1、 柯西是当今真正懂得应该怎样对待数学的人。 尼尔斯 阿贝尔 饥饿的童年 1789 年 7 月 14日，巴黎的教堂钟声齐鸣。成千上万的群众， 手持火枪、长矛，高举火把，浩浩荡荡地冲向封建专制的罪恶象征 巴士底狱。整个法国沸腾起来了 !时隔不到 6 个星期， 8 月 21 日下午，在法国大革命的隆隆炮声中，法国未来的大数学家奥古斯 丁路易柯西在巴黎呱呱坠地。奥古斯丁的父亲路易法朗科 柯西是法国议会的律师，有素养的古典语 言学家和神学家。母亲玛 丽亚马黛丽。迪珊丝是个温柔动人、虔诚的天主教徒。 这些日子，巴黎街道上旗帜如林，到处是群众的集会。断头台 前围观的人群，挤得水泄不通。王室和旧官吏遭到清洗和
2、镇压。柯 西先生因为曾经在波旁王朝的警察局里做过事，就和妻子一起，抱 着新生的奥古斯丁，来到巴黎附近的阿克爱尔避难。刚开始，靠着 过去的一点积蓄，日子还过得去。时间一久，生活渐渐困难起来， 常常吃了上顿，就顾不了下顿。手无缚鸡之力的柯西先生，不得不 拿起锄头，在空地上种些蔬菜、瓜果来充饥。可是，张着小嘴、嗷 嗷待哺的小生 命，不知趣地一个接一个地出世。柯西夫妇先后生育 两个男孩，四个女儿。为了减少消耗，一家人只好半饿着肚子，提 早上床睡觉。尽管这样，孩子们常常在睡梦中惊醒，哭着向妈妈讨 吃的东西。奥古斯丁看着啼哭的弟妹，就把母亲分给自己的一小份 食物悄悄塞到他们的嘴里。因此，他常常一天只能吃到
3、一二两食物， 长得骨瘦如柴，个子也比同年龄的孩子矮小得多。直到 20 岁，他才 发育到正常水平，而且在整个一生，他不得不十分注意自己的健康。 革命、战乱破坏了旧秩序，各地的学校都停办了。柯西先生只 好亲自负起教育孩子的责任。在这方面 他不愧为顶呱呱的大师。他 自编教科书，其中不少还是用流畅的诗句写成的。他认为，用琅琅 上口的诗来表达文法、历史、伦理等内容，儿童们接受起来要更加 容易些。在父亲的精心指导下，奥古斯丁从小就能自如地写出法文 和拉丁文的诗篇。后来，在闲暇的时候写诗，成了他一生的爱好。 他甚至还出版过一本有关希伯来文作诗法的书呢。 动乱的时代和苦难的生活，促使柯西夫妇到宗教中去寻求解脱
4、。 因此，在孩子的启蒙教育中，宗教教育占了很大比重。无辜的奥古 斯丁在双亲们炽热的宗教感情熏陶下，成了可怜的牺牲品，使他后 来蒙受许多不应 有的苦难。 奥古斯丁在阿克爱尔度过他艰辛的童年。美味佳肴同他丝毫无 缘不用说，就连填饱肚子是一种什么滋味，他也不知道。他终日饥 肠辘辘。书籍成了他最好的食物。只有遨游在书本所展示的无比神 奇的世界里，才使他获得最美好的享受，忘却了恼人的饥饿和人世 间的一切烦恼。 大数学家和小柯西 在柯西家破败的小屋对面，矗立着两幢气派非凡的哥特式建筑。 化学家克劳德 路易 贝托莱伯爵的华丽别墅和大数学家皮埃尔 西蒙拉普拉斯侯爵的豪华庄园，遥遥相对，交相辉映。两座花园 之间
5、，只隔一道墙，中间有扇小门。拉普 拉斯和贝托莱各有一把钥 匙，可以自由出入。这些日子，出于和柯西先生同样的原因，他们 两人也在这里避难。 贝托莱后来做了拿破仑的朋友，和蒙日的关系尤为密切。尽管 花园里姹紫嫣红，生趣盎然，这个性情孤僻的学者整天关在房间里， 静俏俏地做着各种奇妙的实验。年纪只小一岁的拉普拉斯性格活跃 得多。无论在彩霞满天的清晨或炊烟缭绕的黄昏，村民们常常可以 见到他手里握着一根树枝，迈着矫健的步伐，一边观赏大自然的美 景，一边构思着他的天体力学。有时候他还拐到柯西家来坐上 一会儿，喝一杯清茶。体面的邻居屈尊光临，使 柯西夫妇受宠若惊。 他们尽其所有，拿出最新鲜的水果来招待贵宾。不
6、过，吸引拉普拉 斯到这里来的，不是主人的殷勤好客，而是他们家的大儿子奥古斯 丁。他每次来访，总看见有一个少年老成的孩子独自一个人在角落 里专心致志地看书。瘦骨嶙峋的身子，穿着一件打满补丁的黑色长 袍，一头金黄色的长发，几乎披到肩上，活像是刻苦修行的苦行僧。 起初，拉普拉斯只是感到好奇。很快，他惊讶地发现，这个体格上 发育不全的小孩，智力上竟有非凡的天赋。他不但会写一手好诗， 而且有惊人的记忆力和计算本领。拉普拉斯不知不觉成了柯西家的 常客。他送 来书籍和食物，有时还带着奥古斯丁一同去散步。一老 一少，年纪相差整整 40岁。拉普 拉斯服饰考究，举止洒脱，处处流 露出自信；走在旁边的奥古斯丁，衣服
