1、1第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、x 2D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则
2、称 f(x)在 D内单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调减少( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n为实数)3.指数函数： y=a x
3、, (a0、a1)4.对数函数： y=log a x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x2y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: Aynnlim称数列 以常数 A 为极限;n
4、y或称数列 收敛于 A.n定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xfAxfAxf xxx )(lim)(lim当 时， 的极限：0)(xfAfx)(lim0左极限：xfx)(li03右极限：Axfx)(lim0函数极限存的充要条件：定理：Axfxfxf xxx )(lim)(lim)(li 000无穷大量和无穷小量1 无穷大量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。fX 再某个变化过程是指：, xxx 000, xxx2 无穷小量： 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。)(xf3 无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(,)(1lim
5、0)(lim xfxfxf4 无穷小量的比较： 0li,li 若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；0lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；li若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作： ；1lim4若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理：若： ；， 2211 则： 2121limlim两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）nnnzxy且： annn limli则： axnnli2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()( xhxfg且：Axx )(lim)(lim00则：Afx)(li0极限的运
6、算规则若： BxvAxu)(lim,)(lim5则： BAxvxuxvxu )(lim)(li)()(lim li)lili BAxvuxvu)(lim)(li )0)(limxv推论： )()()(lim21 xuuu n)(lim)(li)(li 21 xuxx n )(li)(li xcucnnux)(li)(lim两个重要极限1 或 1sinli0xx 1)(sinlim0)( xx2 exx )1(lim exx 10)(li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义，0x)(xf01o0)()(limli 0000 xfxfyxx2o)()(
7、li 00 ffx6左连续：)()(lim00 xfxfx右连续：)()(li 00ffx2. 函数在 处连续的必要条件：0定理： 在 处连续 在 处极限存在)(xf0)(xf03. 函数在 处连续的充要条件：0x定理：)()(lim)(lim)()(lim 00 000 xfxfxfxff xxx 4. 函数在 上连续：ba,在 上每一点都连续。)(xf在端点 和 连续是指：ab左端点右连续；)()(limafxfax右端点左连续。)()(li bffbxa+ 0 b- x5. 函数的间断点：若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(xf00)(xf间断点有三种情况：1o 在 处无定义；)(x
8、f02o 不存在；)(lim0fx73o 在 处有定义，且 存在，)(xf0)(lim0xfx但 。)()(lim00 fxfx两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点： 和 都存在。)(li0xfx)(lim0xfx可去间断点： 存在，但)(lim0fx，或 在 处无定义。)()(li 00 xffx)(xf02o第二类间断点：特点： 和 至少有一个为，)(lim0xfx)(lim0xfx或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点： 和 至少有一个为)(lim0fx)(lim0xfx函数在 处连续的性质0x1. 连续函数的四则运算：设 ，)()(lim00 xfxfx )()(lim00 xg
9、xgx1o )()()()(li 000 xfxgfx 82o )()()()(lim000 xgxfxgxfx 3o )()(li 000 xgfxgfx 0)(lim0xgx2. 复合函数的连续性：)(),(),( xfyxufy )()(lim),()(lim 0)(000 xfufx xux 则：)()(li)(li 000 xffxf xx 3. 反函数的连续性：)(),(),( 001 xfyxfxfy )()(lim)()(lim 011000 yffff yx 函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,)(xf,bay
