1、- 1 -荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试数 学（理）本试卷共 4 页，21 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题（本大题共 10 小题，每小题
2、 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合 ，则26,30AxNBxR ABIA B C D3,4545,6x 36x2下列命题中，真命题是 A ，使得 B 0xR0xe 2sin(,)ikZC D 是 的充分不必要条件2,1,ab13要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 sinyxsin(2)3yxA向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度6 6C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度34对于函数 若 ，则函数 在区间 内 2(),fxmn()0,()fafb()fx(,)abA一定有零点 B一定没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点
3、5设 , 对于使 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1 叫做xR2x的上确界. 若 ，且 ，则 的上确界为 2,abR1ab2abA B C D49926某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为- 2 -A B C D 323325327点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标(,)xy函数 z x ay 取得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是 yxaA B C D232516148. 在直角坐标平面上， , 且 与 在直线 l 的方向向量上的投影(1,4)(3)OAurrOAurB的长度相等，则直线 l 的斜率为A B
4、 C 或 D14252543529对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为1(,)npp，其中 若一个 99 项的数12()nSn 12(1,)kkSnkN 列（ 的蔡查罗和为 1000，那么 100 项数列 的蔡查罗和为9,p 129,pA991 B992 C993 D99910设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两2(0)xyabb， Fxl渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若, PO， ，则双曲线的离心率为(,)OPABRurr316A B C D235298二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将
5、答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11已知函数 ，若 ，则 |1|()()3xf ()2fxx12由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为 y2(1y13若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实2()ln1fxx(,1)a数 的取值范围 a14在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比如果 的力能使弹簧伸20N长 ，则把弹簧从平衡位置拉长 （在弹性限度内）时所做的功为 （单位：4cm8cm焦耳）.第 6 题图C(4,2)B(5,1)A(2,0)Oy x第 7 题图- 3 -15已知：对于给定的 及映射 ，若集合 ，且 中所有元*qN
6、:,*fABNCA素在 B 中对应的元素之和大于或等于 ，则称 为集合 的好子集q对于 ，映射 ，那么集合 的所有好子集的个数3,Aabcd1,x为 ；对于给定的 ， ，映射 的对应关系如下表：q1,2345,6:fx1 2 3 4 5 6 f(x)1 1 1 1 1 y z若当且仅当 中含有 和至少 中 3 个整数或者 中至少含有 中 5 个整数时， 为集合CACAC的好子集，则所有满足条件的数组 为 A(,)qyz三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16 （本小题满分 12 分）已知向量 ，设函数 2(cos,1)(3sin,co)2xxmr
7、r ()fxmnA（ ） 求 在区间 上的零点；)fx0（ ） 在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范ABC、 、 ,ab2ac()fB围17 （本小题满分 12 分）已知等比数列 na满足： ，且 是 的等差中项.28432342,（）求数列 的通项公式；（）若数列 an是单调递增的，令 ， ，求使nnab21log12Sbn成立的正整数 的最小值5021nS18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，SABCDAB底面 ， , 点 是 的中点，AMSD，且交 于点 NSCN（）求证: 平面 ；/（）求证：平面 平面 ；（）求二面角 的余弦值A19 （本小题
8、满分 12 分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元） 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位:万元）随10, y投资收益 （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的x 520%第 18 题图- 4 -（）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的()yfx条件；（）现有两个奖励函数模型： ； 试分析这两个函数模型是1()20yx2()logyx否符合公司要求20 （本小题满分 13 分）如图，已知圆 E: ，点 ， P 是圆 E 上任意一点线段 PF 的垂2(3)16xy(3,0)F
9、直平分线和半径 PE 相交于 Q（）求动点 Q 的轨迹 的方程；（）设直线 与()中轨迹 相交于 BA,两点, 直线lOBA,的斜率分别为 (其中 ) 的12,k0kOAB面积为 , 以 为直径的圆的面积分别为 若S, 12,S21k恰好构成等比数列, 求 的取值范围1S21(本小题满分 14 分) 设函数 ， 32()gx2(lnafx（）讨论函数 的单调性； )（）若存在 ，使得 成立，求满足条件的最大整数 ；12,312()gxM M（）如果对任意的 ，都有 成立，求实数 a的取值范围 st ()sft 第 20 题图- 5 -荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试数学(