7、虽然破旧，但是十分整洁， 一对充满稚气的大眼睛闪烁着智慧的光芒。迎着灿烂的早霞，披着 落日的余辉，他们漫步在树林里，流连在小溪旁，有时并肩坐在绿 草如茵的草地上。像知心的朋友一样，拉普拉斯对着浩瀚的太空， 讲星球的演变和宇宙的奥秘，讲自己的抱负 用数学来描述太阳 系星球的运动。他绘声绘色地描绘出一幅生动的图画：这些星球， 按照数学的规律运动，像钟表一样准确 !小柯 西睁大眼睛，微张着 嘴巴，完全入了迷。他望着这位和蔼可亲的长者，心中油然生起崇 敬的心情，并且暗暗立下志愿，要像拉普拉斯那样，作一名揭开宇 宙之谜的探索者。后来，柯西对纯粹数学作出许多巨大的贡献，但 是他和拉普拉斯一样，首先是一位关
8、心数学应用的数学物理学家。 拉普拉斯抚摸着孩子柔软的头发，心里充满着喜悦。对他来说，在 僻静的阿克爱尔发现这个孩子，就像在漆黑的夜空中找到一颗明亮 的新星。但是，他万万没有料到，后来这颗新星竟把他吓出一身冷 汗 !那是 20 年以后的事。一天，拉普拉斯无意中参加法国科学院一 个论文 报告会。在会上，青年数学家柯西对无穷级数学的敛散性问 题第一次作出严格的论述。 什么叫无穷级数 ?什么是它的敛散性呢 ? 其实，在算术的循环小数中已经蕴含着无穷级数的初步思想。 例如 1/3=0 3333 这个循环小数就是无穷多项数累加的结果： 0 3333=0 3+0 03+0 003+0 0003+ 无穷多项数
9、 (或函数 )相加，称为无穷级数，它是数学分析不可缺 少的一个组成部分。 有的级数，例如上述的级数，它有确定的和 (这里是 1/3)，叫 做收敛的；有的级数，例如 1+2+3+4+ 它的后一项比前一项多 1，这个级数的和没有确定的值，叫做发散 的。对发散的级数，是不能作四则运算和微分、积分等分析运算的， 甚至连代数里的结合律、交换律等也不适用。我们可以举一个简单 的例子。考虑级数 1-1+1-l+1- 如果利用结合律，那么可以把级数写成 (1-1)+(1-1)+(1-1)+ 它的和显然等于 0。可是，如果把级数写成 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)- 它的和就是 1。这样，根据 “ 同等
10、于第三个量的两个量相等 ” 的公 理，就应得出结 论： 1=0。这当然是荒谬的。可是， 18世纪的数学 家们 (高斯除外 )大都忽略了这一点，在计算中几乎不加区别地使 用这些级数，形成数学分析研究中的一个重大缺口。阿贝尔后来埋 怨这种情况： “ 把不管什么样的任何证明建立在发散级数的基础之上，都是 一种耻辱。利用发散级数，人们想要什么结论就可以得到什么结论， 而这也是为什么发散级数已经产生这么多的谬论和悖论的原因。” 在报告会上，柯西第一次明确地指出这两种级数的本质区别， 并且提出判别它们的准则。他的深刻论述成为数学分析严密化的一 项重要内容。听着柯 西精细入微的分析，拉普拉斯的额头不由得沁
11、出汗珠。因为在天体力学中，拉普拉斯使用了大量无穷级数， 他担心，由于忽视敛散性这个极端重要的因素，自己几十年辛苦建 造起来的天体力学大厦可能毁于一旦。不等报告会结束，他惴惴不 安地悄悄退场，赶忙回家，关起房门，对书中的级数，按柯西的方 法一一加以检验 ! 这少年将替代我们 在新世纪的元旦， 3 匹红棕色的骏马向着阿克爱尔飞奔而来。 大道上扬起一股冲天的尘埃。领头的是一个高大威武的信使，后面 紧跟着两名护卫的士兵。村民们好奇地看着他们在大树下拴好马匹， 径直 向柯西家的小屋走去。上议院送来一份精致的任命书：路易 法朗科 柯西先生当选为上议院的秘书 !奥古斯丁收拾好小书包， 高高兴兴地跟着父母亲返
12、回巴黎。父亲继续亲自指导他学习。他的 小书桌就放置在父亲在卢森堡宫办公室的角落里。 柯西家的邻居拉普拉斯早在两年以前回到巴黎。在和拉格朗日 的一次交谈中，拉普拉斯把他在阿克爱尔发现的“秘密”告诉了拉 格朗日。拉格朗日听了只是不置可否地点点头，心里却并不十分相 信。不过，他不愿意让拉普拉斯扫兴。他觉得，在一个人得意的时 候，难免会有些夸张。事情十分凑巧。 3 天以后，拉 格朗日作为科 学院院士和巴黎综合工科学校首席教授，到卢森堡宫讨论有关大学 的改组事宜。自从拿破仑执政以来，大学的办学方针和人事都发生 重大变动。这一天天气晴朗，拉格朗日 的兴致特别好。会后，他来 到柯西先生的办公室，决定对孩子来
