1、关于数学物理方程的小结与提纲 数学物理方法课关键是掌握基本的解题方法和基本技巧， 这主要取决于平时对习题的认真完成和严格训练。李志强老师在“期末考试友情提示”中已经作了很好的总结和建议，希望同学们参考他的建议做好习题练习与复习工作。习题方面的问题可以直接与李老师进一步联系， 在这几天他会提供尽可能好的指导与帮助。 关于本学期的复习内容，以课堂上讲授的内容为基本范围。复习重点是吴崇试老师教材中不打星号的内容，但是在此之外在课堂上讲过的也应该有基本的理解和掌握。本学期讲授内容的小结和提 纲我们列在后面供同学们参考，考试范围在此范围之内。 考试题目的题型会尽可能参考上一学期的试卷。 多数题目的难度比
2、作业题中为易。请同学们不必紧张，精神放松。 祝各位同学取得好成绩。 考试时间：2010年1月13日下午2：00 - 4:00 考试地点：二教301 请大家准时参加。 第一讲 数学物理方程与定解条件 完整地处理一个数学物理方程问题，包括三个步骤 ：1）建模：把物理问题化为数学上的定解问题；2）解定解问题；3）对解做物理解释。 1 波动问题 (the wave equation) 描述一个弹性均匀细杆作纵向小振动的运动方程： ( )22222,E, , Fxtuuaf a ftx S= = =波动方程的 3D 形式： 22220uaut=where 2222222x yz + + 。 Exampl
3、e 1 Vibrating String 弦的横振动方程： () ()( )22222, , , = , Fxtuuafxtfxt atxT = =Example 2 传输线方程 （电报方程） 22222210, jjaatx= LC， 其中 ( ),j jxt= 为交变电流 222220vvatx=其中 ( ),vvxt=为交变电压 Example 3 电磁波方程 利用电磁场的 Maxwell Eqs. 的微分形式，可导出真空中的电磁波方程： 222 2 220010, EaE a Ct = = =KKand 22220HaHt =KK。 2 输运问题 (the heat equation)
4、 在研究热传导现象时，我们想知道: 温度在空间的分布和随时间的变化 ( ), ?uxyzt= 若介质均匀， const , 引入k, kFfcc = 2uuft =非齐次热传导方程 若无热源， ，有 0f =20uut =齐次热传导方程 3 稳定场 The Potential Equation 3.1 静电场方程 2 ，电荷分布 ( ),fx yz，有 静电场中，介质的介电常数20fu+ = Poissons Equation 在无电荷分布区， 0f = , 有 Laplaces Equation 这 场中常Laplaces Equation e. Time n 20u=是稳定 见的两个方程。
5、 3.2 稳恒电流场 同样有方程20u= Exampl -Dependent Schrodinger Equatio()22,iVxyz2t = +=. =4. 定解问题 4.1 方程小结 数理方程分类 二阶线性偏微 泛定方程 时间关系 分方程分类 波动方程 双曲型方程 ()2222,uaufrtt=K可逆，需要两初值条件 齐次方程 当 0f = 热传导方程 抛物型方程 （输运方程） ()2uuf ,rtt =K不可逆，一个初值条件 稳定场方程 椭圆型方程 20u = Laplaces Eq. ( )2u=frKPoissons Eq. 20uu += Helmholtzs Eq. 时间无关，
6、 不需初值条件4.2 微分方程的定解条件 （1） 初始条件 Initial conditions 3( )()00ttuxuxx=系统上各点的初位移系统上各点的初速度（ 2） 边界条件 Boundary conditions 0uun+=， where un为 u 的法向导数； 为边界点的坐标 if 0, 0u=第一类 or Dirichlet 边界条件； if 0, 0un=第二类 or Neumann 边界条件； if 0, 0 第三类 or Robin 边界条件。 （ 3） 衔接条件与其它自然边条件 用两根不同介质的杆连成一根杆，考虑这根杆的纵向振动，在连接处位移相等，在接点处有条件 0
7、012x xxuu=x， 0012x xxuuEEx= =where 分别代表两种不同介质杆的位移， 分别代表两根杆各自的杨氏模量。 () (11 2 2, ,uuxtuuxt=)21EE和有限性条件 Example VII : 静电场中，在坐标原点的电势有限（当原点无电荷时） 。 周期性条件 物理量在同一空间点和同一时刻应有确 定值，在采用球坐标系（或标坐标系）时，就必然导致周期性条件。显然 ( ) ( ), 2 ,ur ur +=无穷远条件：如 ， li 有界，或者 在 大时有渐近行为lim 0ru= mruu r( ),f rt辐射条件( 热传导问题中 )： ()40uCu un= 4其