10、 y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b x92. 有界定理：在 上连续 在 上一定有界。)(xf,ba)(xf,ba3.介值定理：在 上连续 在 内至少存在一点)(xf, ),(，使得： ， cf)(其中： Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm0 a 1 2 b x推论：在 上 连 续 ， 且 与 异 号)(xf,ba)(af)(bf在 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得 ： 。),(0)(f4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数： 在 的某个邻域内有定义，)(x
11、fy010xfxfxyxx )()(limli 00000)()(li0xffx00 )(0xx dyfy 2左导数： 00)()(lim)(0 xffxfx 右导数： 00)()(li)(0 xfffx 定理： 在 的左（或右）邻域上连续在)(xf0其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00 xfxfx （或： ）)(li)(00ffx 3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续)(xf0)(xf04. 函数可导的充要条件：定理： 存在 ，)(00xfyx )()(00xff且存在。115.导函数： ),(xfy ),(ba在 内处处可导。 y )(xf),(ba)(0xf )
12、(xf6.导数的几何性质： 是曲线 上点 )(0xf )(xfyx处切线的斜率。 o x0 x0,M求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuvu)（2o （3o 2vuvu )0(v3.复合函数的导数：)(),(),( xfyxufy ，或 dxuydx )()()( xff 注意 与 的区别：)(f)(xf表示复合函数对自变量 求导；)(xf表示复合函数对中间变量 求导。)(f )(x4.高阶导数： )(),(),()3fxfxf 或12)4,32(,)()()1() nxfxfnn函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念1.微分： 在 的某个邻域内有定义，
13、)(xf)(xoxAy 其中： 与 无关， 是比 较高)(x)(x阶的无穷小量，即：0)(lim0xox则称 在 处可微，记作：)(fyxAddy)( )0(x2.导数与微分的等价关系：定理： 在 处可微 在 处可导，)(xf )(f且： )()(xAxf3.微分形式不变性：dufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分 都具有相同的形式。y2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理: 满足条件:)(xf13.0)(,),().()(3;,2,100. fbabfafba 使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在 上 连 续 ；在y ( )(xf)(xfa o
14、 b x a o b x2.拉格朗日定理： 满足条件:)(fabfffbaba )()()(),(),(2,100 ， 使 得 ：在 一 点 内 至 少 存在内 可 导 ；在 上 连 续 ，在罗必塔法则：（ 型未定式）,0定理： 和 满足条件：)(xf)(xg1o ；）或）或 (0)(limlixgfaxax2o在点 a 的某个邻域内可导，且 ；0)(xg143o）（ 或 ,)(lim)( Axgfax则：）（ 或 ,)(li)(li )()( Axgfxgfaxax注意：1 o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o 若不满足法则的条件，不能使用法 则。即不是 型或 型时
15、，不可求导。03o应用法则时，要分 别对分子、分母求导，而不是对整个分式求 导。4o 若 和 还满足法则的条件，)(xf)(xg可以继续使用法则，即： ）（ 或 Axgfxgfxgf axaxax )(lim)(lim)(lim)()()(5o 若函数是 型可采用代数变,0形，化成 或 型；若是 型可0,1采用对数或指数变形，化成 或 型。0导数的应用1 切线方程和法线方程：设： ),(),( 0yxMxfy切线方程： )(000 xfy15法线方程：)0(),()(1 0000 xfxxfy2 曲线的单调性： ),(0)( baxxf 内 单 调 增 加 ；在 ),()(baxf),()(f
16、 内 单 调 减 少 ；在 ),()(baxf ),(0)(f内 严 格 单 调 增 加 ；在 ),(ba),(0)( baxxf内 严 格 单 调 减 少 。在 ),(ba3.函数的极值：极值的定义：设 在 内有定义， 是 内的一点；)(xf),(ba0x),(ba若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有：0 0)()()()( 00 xfxfxfxf 或则称 是 的一个极大值（或极小值） ，)(0f)(f称 为 的极大值点（或极小值点） 。0x)(xf极值存在的必要条件：16定理：0)()(.2)()(.1 000 00 xfxf xff存 在 。存 在 极 值称为 的驻点0x)(f极值存在的