13、一次面试。本来他只是想证实 一下自己的怀疑，不料，这一试使他大大吃了一惊。拉普拉斯的介 绍不但没有夸张，甚至有点保守呢。拉格朗日 简直不敢相信，一个 10岁的毛孩子，居然能对自己连珠炮式的问题对答如流，而且看他 的个子，最多不过是五六岁的小孩 !他终于也和拉普拉斯一样，抑 止不住自己的激动 ，在一次数学家的集会上，向大家作了介绍，并 且庄重地预言： “ 这少年将替代我们 !” 后来的事实证明，这个预言是多么正确。可惜，作出正确预言 的拉格朗日，在这时候还没有预见到：后来，正是这个瘦弱的少年， 和高斯一起，用他们革命性的创造成果，扫除了拉格朗日自己多年 来对数学前途的重重疑虑。 1802 年，小
14、柯西进入巴黎先贤祠中心学校学习。小柯西是插班 生。他一进学校，马上成为全校瞩目的中心人物。第一年，他一举 获得希腊语、拉丁文作文和拉丁文诗三项一等奖。 1804年毕业的时 候，他又 赢得只奖给成绩特别优异的学生的大奖和古典文学特别奖。 老柯西在孩子身上浇注的心血结出了丰硕的成果。 拉格朗日曾经向老柯西建议，在 17 岁以前，不要让奥古斯丁接 触高等数学，免得损害孩子的健康。所以，奥古斯丁在毕业以后， 才在导师的指导下开始学习高等数学。拉格朗日的眼力果然不错。 只用短短 10个月的时间，小柯西就熟悉和掌握了数学中一切最困难 问题的内容和技巧。 家里的生活有了很大改善。小柯西个子长高了许多，身体也
15、结 实起来，成为风度翩翩的青年。 1805年秋天，他以第二名的好 成绩 考入著名的巴黎综 合工科学校。他超群的智慧和敏捷的反应，使得 同班的其他同学黯然失色。可是，他的大学生活过得并不愉快。父 母亲近乎狂热的宗教教育使他吃足苦头。他不顾时间、不论场合做 起各种礼拜仪式，还不厌其烦地向同学们作老一套的说教，引起大 家的极大反感。他们挖苦和嘲笑他过分的宗教热诚和偏激的态度， 还利用柯西的好脾气，想出各种恶作剧来捉弄他。在巴黎综合工科 学校呆了两年，柯西被迫转到土木工程学校去学习。在那里，他的 成绩同样出类拔萃。虽然刚进学校，他轻易地超过已经在学校学过 两年的高年级学生。 1810 年，柯西的学 业
16、胜利完成。这时候，拿破仑正处于权力的 巅峰。他统治了西欧和中欧。俄国的沙皇做了他的盟友。现在，拿 破仑野心勃勃地要征服英国，拔掉他在欧洲的最后一颗钉子。进攻 英伦三岛，要有一支庞大的舰队。港口和防止英国远洋舰队袭击的 设防阵地的建设，就成为远征计划所必须解决的第一个项目。法国 西北部的港口城市瑟堡无疑是执行这项计划的理想地点。从这里， 越过英吉利海峡到英格兰登陆，不过 100 海里路程。拿破仑比法国 过去的皇帝要开明些，他能够不拘出身和资历来选拔人才。这正是 拿破仑军队比欧洲封建君主国的军队有较强战斗力的一个 原因。由 于柯西在学习中表现出杰出的才能和大胆的创见，当局把这个年纪 刚刚 20 岁
17、的最年轻大学生，从土木工程学校的历届毕业生中特别挑 选出来，负责这项重要的工程。 在 瑟 堡 “ 行囊空空，但希望满怀。 ”1810 年初春的一天，柯西辞别父 母，冒着料峭的寒风，踏上春雪初融的泥泞道路，前往瑟堡赴任。 在柯西小小的背包里，装着他最心爱的几本书：拉普拉斯的天体 力学、拉格朗日的解析函数论和维吉尔的诗集。它们再好不 过地说明这位青年军事工程师的爱好、理想和追求。 受父亲的影响，诗歌是柯西一 生的业余爱好。他和欧拉一样， 异常喜爱罗马大诗人维吉尔的富有田园气息兼寓爱国济世意义的诗 篇。 拉格朗日曾经预言： “ 这少年将替代我们 !” 解析函数论显 然是准备实现这个预言的最理想的著作
18、。从这里，柯西不仅学到老 一辈数学家为数学分析的严密化所作的种种尝试和有益的经验，还 看出他们理论中的严重缺陷，激励他后来创造出一套严密的分析理 论，澄清了 100多年以来在分析领域里的混乱。柯西对分析严密化 的卓越贡献，使他成为法国第一位现代数学家。 工地的生活紧张而且繁杂。柯西在给父母的信中谈到瑟堡的 工 作： “ 我 4 点钟起床，从早忙到晚。这个月，由于西班牙战俘的到 达，我的日常工 作增加了。我们只有 8 天准备时间，要盖收容所， 准备 1200 张床位。 战俘最后总算都得到安置。有床，有稻草和 食物，他们自己都觉得非常幸运。工作不累；相反，我的精力 更充沛了，我的身体非常好。” 柯
19、西说自己的身体 “ 非常好 ” ，只是想安慰在远方的两位老人 罢了。实际上，瑟堡繁重的工作重担压得身体单薄的柯西步履沉重， 经常咳嗽发烧。从监督和指导炮兵阵地的设计和施工，筹划物资的 运输，一直到协助瑟堡市市长指导学校的考试， 忙 得他没有一点喘 息的时间。到了晚上，他还要在临时搭起的工棚里， 手把手地教工 人们识字和算术。他耐心和蔼的态度，充满感情的讲课，大大激发 工人们的学习热情。在教学中，柯西取得许多宝贵的经验，为他后 来成为欧洲最有名望的教授打下基础。 当柯西借着月光，拖着疲惫的身子，从夜校回到住所，喧嚣的 工地已经沉睡。但是对柯西来说，工 作现在才真正开始。他的房间 是一间五六平方米
