1、本文由SCIbird排版整理 谈谈数学中的构造法 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 在写本文时自然想到了“反例”，确实，数学中很多天才的构造方法是以“反例”形式出现的。在数学分析中，最具代表性的要数“处处连续处处不可导函数”这个经典反例。 记()x表示x与离它最近整数的距离，则(1) ()xx+= . 建议动手画画图，发现这是一个“锯齿函数” 令0(4 )() ,4Rnnnxfx x=. 此函数级数是一致收敛的，因此定义了一个连续函数，这个函数处处连续处处不可导。具体证明见新讲第三册
2、。 注：张筑生老师的数学分析新讲简称新讲，以下同。 上面反例的证明不难，但对于这种天书一般的想象力，很多人自然想一探究竟，如何想出来的。笔者曾试图归纳总结一下想象力或者创造力有没有什么规律，结果却是徒劳。大概试图用一种确定性方法，来研究高度不确定的对象，可能出发点就不太对。这也许就是创造力本身被称赞为艺术的原因之一吧，数学中的构造性方法是创造力的典型代表。 本文不采用抽象的论述来描述构造法，而是试图用一些例子来说明一下。个人经验表明，如果你对某个XX理论感到难以掌握，那么最好去搜集整理十个该理论的经典例子，然后完整地推导一遍，会有一个认识上的飞跃的。 数学中的构造性方法有几种体现： 1. 有的
3、是否定某个想法（如上面的处处连续处处不可导函数）； 2. 有的是验证某个结论是否成立，比如我们研究某一类函数或泛函的下确界问题，猜出下界C，然后在构造一个函数序列，使得下界C能够被逼本文由SCIbird排版整理 近，这说明C就是所求的下确界。 3. 有的是验证某些定理成立的前提条件，如果条件改一改定理结论是否成立？如著名的布劳威尔不动点定理断言从单位闭球到单位闭球的连续映射:nnf DD必有不动点00()f xx= . 这是一个拓扑学定理，如果把单位闭球nD换成一般的单位球面，是否存在不动点？容易证明，不动点不一定存在，如设映射f为对径映射()f xx=，这也是一种构造法。实际上不动点证明的关
4、键是利用了单位闭球nD“凸性”，下面这张图在不动点的各种证明（如新讲第三册）中经常遇见，这个构造的新映射()gx太重要了！ 上面这几个例子还是局限在数学分析本身，其实构造法还可以走的更远一些，如分析和几何跨界。这里强调：本文所称“构造法”，不仅包括严格的数学证明，也包括一些带有想象力的独特想法。下面用两个问题来说明一下。 第一个问题是北大2009年研究生考试的一道数学分析试题，问题如下： 已知 , 0,xyz x y z += ， 试求 2cos 3cos 4cosxyz+的最大值和最小值。 本题的解法并不难，难的是如何求解超越方程。先消去z转化为无条件极值问题，则原问题等价于求下列二元函数的
5、最值： 2cos 3cos 4cos 2cos 3cos 4cos( ) : ( , )xyzxyxyfxy+=+ += 其中(,)f xy定义在有界闭区域( , ) | 0 , , 0 Dxy xy xy=+上。由区域D的紧性以及(,)f xy的连续性可知，最大值和最小值存在。 求解过程很流程化，先求边界上最值，再求解内部的驻点值，然后放在一本文由SCIbird排版整理 起比较大小即可。容易求出边界D上最大值为5，最小值为1；求解内部的驻点值似乎要求解三角方程： ( , ) 4sin( ) 2sin 0(,) 4sin( ) 3sin 0xyxy x y xfxy x y yf =+ =+=
6、客观说，笔者初解时被这个问题卡住许久，不大相信北大出这道题是要考生求解方程。经过思考之后，笔者发现，问题是要求函数的驻点处的函数值，而不是驻点值，也就说只要证明驻点存在即可。 一方面，偏导数方程给出了三角函数的“比例关系”。另一方面可观察到若驻点值存在，则,xy都是正数且满足xyz+= . 多少有些灵感划过心海吧，我意识到如果把,xyz视作三边之长分别为,abc的三角形的内角，则由“正弦定理”（来自几何），得 sin( ) sin sincbaxy y x=+结合偏导数方程，得到关系式2,3 4acbc=. 令6, 4, 3atbtct=，则不难验证确实可以构成一个三角形，且满足此关系的三个内
7、角是惟一确定的，这就证明了驻点的存在性。 余下就容易了，利用余弦定理可以算出 11 29 43cos , cos , cos24 36 48xyz= = = 于是驻点对应函数值为 11 29 43 61234 524 36 48 12 + + = 于是原问题所求最大值为6112，最小值为1. 出乎意料，这个最大值还真不好猜。 本题的巧妙之处在于以“正弦定理”为桥梁，将一个三角方程问题转化为一个三角形的边角关系问题，算得上是“数形结合”的例子吧。 另一个问题是一道智力题，一般化的表述为： 设在区间 (0 ,1)内随机选取 n 个数，求这 n 个数中最小的数的期望。 这个问题不算难，有标准的解法。
