1、第一章1. 将下列命题符号化： 解：令 p：天下雨，q：我骑自行车上班，则（1）只要不下雨，我就骑自行车上班 p 是 q 的充分条件，所以符号化为：pq（2）只有不下雨，我才骑自行车上班 p 是 q 的必要条件，所以符号化为：q p（3）除非下雨，否则我就骑自行车上班 p 仍然是 q 的充分条件，所以符号化为：pq（4）如果下雨，我就不骑自行车上班 p 是 q 的充分条件，所以符号化为：pq2.命题: 判断结果惟一的陈述句（注意 : 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题）3. pq 为假当且仅当 p 为真 q 为假4. pq （q 为 p 的必要条件
2、）“如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：若 p，就 q只要 p，就 qp 仅当 q只有 q 才 p除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p因为.所以5. pq 为真当且仅当 p 与 q 同真或同假6. p 0 层p 1 层pq 2 层(pq)r 3 层(pq) r)(rs) 4 层7.双重否定律 AA等幂律： AAA, AAA交换律: ABBA, ABBA结合律: (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)分配律: A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)德摩根律: (AB)AB (AB)AB吸收律: A(AB)A, A(AB)A零律: A11, A00 同一律: A
3、0A, A1A排中律: AA1矛盾律: AA0蕴涵等值式: ABAB等价等值式: AB(AB)(BA)假言易位: ABBA等价否定等值式: ABAB归谬论: (AB)(AB) A8.对偶原理 设 A，B 为两个命题公式，若 A B，则 A* B*.9.求公式 A 的范式的步骤：(1) 消去 A 中的, （若存在） (2) 否定联结词 的内移或消去(3) 使用分配律 对 分配（析取范式） 对 分配（合取范式）（公式的范式存在，但不惟一）10.设 A 含 n 个命题变项，则 A 为重言式 A 的主析取范式含 2n 个极小项A 的主合取范式为 1.A 为矛盾式 A 的主析取范式为 0 A 的主合取范
4、式含 2n 个极大项A 为非重言式的可满足式A 的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A 的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项 第二章第三章1.相对补 AB = x | xA xB =A - (AB)对称差 AB = (AB)(BA)= (AB)(AB) 绝对补 A = EA 第四章1. R=M1 S=M2 RS = M2 * M12. (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF(1) (FG)H=F(GH) (2) (FG)1= G1F1 3.关系性质的充要条件 设 R 为 A 上的关系, 则(1) R 在 A 上自反当且仅当 IA R(2) R 在
5、A 上反自反当且仅当 RIA=(3) R 在 A 上对称当且仅当 R=R1(4) R 在 A 上反对称当且仅当 RR1IA(5) R 在 A 上传递当且仅当 RRR 4. 定理 1 设 R 为 A 上的关系, 则有 |.|)1( .|.|21121mmmkji kjiijijiiAASA (1)自反闭包 r(R) = RR0 (2)对称闭包 s(R) = RR1 (3)传递闭报 t(R) = RR2R35. Mr = M + E E 是和 M 同阶的单位矩阵, M 是 M 的转置矩阵. Ms = M + M 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加Mt = M + M2 + M3 + 6.集
6、合 A 上的恒等关系 IA 是 A 上的偏序关系. 小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系7.数集上的小于或等于关系是全序关系；整除关系不是正整数集合上的全序关系8.哈斯图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边9.特殊元素的性质： 对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元10.哈斯图应注意：（1）.哈斯图不应出现三角形第七章1.握手定理 任意无向图和有向图的所
7、有顶点度数之和都等于边数的 2 倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数2.环是长度为 1 的圈, 两条平行边构成长度为 2 的圈3. Kn 无点割集n 阶零图既无点割集，也无边割集.若 G 连通，E 为边割集，则 p(GE )=2若 G 连通，V 为点割集，则 p(GV )2 4.强连通 单向连通 弱连通 5. 定理(强连通判别法) D 强连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次的回路定理(单向连通判别法) D 单向连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次的通路 6.无向图的关联矩阵性质：(1) 每一列恰好有两个 1 或一个 27.有向图的关联矩阵性质：(1) 每一列恰
8、好有一个 1 和一个-1(2) 第 i 行 1 的个数等于 d+(vi), -1 的个数等于 d-(vi) (3) 1 的总个数等于-1 的总个数 , 且都等于 m(4) 平行边对应的列相同8.有向图的邻接矩阵性质：9 有向图的可达矩阵性质:P(D)主对角线上的元素全为 1. D 强连通当且仅当 P(D)的元素全为 1第八章1.定理 8.1 无向图 G=是二部图当且仅当 G 中无奇圈 2.欧拉图的判别法 定理 8.4 无向图 G 为欧拉图当且仅当 G 连通且无奇度顶点 .无向图 G 是半欧拉图当且仅当 G 连通且恰有两个奇度顶点定理 8.5 有向图 D 是欧拉图当且仅当 D 连通且每个顶点的入
9、度都等于出度 . 有向图 D 具有欧拉通路当且仅当 D 连通且恰有两个奇度顶点 , 其中一个入度比出度大 1, 另一个出度比入度大 1, 其余顶点的入度等于出度.3.环不影响图的欧拉性. 环与平行边不影响图的哈密顿性4.定理 8.6 设无向图 G=是哈密顿图, 则对于任意 V1V 且 V1, 均有 p(GV1)|V1|.5.定理 8.7 设 G 是 n 阶无向简单图, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于 n1, 则G 中存在哈密顿通路. 中)4(23),.()(,1mnivdjiiijij中中14)3( ,.2),(21)(1)(,)1(1)(amnjvdianiji jnijiji当 n3 时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于 n, 则 G 中存在哈密顿回路, 从而 G 为哈密顿图. 6.定理 8.10 (欧拉公式) 设 G 为 n 阶 m 条边 r 个面的连通平面图，则 nm+r=2第九章1.定理 9.2 设 T 是 n 阶非平凡的无向树，则 T 中至少有两片树叶2.求带权图的最小生成树 检验：边数达到 n-1 (n：顶点数 )