20、的斗室，里面只有一块狭小的床板和一张书桌。 椅子放不下，他只好坐在床沿工作。到冬天，他干脆把棉被裹在身 上，来抵御肆无忌惮地从龇牙咧嘴的缝 隙吹进来的寒风。千头万绪 的事务被抛到九霄云外，疲劳和病痛也被忘得一干二净。他心中只 有一个念头：要用最快的速度登上那一座座峻险雄伟、气象万千的 数学高峰。柯西用一句话概括自己的工作： - “ 我 把数学各个分支，从阿基米德到天文学，从头到尾仔 细重读一遍，排除障碍，应用自己的方法，简化各种证明，并且发 现新的定理。” 柯西一步一步地沿着大师们的足迹，把所有的路径熟悉一遍， 然后找出一条通向顶峰的捷径。他只是忘了提到，在白天足足忙碌 了 12个小时以后，瑟
21、堡工地 上这盏孤零零的油灯，常常和 天上的晨 星一样，一直到东方破晓的时候才隐灭 ! 1812 年，不可一世的拿破仑军队在莫斯科溃不成军。紧接着， 法军在莱比锡又遭到惨败。拿破仑征服英国的计划成了黄粱一梦。 瑟堡的工程随着陷于停顿。第二年，精疲力竭的柯西回到阔别三年 的巴黎。 他的瑟堡之行，很快被人遗忘。但是他在瑟堡的出色研究，特 别是他关于对称函数 (从这里开始的这方面工作使他成为群论的开 创者之一 )和多面体的论文，在数学史上写下了令人难忘的一页。 牛刀小试 在中学课程的立体几何里，我们见到过 5种正多面体：正四面 体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。早在 2000 多 年以前
22、，希腊数学家毕达哥拉斯和他的学生就已经发现了它们。现 在，数学家波沙提出一个问题： “ 除了这 5种以外，是不是还存在其他的正多面体 ?” 虽然欧几里得在几何原本中曾经对这个问题用几何方法作 出过不大严格的证明，这个不大不小的难题，一时难住了所有的数 学家。法国科学院决定设立奖金，征求解答。拉格朗日对于在卢森 堡宫的那天“面试”记忆犹新。他立即写信把消息告诉正在瑟堡的 柯西，建议他来完成这项有希望的研究。不负拉格朗日的期望， 1811年 2 月，柯西向科学院寄上他的处女作，干净利落地回答了波 沙的问题：除了上述 5 种以外，不存在其他的正多面体。在论文的 第二部分，柯西进一步推广立体几何中有名
23、的欧拉定理，使它成为 今天拓扑学中的一项重要内容。论文一发表，勒让德大为赞赏。他 写信鼓励年轻人继续深入下去。作为答复，柯西在次年 1 月向科学 院送上第二篇论文。这篇论文本身在今天虽然已经不值得作专门介 绍，然而它所引起的争论对今天的数学有重大影响。论文由勒让德 和马吕斯负责审稿。勒让德看了以后倍加称赞。他回忆起当年拉格 朗日的预言，深深感到这位青 年的前途不可限量。可是马吕斯有保 留。他不满意柯西在论证中采用间接证法。他认为这种证法不能证 明任何东西。这是怎么回事呢 ? 原来，在古希腊哲学家亚里士多德发现的逻辑基本规律中，有 一条叫“排中律”。它告诉我们：“一物或者具有某种性质，或者不 具
24、有某种性质，两者必居其一。”比如说，一数要么是素数，要么 不是素数，不会有第三种可能。因此，在数学中，有时候直接证明 一个命题比较困难，就可以先假定这个命题不成立，然后从这里推 导出矛盾的结果。根据排中律，这个命题或者成立或者不成立，两 者必居其一。现在，既然 这个命题不成立有矛盾，所以这个命题成 立。这种称为“反证法”的证明方法是今天每个学过平面几何的中 学同学所熟悉的。可是这种方法在当时还没有被人们所普遍接受。 马吕斯就反对这种方法。看起来这好像是从鸡蛋里挑骨头，故意找 碴儿。实际上，埃蒂恩路易马吕斯并不是专业数学家。他是拿破 仑进军德国和埃及时候的一位技术军官。他的出名是因为在一次偶 然
25、的机会中，发现了光的偏振现象。马吕斯本人也和他的批评一样， 寿命不长。不到两个月，一场暴病，马吕斯一命呜呼。 争论似乎已经结束。可是，谁也没有想到，整整过了 100 年， 荷兰数学家布劳威尔在 1912 年成功地证明了：亚里士多德逻辑， 例如排中律，在数学中的确不能不加限制地任意使用，特别在无限 集合中更是这样。对神圣的亚里士多德逻辑的这个挑战，有人称它 是现代的芝诺悖论，强烈地震动了数学界。它给数学基础的研究提 出新的课题，有力地刺激着数学向着更深刻的方向发展。 滔滔大江 从瑟堡回来，劳累过度的柯西病了一场。拉格朗日、拉普拉斯、 勒让德等都闻讯前来探望。在病榻旁，他们异口同声地劝他彻底摆 脱