8、每个数在(0 ,1)都服从均匀分布，即这n个数是独立同分布的。记第i个数对应的随机变量是iX，则原问题转化为求最小数的概率分布或概率密度 1min( , , ) ?nPXXx = 本文由SCIbird排版整理 然后在按照数学期望公式直接计算即可。 首先，由独立同分布可知 11min( , , ) 1 min( , , ) 1 , 1 nnPXXx PXXxPX x X x PX x PX x = = = 其次由独立随机变量iX服从(0 ,1)上的均匀分布 1 1xiPX x du x= =由上面可求出这n个的联合分布函数 1min() min( , , ) 1 (1 )nnFx P X X x
9、 x=, (0 ,1)x 于是其对应的概率密度函数为 1min min() () (1 )nf xFxnx= 所求最小数1min( , , )nXXX=的数学期望为 1011(1 ) (2 , )1nEX nx x dx nB nn= =+计算中用到了函数与B函数的一些基本性质。 这是一个标准且严格的数学证明，也是笔者最初想到的方法。但总觉得不太自然，因为当时很快猜出了结果1/( 1)n+，总觉得有更直观的思路，感觉就在眼前，但却捕捉不到。晚上在超市里买火腿肠时来了灵感，笔者发现这个问题可以转化为更直观亲切的表述： 考虑一根长度为 1 的火腿肠，随机切 n 刀，分成 1n+ 段，问最左边的那一
10、段长度期望是多少？ 将这1n+段火腿肠调整排列次序，仍然组成一根长度为1的火腿肠，构成另一个n刀切（某种平等性），可推测出这1n+段火腿肠的长度期望均相等，都是1/ 1n+，这个数就是我们所求的最小数的期望。直观上确实不难想到，最左边那段火腿肠没有什么特殊性。 上面两个问题第一个借助于几何来构造求解方法，第二个借助于物理来构本文由SCIbird排版整理 造求解方法。将一个具体问题抽象化能有助于帮助我们接触到数学本质。反过来，将一个抽象问题具体化、直观化，有助于找到方向，毕竟构造法是一个具体过程。 数学中的构造方法太多了，诸如多项式逼近连续函数的“伯恩斯坦多项式”，傅里叶级数理论中的“费耶和”，
11、求解非线性方程的“牛顿迭代法（切线法）”等等。只有对这些定理的应用条件和证明关键地方掌握得非常熟练，再配合大量的应用联系，才能提高创造力。天下没有免费的午餐，熟能生巧，此提高创造力的必要条件也。 最后介绍一下中值定理辅助函数构造法中最常见的“Pe因子法”，该方法体现了中值定理与微分方程之间的联系，在解题中非常实用。 中值定理与微分方程关系紧密，比如1阶形式() ()() 0f Pf+=. 将视作变量x，得到一个一阶微分方程() ()() 0f xPxfx+=. 分离变量，再积分得到 ()() 1Pxf xe= 上式两边对变量x求导，再注意到关键因子Pe是正的，可以消去，得到 () ()() 0
12、f xPxfx+= 就笔者所见，大多数() ()() 0f Pf+=类中值定理问题的辅助函数如下 ()() ()PxFx e fx= 然后验证()Fx有“两个零点”，应用罗尔中值定理，得() ()() 0f Pf+=. 不光是中值定理问题，很多凑全微分问题也利用了上面的因子法思想，如 设 C 是区间 0 ,1上的所有实值连续可微函数 f 的集合， 且 (0) 0 , (1) 1f f=. 求出最大的实数 u，使得 f C ，不等式 10|() ()|ufxfxdx恒成立。 所求最大实数1ue= / . 这里利用导数恒等式()xxf fe ef= 以及xe在区间0 ,1上的单调性( 1xe )，
13、得 11110000() () (1|() () )| |xx x xfx fxdx f dxee e efdx fe= =本文由SCIbird排版整理 于是1ue /. 放缩中我们利用了关系式1xe ，显然为了使得下确界成立，还必须构造函数序列，使得1/e可以被函数序列积分逼近。一种构造方法是利用直线和指数函数组合成的分段函数来构造函数序列。当然，这种分段函数在连接点位置不一定可导，不过可以挖去这小部分，然后用一个光滑函数来连接，而不显著影响积分值。具体过程留给大家去思考。 二阶中值定理不常见，如果是常系数的情况() () () 0f pf qf +=，且方程系数满足240pq. 此时可效仿
14、一阶情况。这类二阶问题一般需要函数()f x有三个零点，然后求导两次，得到表达式。 辅助函数的构造依然按照解微分方程思路，根据新讲第一册介绍的算子法，引入微分算子/Dddx=，设方程20tptq+=的两根为12,，则 12()()()0DDfx = 解上面的微分方程，仍然可以按照一阶方程的因子法。 先可构造辅助函数 2() ()xFx e fx= 如果()f x有3个零点，对上面公式求导可知2() ( )()gx D fx=有2个零点。类似地，再构造辅助函数1() ()xxegx=，求导可知 () () () 0f pf qf += 最后强调，中值定理的试题比较活，需要活学活用才行，常需要分析法和归纳法相结合。 数学中的构造方法变化多端，少有定法，本文涉及的几个微积分初等例子也不可能穷其所有。如果对提高数学创造力给出一个可行的具体办法（带有个人看法），除去天赋之外，笔者给出的建议是：熟能生巧，多想多干。 祝大家学习顺利！
