1、第二节 留数定理的应用,一、用留数定理求积分 二、亚纯函数的零点与极点的个数,一、用留数定理求积分,1. 闭曲线上的积分,例1,解,例2,解,例3,解,2.,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,形如,z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .,包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.,例4,解,例5,解,3.,有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,分析,可先讨论,最后令,即可 .,引理 5.2.1,证,2. 积分区域的转化:,取一条连接区间两端的
2、按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x),可取 f(z)=R(z) .,分析,.,取r适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,根据留数定理得 :,例6,解,例7,解,二、亚纯函数的零点与极点的个数,引理 5.2.2,证：,定义,具有下列形式的积分:,说明:,1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数,在C内孤立奇点处的留数的代数和;,对数留数,定理 5.2.1,证：,例8,解,*三、辐角原理,引理 5.2.3,证：,定理 5.2.2(辐角原理),辐角原理,证：,四、儒歇定理及其应用,证：,*引理 5.2.5,证：,*定理 5.2.3 (格里克斯伯定理),证：,定理 5.2.4(儒歇定理),证：,定理 5.2.5(儒歇定理的另一形式),证：,儒歇定理的应用,例9,解,例10,解,例11(代数基本定理),解,例12,解,例13,解,