26、工程师的繁重事务，致力于数学理论研究。年近古稀的老一辈数 学家的热情关 怀和殷切期望，像一股暖流流遍柯西的全身，给了他 无穷的力量。他比过去任何时候都更清楚地意识到，使他魂萦梦绕 的数学才是自己真正的事业。没有等病体完全康复，他就急不可耐 地投人工作。如果说，柯西在瑟堡的创作只是高山上的溪流，那么 现在已经汇成一条奔腾不息的大江。在数学和应用科学，在数学的 各个分支，柯西的著作滚滚而来。特别是为创立和发展在 19世纪占 统治地位的复变函数理论，柯西取得了辉煌的成就。 数学家在 18 世纪处理的基本上是实数。复数，对于不少科学家 来说，还是个不可思议的概念。但是，在引力理论、流 体力学等领 域里
27、，提出了大量涉及复数的问题。作为一种有用的工具，欧拉、 达朗贝尔和拉普拉斯等人曾经对复数作过一些研究。不过，他们的 工作有一个本质的局限。在他们的心目中，复函数实际上不是基本 的实体。为了作微分或积分的运算，就只好把复函数的实部和虚部 分开来进行。真正取得进展的是高斯。是他，使人们较为愿意接受 这个陌生的概念。可惜由于他的保守，他没有公开发表过多少重要 的关于复函数理论的文章。只是由于柯西的卓越工作，复函数理论 才从应用科学的有用工具上升为数学研究的一个新的领域。如果说 18世纪是微积分的世 纪，那么 19 世纪就是函数论的世纪。数学家 莫里斯克莱因说： “ 从技术观点来看， 19世纪最独特的
28、创造是单复变函数的理论。 这个新的数学分支统治了 19 世纪，几乎像微积分的直接扩展统 治了 18 世纪那样。函数论，这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个 世纪的数学享受。它也曾被赞誉为抽象科学中最和谐的理论之一。” 1814 年，柯西在法国科学院大会上宣读他在复函数理 论方面的 第一篇论文：关于定积分理论的报告。接着，这方面一系列的论 文接踵而来。特别是 1825 年的关于积分限为虚数的定积分的报 告 ，被认为是柯西最重要的著作，有人称赞它是“科学史上最瑰 丽的一篇”。这些论著使柯西作为这一重要数学分支的独立创造者 和最主要发展者，光荣地载人数学史册。 可惜的是，这些论文的实际出版时间常常要晚
29、得多。特别是 1825年那篇最为重要的论文，一直到柯西逝世以后 17 年才姗姗问 世。出现这种令人遗憾的情况的一个重要原因是，柯西著述的数量 过于庞大而且篇幅极长，景况拮据的法国科学院和综合工科学校难 以负担这笔可观的印刷费用 ! 1815 年，柯西在法国科学院宣读的另一篇论文，又一次轰动数 学界。论文证明了 费马提出的最困难的定理之一： “ 每个整数是 k 个 k 角数之和。 ” 这里 k 为大于 3的正整数。 费马的定理指出，任何一个整数可以表示为 3 个三角数之和， 也可以表示为 4个四角数之和， 5个五角数之和， 三角数，在 第十章“宁少毋滥”一节中已经介绍过；四角数，是序列 0、 1
30、、 4、 9、 16、 中的数，也就是所谓平方数。费马的定理使数学家们深感 为难。欧拉、拉格朗日和勒让德等大数学家曾经作过艰苦的探索， 结果都失败了。拉普拉斯意识到问题的艰巨性，识趣地知难而退。 高斯毕竟出类拔萃。他默默地证明了 k=3 时的结果 。在自己的科学 日记里，他记载了这个事实，可惜没有公开发表。现在，这位 26 岁 的法国青年，不动声色地证明了定理 k3 时的一般情况，胜利地登 上世界大师们从来没有达到过的高峰 ! 第二年，柯西在应用数学方面取得同样的成功。论文波在深 度无限的粘滞液体表面的传播理论夺得那一年法国科学院的大 奖。海洋的波浪正是论文提出的数学模型的实际对象。 柯西一连
31、串金光四射的成就使世界其他的数学家黯然失色。在 当时健在的数学家中，只有沉默寡言的高斯可以和他匹敌。有的院 士私下向他保证，只要数学部一有空额，就一 定推选他。崇高的科 学院院士的座椅，近在咫尺了。 节日的盛会 果然，不出一年， 27 岁的柯西当选为法国科学院院士。青年数 学家的声望扶摇直上。 1815 年以来，他一直在巴黎综合工科学校讲 授数学分析，现在晋升为教授。不久又被任命为法兰西学院和巴黎 大学 (索邦学院 )教授。对于欧洲的数学家，他已经比高斯更加出 名，而且他的影响也超过这位轻易不发表意见的格丁根天文台台长。这不是夸大其词。不像保守的高斯，柯西的论文一篇接一篇，令人目不暇接；他条理