17、充分条件：定理一： 是 极 值 点 。是 极 值 ；时 变 号 。过 不 存 在 ；或 处 连 续 ；在 0000 00 00 )()(.3)(.2).1 xfxffxf xf 当 渐增通过 时， 由（+）变（- ） ；x0x)(xf则 为极大值；)(0f当 渐增通过 时， 由（- ）变（+） ；则 为极小值。x0x)(xf )(0xf定理二：是 极 值 点 。是 极 值 ；存 在 。； 00000 )()(.2.1xfxff 若 ，则 为极大值；)(0f )(0f若 ，则 为极小值。)(0xf )(0xf注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若 ；则 在 内是上
18、凹的（或凹的） ，baxxf ,0)( )(xf),(ba（） ；17若 ；则 在 内是下凹的（或凸的） ， （） ；baxxf ,0)( )(xf),(ba的 拐 点 。为 称时 变 号 。过 ， )(,)(.20).1 000000 xffxff 5。曲线的渐近线：水平渐近线：的 水 平 渐 近 线 。是或若 )()(limli xfAyAxffxx 铅直渐近线： 的 铅 直 渐 近 线 。是或若 )()(limli xfCxxffCxx 第三章 一元函数积分学3.1 不定积分一、主要内容重要的概念及性质：1原函数：设： DxFxf ),(),(若： fF则称 是 的一个原函数，)(x)(
19、xf并称 是 的所有原函数,CF)()(f其中 C 是任意常数。2不定积分：函数 的所有原函数的全体，)(xf18称为函数 的不定积分；记作：)(xfCxFdf)()(其中： 称为被积函数；)(xf称为被积表达式；d称为积分变量。x3. 不定积分的性质： )()(xfdxf或： dff )()( Cxfdxf )()(或： ff)()( dxfxfxf n)()()(21 dxfxfdf n)()()(21 分项积分法 (k 为非零常数)dfkxkf )()(4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法：（又称“凑微元”法）dxxf)()()()(xdxf凑 微 元19CtFdtfxt )()()
20、(令 xxt)()(回 代常用的凑微元函数有：1o )(1)(1baxdaxddx )0,( aba为 常 数 ，2o )()1(1 11 baxdmadxmdx mmm 为 常 数 ）（3o )(1)( baededxe xx )1,0(),(ln1aaddxax4o )(l1xdx5o )(sincos)(cossin xdx)(cot)(tanec22 xdx 206o )(arcos)(arcsin12 xdxdx)cot()(arctn12 xardxdx2.第二换元法：)()()()( tdtfdxft 令 CtFdxtft )()(Fxt )(1)(1反 代第二换元法主要是针对含
21、有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o 0, tntx为 偶 数 时(当被积函数中有 时)x2o 20),cos(,sin txatax或(当被积函数中有 时)22x3o )0(,0),cot(,tan 22 ttax或(当被积函数中有 时)22x4o )0(,0),cs(,sec 22 tttatax或21(当被积函数中有 时)22ax分部积分法：1. 分部积分公式： vdxuvudxvu2.分部积分法主要针对的类型： xdPxdPcos)(,sin)( e)( xdPln)( xdxParcos)(,arcsi)(xdxP t)(,tn)( bxdebeaxa c
22、os,si其中： （多项式）nnn axaxP 110)(3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令 ，uP)(其余记作 dv;简称“三多选多 ”。在指数函数乘多项式中，令 ，x)(其余记作 dv;简称“指多选多 ”。在多项式乘对数函数中，令 ，uln其余记作 dv;简称“多对选对 ”。22在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作 dv;简称“ 多反选反” 。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作 dv;简称“ 指三任选” 。简单有理函数积分：1. 有理函数： )()(xQPxf其中 是多项式。)()(P和2. 简单有理函数： 21)()(,1)()( xPxfxxf
23、 )()( bxaxPf baxf 2)()(3.2 定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x iiiba ni iinx xfdxf ,)()( 110lm 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于 x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号， yx 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x2. 定积分存在定理： 23baxfy,)(设 ：若：f(x) 满足下列条件之一 : ;,)(.2 ;,.1 点上 有 有 限 个
24、第 一 类 间 断在连 续 ， baxf 上 可 积 。在则 ： 上 单 调 有 界在 baxf,)( ;,.3o若积分存在，则积分值与以下因素无关：上 任 意 选 取 。可 以 在的 选 取 无 关 ， 即与 点 可 以 任 意 划 分上 的 划 分 无 关 ， 即与 在 即与 积 分 变 量 形 式 无 关 ， iiii babaxba dtfdxf,13 ;,2 )()(1 有 关 。与 区 间积 分 值 仅 与 被 积 函 数 ,)(baxf3. 牛顿莱布尼兹公式： )()()()( ,)()( aFbxFdxf afFbaba 则 ： 上 的 任 意 一 个 原 函 数 ：在是 连
