的节目录入第二盘空白录象带； 第三步：将第一盘录象带带上的节目录入第二盘录象带； 第四步：将第二盘录象带带上的节目录入第一盘录象带； 如此反复，直到录到所需要的时间长度为止。 所录制的长度依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，,因为377 ，,故操作14次就可以录制一盘可以播放一小时的广告节目。,黄金分割的应用,什么是黄金分割？,黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。 黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分
15、为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为10.618或1.6181。,什么是黄金分割？,形成任何稳定的粒子总要遵循自然界最佳黄金分割原理。该原理有一个经典的方程式：（1+X）（1-X）X从中解出最佳分割解X0.618，1-X=0.382。其中0.382是最基本的分割，不能再少了。这就是黄金分割原理的实质,数学中的应用,五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的,日常生活中的应用,黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边 1.618倍 。我们的国旗就是黄金矩形。,日常生活中的应用,根据广泛调查，所有让人感到
16、赏心悦目的矩形，包括电视屏幕、写字台面、书籍、门窗、火柴盒、标准纸张等，其短边与长边之比大多为0.618。,建筑中的应用,世界上最有名的建筑中几乎都包含“黄金分割比”。,建筑中的应用,无论是古埃及的金字塔、古希腊的帕特农神殿、印度泰姬陵、中国故宫、法国巴黎圣母院这些著名的固态建筑还是遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面都有意无意的运用了黄金分割法则，给人以整体上的和谐与悦目之美。,自然中的应用,就连植物界也采用黄金分割，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5这是按照黄金分割的规律排列着的。很多叶子的主叶脉与整个叶子长度之比约为0.
17、618。,自然中的应用,动物界，形体优美的动物形体，如马、骡、狮、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身体的长与宽的比例也大体上接近黄金分割。蝴蝶身长与双翅展开后的长度纸币也接近0.618。,自然中的应用,人体中的应用,人们发现，在人体中包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18个“黄金点”、15个“黄金矩形”、6个“黄金指数”、3个“黄金三角”。,人体中的应用,人的肚脐位于身长的0.618处 咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处膝关节位于肚脐与足底长度的0.618肘关节位于肩关节与指头长度的 0.618处,生命中的应用,在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”。它的每个双螺旋
18、构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.618。,艺术中的应用,著名油画蒙娜丽莎中蒙娜丽莎的头和肩在整幅画面中完美的体现了黄金分割，使得整幅油画看起来那么和谐和完美。,艺术中的应用,另一些著名油画中也都存在着完美的“黄金矩形”、“黄金三角”、“黄金五角星”，使画面看起来和谐。,艺术中的应用,音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.6181时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。 小说、戏剧的高潮在整个作品的0.618处较好。,武器中的应用,当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了
19、1918年，一个名叫阿尔文约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。,1）经济包装1,2）经济包装2,1）蜘蛛抓苍蝇,2）蚂蚁找路径,有一个铁丝做成的长方体框架的长、宽、高分别为5厘米，3厘米，4厘米，如下图所示。一只蚂蚁从某个顶点出发地沿棱爬行，线路不能重复，它能爬行的最长距离为多少厘米？,54+44+3=39厘米,哥德堡七桥问题,在欧洲的普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，普里格尔河蜿蜒其间，河岸与岛屿间有七座桥相连，在18世纪，有人提出：能否不重复地一次接连通过每座桥？,欧拉：“一笔画图”的规律,规律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；
20、规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关，其个数是0或2.,让我们先来了解两个新概念,1、奇点：有奇数条边相连的点 2、偶点：有偶数条边相连的点,怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？,家电区,蔬菜区,水果区,零食区,日常用品区,服装区,文具区,下面是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路，且不重复，问出入口应设在哪里？,2）公园出入口,甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点)。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？,3）邮递员送信1,4）邮递员送信2,下图为邮递员负责的邮区街道图，图中左下角处横线与竖线的交叉点为邮局，其余交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米，宽为150米，如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么他从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少需要多少分钟？,（18010+15014200+0.523 =31分钟,一笔画图片欣赏,一笔画图片欣赏,