10、理)参考答案及评分标准一、选择题：（每小题 5 分，10 小题共 50 分）1. B 2. D 3. B 4. C 5. D 6. A 7.B 8. C 9. D 10. A二、填空题（每小题 5 分，5 小题共 25 分）11 ； 12 ； 13 ； 14 ； 155， . 11731,)21.6(5,12)三、解答题:(本大题共 6 小题，共 75 分)16因为 ，函数 (cos,)(sin,co)2xxmrr ()fxmnrg所以 2 分231cos)3i si2f 4 分1sincosin()26xx（）由 ，得 ()0f 1i2，或=+6xk 5=+6xkZ，或 6 分23 ，又 ，
11、 或 0,x3x所以 在区间 上的零点是 和 8 分()f,3（）在 中， ，所以 ABC2bac2221os 2acbacacB由 且 ，得 从而 10 分1cos (0,)(0,3(6， 12 分in()62 1)sin),02f17. （）设等比数列 na的首项为 1，公比为 .q依题意，有 324()，代入 2348a，可得 3a，2 分240a， 138,0,qa解之得 1, 或 1,.q4 分当 1,q时， ； 当 1,2.时， 2n 62na- 6 -数列 na的通项公式为 或 6 分2na61n()等比数列 an是单调递增的， ， 12lognnb，2(1)nnS 8 分3 1
12、2(2n 由，得21.nn 10 分150nS即 150，即 15n易知：当 时， ，当 时，4 232n 162452n故使 1n成立的正整数 的最小值为 5. 12 分18.(选修 2 一 1 第 109 页例 4 改编)方法一：（）证明：连结 交 于 ，连结 BDACEM是正方形， 是 的中点 ABCQ是 的中点， 是 的中位线MSS /E2 分 又 平面 ， 平面 ， 平面 /4 分 （）证明：由条件有 ,DCSA 平面 ，且 平面 MD.AC又 是 的中点， ,SA.S 平面 平面 6 分 .S,由已知 平面CN.N又 平面 平面 平面 8 分 ,AC.（）取 中点 ，则 作 于 ，
13、连结 ADFM/SFQMQ 底面 ， 底面 SBBD 为 在平面 内的射影Q , CA 为二面角 的平面角 10 分FD设 ，在 中， ，SABaRtMFQ112,24aSAFQDEa- 7 - 2tan4aFQM 二面角 的余弦的大小为 12 分 DAC3方法二：（II）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由 ,可设 ，则OxyzSB1DAS(0,)(,10)()(1,0)(,)(,0)2M， ， Q2AMurCur,即有 6 分SASrCA又 且 N平面 又 平面 C,平面 平面 8 分SAM（） 底面 ， 是平面 的一个法向量， QBDASurBCD(0,1)ASur设平面 的
14、法向量为 , ()nxyz, 则 即 , 1(1,0)2ACurr0,.r10.2xyz,.yxz令 ,则 10 分x(,)n, 由作图可知二面角 为锐二面角3cos1|ASurrgDACM二面角 的余弦值为 12 分DCM19 （本小题满分 12 分）(必修一第 127 页例 2 改编)（）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是：()yfx当 时， 是增函数；10,x当 时， 恒成立；,()5fx当 时， 恒成立 5 分10,xf（） （1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件；1()20yx10,- 8 -但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件；80x5y80x5y故该函数
15、模型不符合公司要求 7 分 （2）对于函数模型 ，它在 上是增函数满足条件2()logx1,时 ，即 恒成立满足条件9 分10xmax2l10l5y()5fx设 ，则 ，又 2()log5hog()ehx10,10x ，所以 在 上是递减的，因此010ex(),，即 恒成立满足条件2()log4h5xf故该函数模型符合公司要求综上所述，函数模型 符合公司要求 12 分2lyx20(选修 2 一 1 第 49 页习题第 7 题改编)（）连结 QF，根据题意，| QP| QF|，则| QE| QF| QE| QP|4 ，|23EF故动点 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 2
16、 分设其方程为 ，可知 ， ，则 ，3 分2(0)xab2a23cab1b所以点 Q 的轨迹 的方程为 4 分214xy()设直线 l的方程为 mk， ),(A， ),(2yxB由 142yxk可得 0)1(48)4(22kx，由韦达定理有：2214)1(8kmx且 0)41(62mk 6 分 ,k构成等比数列， = 21(x，即： 0)(21mxk21由韦达定理代入化简得： 4k 0k， 8分此时 0)2(16m，即 ),(又由 三点不共线得AOB、 、 0从而 ,故 dABS| 2212|kmxk- 9 -|4)(21212mxx|2 10 分 14y则 2S)(221yx )243(21
17、x)(1632x45为定值 12 分S245|m当且仅当 时等号成立 综上： 的取值范围是 13 分15)4，21. () , 定义域（0， ） 1 分233()axafx当 时， ，函数 在 上单调递增, 2 分0 ()f ()fx)当 时， ，函数 的单调递增区间为 . (fx(2,)a，函数 的单调递减区间为 . 4 分()2fxxa f (0,)()存在 ，使得 成立,12,312()gxM等价于 . 5 分max()g考察 322,()3()x1,00 2,32(,)3()gx+ 0 - 0 +8527递增 3递减 8527递增 157 分由上表可知 ，min185()()(327g
18、xgmax()(3)1g，12aaxmin490()=所以满足条件的最大整数 9 分M（）当 时，由（）可知， 在 上是减函数，,3x()gx12,3在 上增函数，而2, 18()327的最大值是 1. 10 分()gx要满足条件，则只需当 时， 恒成立,1,3x()ln1axfx等价于 恒成立, 2lnax记 ， ， .11 分()h()2lh()0h- 10 -当 时, 即函数 在区间 上递增，1)3x0,ln,()0xhx2()lnhxx1,)3当 时, 即函数 在区间 上递减，2（ ， , (2，取到极大值也是最大值 13 分1,()xh(1)h所以 . 14 分a另解:设 ，()2ln,()32lnmxmxx由于 ，,303x所以 在 上递减，又()1lhx 1,(1)0h当 时， 时 ，,x(),(2()hx即函数 2()lnx在区间 上递增，在区间 (,2上递减， 13 分,13所以 ma1h，所以 . 14 分a