32、清晰、深入浅出的讲课，也远比言简意赅的高斯受人欢迎。每逢柯西上课 ，教室里人山人海，简直成了节日 的盛会。 柏林、马德里和彼得堡等地大批著名的科学家，日夜兼程地纷纷赶来，生怕错过机会；白发苍苍的学者和大学生们一起，争着来聆听他在数学分析和数学物理方面提出的最新理论。巴黎的柯西和格丁根的高斯，这两颗欧洲上空光焰万丈的明星，驱散了上世纪末笼罩在数学研究上的悲观阴云，迎来光辉灿烂的黎明。 柯西的创造精力像股不可遏止的喷泉。除了日常的教学，他几 乎每星期要给科学院送来两篇内容丰富的论文，另外再附上一篇他 根据别人递交科学院的论文而写的详细的审查报告。这还不够。他 还源源不断地 送来涉及数学各个领域的篇
33、幅稍短的论文。不到 30 岁，柯西已经当之无愧地成为法国最大的数学家。 1818 年，柯西和爱萝丝 德 巴蕾小姐举行婚礼，为青年数学 家的锦绣前程增添一束芬芳的鲜花。巴蕾小姐端庄美丽，是有教养 的古老世家的闺秀。和柯西一样，她也是一个热心的天主教徒。他 们共同生活将近 40年，生育了两个性格和柯西十分相像的女儿。 严格微分学的奠基者 柯西的课堂里人头攒动，座无虚席。然而，有幸亲身聆听他精 彩百出的演讲的毕竟是一小部分人。柯西每天收到从欧洲各地的来 信，热切地希望他把讲课的内容公 开发表。在拉普拉斯和勒让德等 人敦促下， 1821 年，柯西把他在巴黎综合工科学校讲授数学分析的 讲义，取名皇家综合
34、工科学校分析教程整理出版。两年后， 无穷小计算概要和微分学讲义也先后问世。 微积分自从牛顿、莱布尼兹在 17世纪 60 年代创立以来，经过 无数数学家的不懈努力，它的应用范围得到极大的扩展，显示出无 比巨大的威力。可是，经过一个半世纪的发展，微积分的理论基础 仍然混乱不堪。什么叫极限，什么叫无穷小，什么叫连续，这 样一些微积分的基本概念，依旧众说纷纭，莫衷一是。阿贝尔不胜 惊诧地 谈到这种矛盾的现象： “ 人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完 全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究它，真是奇怪。最 坏的是，从来没有严格地对待过分析。在高等分析中，只有很少几 个定理是用逻辑上
35、站得住脚的方式证明的。人们到处发现这种从特 殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是，这种方法只导致 了极少几个所谓的悖论。” 在漫长的岁月中，微积分的基本概念找不到精确的表达形式， 有多方面的原因。一方面是，因为 18世纪数学家们的主要精力大都 放在微积分的应用上。微积分在数学和 应用科学上的光辉胜利，使 他们在相当程度上忽视了它的基础的极其不能使人满意的状况。更 为重要的一方面是，当时的数学家们都希望把这些概念能够在几何 直观中找到依据。因为当时算术和几何概念大部分都是建立在像线 段长短和面积大小这样一些几何量的观念上的。微积分的创造者最 初也是把微积分作为解决几何问题涉及的量之间关系的
36、一个工具， 例如利用它来求曲线某一点的切线或平面曲边图形的面积等等。因 此，当需要说明极限的时候，最容易想到的就是把圆作为多边形的 极限。这种说明立刻会引出应该怎样解释的问题。是不是多边形的 边趋向 于和表示圆的点重合 ?是不是多边形变成了圆 ?多边形和圆 的性质是不是一样 ? 这样一类问题使得人们迟迟不能接受极限 的概念。因为在当时的科学界，机械唯物论的思想占据着统治地位。 他们只承认数量的增减和位置的变动，而无法接受一个图形的性质 全部形象地化为另一个图形的性质这样一种解释。 分析基础的脆弱状况，当然不能长期继续下去而不受到责难。 唯心论的哲学家们更不会放过科学上的每一次“危机”来加强自己
37、 的地位。主观唯心论的重要代表贝克莱主教嘲笑无穷小是“离去了 量的鬼魂”。他认为，牛顿把“一个无穷小的量 0” 最初假设为不同 于零，后来又把它看做是零，是“分明的诡辩”。他趾高气扬地对 着那些“不信神的数学家”喊叫：“谁要了解一个第二次或第三次流 数，一个第二次或第三次差分，我想，就不需要对神有任何一点嫌 弃了。”根据贝克莱的意见，人们当然只有跪倒在神的面前，乞助 神的威力，来扫除分析基础上的疑难了。 为了回答贝克莱的挑战，数学家们作出了巨大的努力。他们提 出种种解释，试图澄清分析在逻辑上的混乱。有关的小册子像雨后 春笋一般纷纷出现。可惜，这些努力 都不过是跳出一个泥坑又陷入 另一个泥坑，并