8、中 C 为常数， ：外界温度， 用绝对温标。 0u0,uu（ 4） 定解问题的三种提法 初值问题 initial-value problems 泛定方程初始条件 4 边值问题 Boundary-value problems 泛定方程边界条件 混和问题 泛定方程边界条件初始条件 4.3 定解问题的适定性 包括三点：1）解的存在性：即，在一定的定解条件下，方程是否有解？2)解的唯一性：在给定的定解条件下，所得到的解是否唯一？3)解的稳定性：解对定解条件的连续依赖性如何。 第二讲 二阶线性偏微分方程的分类 通解与行波法 1. 二阶线性偏微分方程的分类 含有两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式 (
9、) () () () () () (222, ,uuuuu),A xy Bxy C xy Dxy E xy F xyu Gxyxxy xy+=根据判别式24B AC= 的符号提出微分方程的分类： 1） if ，双曲型（波动方程） ，而双曲型偏微分方程的第一种标准形式为： 0() () () (21111,uDuEuFuG), =+，双曲型偏微分方程的第二种标准形式为：() () () ()22111122,uuDuEuFuG, = + + +。 可以进一步简化为 (22*1122,vvhv j ) =+where () ()( )*11* * *2 *2 * * * *111 1 111 12
10、, , ,edhfed edj g e +=+ + = 。从物理上说，热传导过程反映的是一种趋向均匀化的物理过程，波动过程是可逆过程。 2） if ，抛物型（热传导方程）；而抛物型偏微分方程的标准式为 0=()Du() () ()222222,uEuFuG +=+ ，可以进一步简化为 5()2222, vhv j =+( ) ( )( )22222 2222 2where 2 , , ,edhf eddj g e +=+ = 。 3） if ， 椭圆型（稳定场方程）；而椭圆型偏微分方程的标准形式为 0lto subject to ()() ()0, 0, , 0 0xxlBC u x t u
11、x t t= ()() () ()00, , , 0ttuIC u x t x x x lt=subject to ()() ( )0, 0, , 0 xxlBC u x t u x t=()() ()( )()00, ttuxtIC u x t x xt=本征函数展开法的基本思想：求相应齐次定解问题的本征函数，然后将非齐次项 ( ),f xt和所要求的解 按照本征函数展开，最后求出展开系数即可。 (),uxt确定相应齐次定解问题的本征数系 () ()2222200,0, ,0 xxluuatxuxt uxt=分离变量得到的本征值问题 ( ) ( )() ()0,00, 0Xx XxXXl +
12、=求得本征值与本征函数： ()2eigen values: , 1,2,eigen functions: sinnnnnlnXx xl=“（ 1） 用本征函数系 sinnxl展开 ( ),uxt和 ( ),f xt () ()1,sinnnnf xt f t xl=且 () ()02,sinlnnxf tfxtll=dx9同时 () ()1,sinnnnxuxt T tl=（ 2） 求展开系数 ()nTt将以上两级数代入泛定方程 () () ()211sin sinnn nna nx nxTt Tt ftll l =+=得到 () ()() ()0020sin20sinlnnlnxTxdxll
13、nxTxdxll = =加上 () () ()2nnnaTt Tt ftl+=n上面形成了常微分方程的初始问题。由常数变易法解得： () ()()0sin cos sin , 1,2,lnn nnnatl n at l n atTt ft d nna l l na l =+“= 代上式入 () ()1,sinnnnxuxt T tl=即得原非齐次定解问题的解。 第四讲 正交曲面坐标系 1 柱坐标系中的分离变量法（ Problems in Polar and Cylindrical Coordinates ） 1.1 时空变量的分离 The wave equation ( )()2222, 0w
14、xyztawxyztt =通过变换 ( ) ( ) ( ), ,wxyzt uxyzTt=10得到 () ()()()220, , , , 0 Helmhotzs Eq.Tt aTtuxyz uxyz +=+ =The heat Equation: ()()22, 0wxyztawxyztt =同上变换得 ( )2200 Helmhotzs Eq.Tt a Tuu +=+ =Laplaces Eq. ( Helmholtzs Eq. as 20u= 0 = ) 1.2 柱坐标系中 Helmholtzs Eq. 分离变量 20uu+ =Laplaces Operator 在直角坐标系下和柱坐标系