25、续 函 数若*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲 边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4. 原函数存在定理：24)()()(,)()( ,)()( ,)( xfdtfxbaf baxdtfxbaxfxa 且 ： 上 的 一 个 原 函 数 ，在是则 ： 连 续 ，若5. 定积分的性质：上 可 积 ， 则 ：在设 ,)(),( bxgfaba dxfkdkf )()(1bba xfxf )()(20)(4 )()()()(3 dxf dxgdxfdgfa babab )()()()(5 bcadxfdxff bccaba bdxba16y y yf(x) g(x
26、)1 f(x)0 a c b x 0 a b x 0 a b x25dxgdxf bagfbaba)()( )(),()(7则 o 上 的 最 小 值 和 最 大 值 。在分 别 为其 中估 值 定 理 ： baxfMmMdfabba ,)(, )()()(8 y yM f(x) f(x) m0 a b x 0 a b x )()( ,)(9 abfdxf baafba 使 则 ： 必 存 在 一 点连 续若 积 分 中 值 定 理 ：o（二）定积分的计算：1. 换元积分)(,)( txbaxxf ，连 续 ，设,)( tt连 续 ，若,)(,)(,)(ba batt变 到单 调 地 从时 ，
27、变 到从且 当26dttfdxfba )()()( 则 ：2. 分部积分bababa vduvud3. 广义积分00 )()()( dxfdxfdxf4. 定积分的导数公式)()(1xfdtfxax（o)()()(2)( xftfxxa o)()()()()(3 1122)()(21 xxfxxfdtfxx o(三)定积分的应用1. 平面图形的面积: )(,0)(1 babxaxxfy 由o与 x 轴所围成的图形的面积 y f(x)badxfs)( )(),(),(221 gfxgyfy 由o27dxgxfsbaxba)()(,所 围 成 的 图 形 的 面 积与 )(),(),(321 yy
28、由odyysdcydc)()(,所 围 成 的 图 形 的 面 积与 ：求 平 面 图 形 面 积 的 步 骤.4. 求出曲线的交点，画出草图； . 确定积分变量，由交点确定积分上下限；. 应用公式写出积分式，并进行计算。2. 旋转体的体积及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所bxaxxfy ,0)(1 与曲 线o得旋转体的体积：dxfVbax )(20 a b x及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转dycyyx ,)(2 与由 曲 线 o所得旋转体的体积：dyVdcy )(2第四章 多元函数微积分初步4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：281. 多元函数的概念3. 二元函数的定义：Dyxyxfz
29、 ),(),()(fD定 义 域 ：4. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 （而一元函数是平面上的曲线）2. 二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件： 的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 ),(10yx可 除 外 ）（ 点 ),(0Ayxfyx),(lim20 。极 限 存 在 ， 且 等 于在则 称 Ayxyfz ),(),(02. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件： 的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 ),(10yx ),(),(lim2 00 yxffyx 处 连 续 。在则 称 ),(),(0yxyfz.偏导数： 点在定
30、 义 ),(),(: 0yxyxf29xyfyxfyxfx ),(),(lim),( 00000 yyxfyxfyxf yy ),(),(li),( 0000的 偏 导 数 。处 对 在分 别 为 函 数yx yxyxfxffy, ),(),(),(),( 000 处 的 偏 导 数 记 为 ：内 任 意 点在 ),(),( yxDyfzxx zxyfyf ),(),( yy zyfxf ),(),(.全微分：1.定义：z=f(x,y) ),(),( yxfyxfz 若)(oyBA ） 是 比（无 关 ，、与、其 中 ， ox较 高 阶 的 无 穷 小 量 。22yxyBxAdfz ),(:则30在点(x,y)处的全微分。),(yxfz是3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),( Dyxyxfyfyx 连 续 ，定 理 ： 若 处 可 微 且在 点则 ： ),(),(fzdyxfdxyfd yx ),(),(.复全函数的偏导数：1. ),(),(),( yxvyxuvufz 设 ：),(),(yxfxvzxuzxz 则 ： yvzyuzyz 2. )(),(),( xvxuvuf 设)(),(xfy.隐含数的偏导数：1. 0),(,0),( zFyxfzzyxF且设 zyzxFyxz ,则dxvydxuydx