38、没有任何重要的进展 。只是由于柯西革命性的工作， 才第一次廓清笼罩在分析领域的疑云迷雾，驱走神的存在，把分析 置于坚实的基础之上。柯西虽然是个笃信上帝的天主教徒，但是， 18世纪以来科学上的一系列重大进展，使他意识到形而上学的严重 束缚，不自觉地接受了朴素的辩证法思想。法国大革命粉碎了社会 一成不变的神话；康德和拉普拉斯关于太阳系起源的星云说打破了 宇宙永恒不变的形而上学的观点。这些进展使他有理由把无穷小定 义为变量来消除微积分创立时所造成的含混不清。同时，从数学家 们探索的无数次失败中，柯西敏锐地觉察到，企图利用几何直观或 运动来建立微积分的基本概念，必然含混不清而且不可靠。因此， 他一反传
39、统的做法，创造性地把这些概念明确地定义为算术的而不 是几何的，从而摒弃了分析基础上的一切混乱。数学家埃里克贝 尔说： “ 很难找到一个恰当的比喻来描述这一进展的意义，或许可以 这样来形容：人们世世代代崇拜着一些凭空捏造出来的神，突然之 间，他们发现这些神的虚伪面目。” 向人们揭露分析中 “ 神的虚伪面目 ” 的，不是别人，正是奥古 斯丁路易柯西。 在序言中，柯西有一段精彩的叙述： 、 “ 我曾经谋求给予分析的 方法以几何中所要求的那种严密性， 使推理不依赖于代数的一般性 (代数的形式体系 )。这样的推理， 虽然一般是可以接受的，但是在从收敛级数向发散级数、从实数向 虚数至关重要的过渡中，却不能
40、采用。在我看来，这样的推理虽然 有时也能提供真理，但是已经或多或少超出归纳推理的范围，和引 以自豪的数学严密性大相径庭。我还注意到，存在一种使代数公式 有效性不加限制的倾向。其实，大部分公式只是在一定条件下取一 定的数值的时候才能成立。我将通过这些条件和数值的确定，以及 赋予我所使用的符号以精确的含义，来排除一切不确定性。” 皇家综合工科学校分析教程、无穷小计算概要和微分 学讲义三大名著是柯西对数学不可磨灭的最巨大贡献之一。它们 长期以来被推崇为严密性的典范。经过将近两个世纪，柯西在讲课 中所阐明的极限和连续的定义，无究级数的收敛性等等，在今天任 何一本精心写作的微积分著作中仍然可以完整地找到
41、。微积分具有 今天的特色，在很大程度上要归功于柯西。他是当之无愧的“近代 意义下严格微分学的奠基者”。 分析方面的著作仅仅是柯西的琳琅满目的创作宝库中一颗珍奇 的瑰宝。他的研究成果是这样丰硕，以致科学院和大学的理论 刊物 容纳不下。他需要单独为自己准备一种杂志。 1826 年 -1830 年，出 版数学练习； 1840 年 -1847 年，改名分析与数学物理练习。 柯西利用它们来刊登自己的创造性成果和其他解释性文章，对当时 的数学界产生重大的影响。杂志在 30年代暂时中断，因为柯西在这 期间流亡在国外。 1835 年，法国科学院的理论刊物周刊正式出 版。柯西立即从国外把他的学术论文连同评论、札
42、记、注释等等， 像潮水般涌向周刊。刊物的印刷费用直线上升，使科学院的财 政面临严重困难。不过，对足智多谋的院士们来说，这算不上是个 难 题。不久，科学院通过一项迄今仍然有效的规定：周刊不得 刊登 4 页以上的作品。它大大地限制了柯西酣畅淋漓的文字。柯西 的大块头文章，包括一篇长达 300页的有关数论的重要论文，只得 到别处去另谋出路。 流亡国外 柯西以非凡的才华和无穷的精力，在数学上创造一个又一个奇 迹。可是，只要一离开数学，他的理智和洞察力就完全丧失作用。 就像是深度近视患者，一旦失去眼镜，他什么也看不清了。 1830 年 7 月，法国刮起一场政治风暴。路易十六的堂侄路易 菲 力普赶走了波旁
43、王朝的末代皇帝查理十世。用里 昂工人的话说： “ 我们摆脱了世袭贵族的束缚，结果却陷于金融贵族的压迫之 下。” 法国政治舞台上这幕小小的插曲，在柯西心目中竟成了事关原 则的大事。他和当时的每个公职人员一样，作过效忠查理十世的宣 誓。这本来是波旁王朝为了巩固统治所玩弄的一种把戏。可是对偏 执的柯西来说，既然立下誓言，就不是口头说说而已。他要效忠查 理十世“到底”。因此，当自己效忠的偶像流亡到英国再到布拉格 受苦的时候，柯西不愿继续留在巴黎“苟且偷安”。没有任何暗示 或者强迫，他决定离开科学院里的高位，放弃大学的教席和一切职 位，抛下温暖的家庭，追随查理的榜样，到国外流亡。他这样做， 不是为了讨取