15、下的表示式分别为： 222222222 2 2222 2 2 22 2222211 11110 xyzzzuu uuuz + +2 + + = + + + + +=Helmholtzs Eq. 在柱坐标系下可分离变量成三个常微分方程 2222000ZZRR R +=+ = + = where: 和 2 ，2 是分离变量过程中引入的常数，要根据边界条件取某些特定值，即对应方程的本征值。 2 球坐标系中的分离变量法（ Problems in Spherical Coordinates） 2222 211 1sin 0 sin sinuurrr r r r + u= Laplaces s Eq. 在
16、球坐标系下可分离变量成三个常微分方程 11()22221dR dRrrlRdr dr+0= ()221sin 1 0 sin sinddmlldd +=2220 dmd+=第五讲 Legendres Functions 1 Legendres Functions 从用幂级数解法解勒让德方程 ()210 ddyxydx dx+=可知，当参数 时，才有在()1 , 0,1, 2,ll l =+ = “ 1,1中有界的解，即勒让德多项式 : () ()()()( )22022!2! ! 2!lrlrllrlrP xxrl r l r= The first five Legendre polynomi
17、als： ( )01Px=, , ()1Px x=() ()221312Px x= , () ()331532Px x x=, () ()424135 30 38Px x x=+, () ()535163 70 158P xxx=+x2 Rodriguess Formula 罗巨格公式 For 0,1, 2,l = “() (2112!llllldPx xldx)= . 3 A Generating Function for the Legendre Polynomial 生成函数 假如 ()21,12Lxtxtt=+，则可证() ()0,lllL xt P x t=成立。 4 Recurre
18、nce Relations for Lengendre polynomials 递推关系 ()()( )() ( )11121llllPx lxPxlPx+ 0=l() ()( ) ()11llP xxPx l Px+=+() () () () ( )112 ll l lPx P x xP x P x l+= + 112() () ()1ll lxPx P x lPx= () () ( ) ()1121ll lP xP x l Px+=+ 5 Orthogonality of the Legendre Polynomials on 1,1If and are nonnegative integ
19、ers, then k l()()110, if klP xP x dx k l=. If cox s= , ()()0cos sin 0, if klcosP Pd kl= . ()() ()112, where 1, 0 21kl kl l klPxPxdx k ll=+. 6 完备性 Completeness of the Legendre Polynomials 把函数 ()f x 按 Legendres Polynomials ( )lP x 的广义傅立叶级数展开 () ()0lllf xfP=x这里( )f x定义在 1,1区间上任意一个平方可积的函数； ()()111lllf f
20、PdN =， 其中 的模 lP()121llNPx= dx 。 7 Associated Lengendre Functions ()22210 1ddymxydx dx x+ =Where () ()cos , x yx=. 讨论( )1, 0,1,2,ll l=+ = “的情形，求出方程在11x 中的有界解，这就是一个本征值问题。方程的一个解： () () () ( )221 0mmmllmdP xx Px mdx= l 这就是 m 阶 l 次 Associated Legendres Equation（第一类） 。为了适合于求解本征值问题，还可以取为 Hobson 定义： () () (
21、) () ( )221 0mmmmllmdPx x Px mldx= 13这个本征函数也具有正交归一性质： () ()( )()11!2!2 1mmlk lklmlPxPxdxlm l+=+做变换 cos x = ，有如下形式 ()()( )()0!2cos cos sin !2 1mmlklmlPP dlm llk +=+。 关于 ()mlP x 的四个基本递推关系： ( ) ( ) ( )()()()() ()()()()()() ()( ) ( )111221111121121121 1 ,211 ,211 1 2 1 ,211 1 1 .mm mll lmm mll lmmmllllx
22、PlmPlmPlxPPPlxPlmlmPlmlmPdPlx llmPlmPdx+ml +=+ = + =+ + + =+ +( )cosmlP 与 ( )cosmlP 相差一个常数因子： () ()( )()() ( )!m0!mmmlllmPx Pxlm=+。 同时，我们可以写出球函数方程（也是一个本征方程） ()22211sin 1 0 sin sinSpherical Function Eq.YYll Y += 和相应的边界条件 ( ) ( )()( )() ()00, ,0 YYYYYY 有界， 有界， 对应的本征函数球面调和函数，球面谐函数 () (),cos, m imllSPem
23、 =l这样独立的 l 阶球函数共有 2l 1 个。通常采用的归一化的球面谐函数 ()( )()(),!21, cos , 0, 1, 2,. .4!m imlm llmlYPemlm +=+l),这里 ()() (*,mlm l mYY = ，且正交归一关系成立： 14()()2kn00,sinlm lk mnYY d =。 8 加法公式 () ()()()()()()()()()()(1cos cos cos!cos cos 2 cos cos cos!limmmmlllmllmmll llmPPPelmPP PP mlm) =+其中 ( )cos cos cos sin sin cos =
24、+ )。 (,lmY 表示的加法公式为 () () ( ) () ()() * 0,44, ,21 21llml lmlm lmlmml mlYYYY,Y = = =+而且： () ()021cos4lllYP += 。 第六讲 Bessel Functions 1 Bessel Functions of the First kind 第一类贝塞尔函数 () ()()()()()()()2011, arg!1211 2 1kkkxJx xkk+= Greens Function： ()22 2020011 1,42cos2cosGrrrr rrrrrrr =+KK场强： ( ),EGr=KKK
25、球面上电荷分布： 00rrr=球面上总电荷： 1ds =由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷 q的场等效，所以电荷 受感应电荷的力为 q()2014qq iFrr=KKKK. 215 傅里叶变换法求解格林函数 6 用正交函数组展开格林函数 7 输运问题的格林函数 格林函数求解热传导问题的基本思想：首先引入一个瞬时单位强度的点热源，求出该点热源所引起的温度分布函数（即格林函数） ，然后再对空间各点的瞬时点热源的作用进行叠加，也就是对空间和时间的积分 ，即可求得任意热源所引起的温度分布。 8 格林函数在波动问题中的应用 用格林函数法求解非齐次波动方程的初值问题时， 先用拉氏变换法求出达朗伯方程在无
26、界空间的格林函数，然后用格林函数求解。 第八讲 变分法 1 泛函概念 泛函的定义 ：设对于某一函数集合内的任意一个函数 ( )yx，有另外一个数与之对应，则()Jy J y 为 的泛函。 泛函的定义域为函数组成的一个集合或者“空间”， 而不是坐标空间的一个区域。通常要求()yx( )yx满足一定边界条件，并且具有连续的二阶导数。 变分法研究的对象是泛函 。我们只讨论用积分定义的泛函 ()10,xxJ y Fxyydx=这里要求变量 ()y x 有连续二阶导数（这样的函数称为 C2 类函数）。 泛函的极值问题是变分法的基本问题。也就是说，对应不同的自变量函数( )yx，相应的泛函 有不同的值，找
27、一个确定的自变量函数Jy ()y x 使 Jy具有极小（或极大）值。这种极小值与极大值称为泛函的极值。 2 泛函极值的必要条件 泛函 ()10,xxJ y Fxyydx=的极值问题的 The EulerLagrange equation （ E-L Equation）： 220Fd Fydxy= 。 3 几个自变量的情形 二元函数 ( ),uxy的泛函 ( ), ,xyGJ u F x y u u u dxdy=的 E-L Equation 为：0xuFxyyuuFF=。 4 泛函的条件极值问题 普通的等周问题：求 ( )yxl=通过 和 两点，满足广义的等周条件并使泛函 0P1P= ()10
28、1,xxJy Gxyydx()10, xxJy Fxyydx取极值的必要条件。 等周问题的 E-L 方程为 0FGdFGyydxyy + + =。 5 泛函的变分 ()yx使泛函 取极值的必要条件是泛函的变分 ()10, xxJy Fxyy dx= 0Jy = 。 6 应用于本征值问题 变分法在数理方程中应用的原理： 1) 把一个微分方程的本征值问题或者边值问题和一个泛函的极值问题联系起来， 把原来的方程看成是这个泛函的欧勒 -拉格朗日方程； 2）求出使泛函取极值的函数，由于这个函数必须满足欧勒方程，它就是原方程的解。 7 Ritz 方法 里兹方法的优点是，不需要通过 E-L 方程求解，直接可以得到解一极值曲线 ( )yx。 基本思想：考虑二重积分表示的泛函 ( ), ,xyGJ uFxyuuudxd=y在边界条件下 ()u= s的极小值问题。这种解法关键在于试探函数的选择，这种选择直接决定近似解的优劣程度。 23