44、查理的欢心。查理本人对他的自我牺牲毫不知情。 他先来到瑞士。各种科学会议和研究 工 作使他忘记痛苦。不久， 撒丁王国国王查理阿尔贝特听到大名鼎鼎的柯西失了业，热情邀 请他来都灵担任数学物理学教授。柯西欣喜地答应了。他很快就用 流利的意大利语开始讲课。柯西教授在都灵授课的消息不胫而走。 转眼间，把一大批学者和大学生从欧洲各地吸引到都灵。开始的时 候，柯西很有几分高兴，因为妻子不在身边，他可以随心所欲地通 宵工作。可是，很快他就受到惩 罚。一场大病几乎断送他的性命。 这场病吓坏了他的意大利朋友们。柯西太太不在这里，要是有个三 长两短，谁也担当不起。不管柯西愿意不愿意，他们连拉带拽地把 他安排到意大
45、利南部去度假。柯西有生以来难得有一次真正的休息。 意大利南部的旖旎风光，令他心醉；和煦的海风，迅速恢复他的健 康。不过，柯西无心继续在意大利南部游山逛水。他悄悄地返回都 灵。那里的工作时时在牵动着他的心。谁知道他的行装刚刚打开， 流亡在布拉格的查理十世打破了他雄心勃勃的计划。查理为了报答 这位忠心耿耿的追随者，特别邀请柯西去布拉格负责对他的继承人 、 13岁的波丹克斯公爵的教育。他根本没有意识到，这将给柯西、给 整个数学事业带来多大的损失 ! 能够直接为自己效忠的偶像效劳，柯西高兴异常。他连夜收拾 好行装，就恭恭敬敬地来到查理面前报到。第二年，他的家眷也从 巴黎接来，和他团聚。但是，现实给柯西
46、兴奋的头脑浇了一盆凉水。 查理交给他的，实际上是女护士兼小学教师的工作。不仅普通学校 的那些课程需要重新编写，以适合这个娇生惯养的小公爵的能力， 而且要切实负起保姆的责任，得时刻提防他在花园里嬉戏的时候磕 破膝盖。小孩子连跳带跑地乱窜，害得柯西满头大汗地在 后面跟着 四处奔跑。顽皮的小家伙把笨手笨脚的大数学家折腾得腰酸背疼， 头晕眼花。从早到晚，只有孩子吃饭和睡觉的时候才有一点空闭。 柯西想起巴黎的紧张研究和讲课时候的动人场面，心中不免怅然。 可是，要背叛自己立下的“誓言”，他连想也不敢想。后悔来不及 了。自己讨来的苦药，只有捏着鼻子把它吞下去。 恶劣的环境严重影响柯西的工作。他滔滔不绝的创作
47、变得时断 时续。但是他无比的创造热情并没有被完全扼杀。他眼睛紧盯着来 回奔跑的小家伙，脑子里仍在紧张地思考着困扰科学界的各种重大 问题。一有机会，他立刻奔回自己的 房间，写下一个公式或简略地 写上一 段。好容易熬到晚上，小公爵回到他母亲的身边，柯西才长 长舒一口气。这时候，时间又属于他自已。他顾不得喘息片刻，便 点起灯，铺开纸，奋笔疾书。不久，有关光的色散理论的精彩论文 发表了。柯西把光假设为弹性波，在科学界引起巨大的兴趣。虽然， 这种假设后来被进一步的实验所推翻，但是其中的不少公式，到今 天仍然有实用价值。 拔河比赛 看到柯西在布拉格的狼狈处境，巴黎的老朋友们纷纷劝他回去。 柯西吃够了自己讨
48、来的苦头，也渴望着摆脱困境。可是他苦于找不 到借口，难以启齿。好 容易熬到 1838年，机会终于来到。这一年刚 好是父母亲结婚纪念的日子。告别查理一家，柯西回到阔别 8 年的 巴黎。巴黎还是老样子。衣衫褴褛的乞丐沿街乞讨；门前停满错彩 镂金的马车的歌剧院，灯火辉煌，夜夜满座。但是，柯西已经不是 当年风华正茂的青年人了。漫长 8年的日夜操劳染白了他的头发， 压弯了他的腰背。 由于科学院院士特免履行效忠 宣誓，柯西顺顺当当地回到他在 科学院的位子。然而麻烦并没有过去。要担任其他公职，必须宣誓 效忠路易 -菲力普政府。法兰西学院有一席教职空缺，大家一致推 选柯西来担任。可是，柯西拒 绝宣誓。他认为，
49、路易菲力普 波 旁家族的一个远亲 篡夺了查理十世的“神圣权利”，是“大逆 不道”。他只好失业。天文局也需要像他这样的大数学家。柯西又 一次被一致当选。政府意识到自己的规定不得人心，在行动上表现 得犹豫不决，因此他没有宣誓就来到天文局工作。天文局的同事们 也无视政府一再提出要他们另选一人来代替柯西的要求。对政府规 定的公开蔑视使当局深为窘困，却又无可奈何。它知道，公开得罪 法国最有名望的数学家，将会引起严重的后果。于是，以柯西和天 文局为一方，以不受尊重的政府为另一方，展开了一场“拔河比 赛”。柯西就这样在天文局工作了 4年。天文局的力气当然不会白 花。柯西的卓越工作为她增添新的光辉。 1840 年，法国天文学家勒威耶写了一篇关于小行星智神星的 论文。文章篇幅极长而且有大量复杂的计算。科学院收到以后十分 为难。要审查这样的稿子，谁都感到头疼。约请了几位审稿人，都 遭到婉言谢绝。柯西在和朋友的交谈中，无意中得知这个情况，就 自告奋勇地承担起这项任务。科学界的人士对柯西的“热情”深表 惊讶。考虑到审稿的困难，科学院允许他大大延长时间。可
