1、直线方向向量的应用1. 定义设 P1、P 2是直线 l： 上的不同两点，那么向量 以及与它平行的非零向量都称为直线 l 的方向向量，若 ，则 的坐标为；特别当直线 l 与 x 轴不垂直时，即 ，直线的斜率 k 存在时，那么（1，k）是它的一个方向向量；当直线 l 与 x 轴平行时，方向向量可为（1，0）；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为（B，A），法向量为（A，B）2. 应用举例（1）求斜率例 1. 已知直线 的倾斜角为 30，直线 ，求直线 的斜率。（2）求直线方程例 2. 已知三角形三顶点坐标分别为 A（2，3），B（7，9），C（18，9），求 AB边上的中线、高线方程以及C 的
2、内、外角平分线方程。（3）求参数例 3. 已知 ，两直线 ，那么 为何值时， ； 。（4）判断直线的平行与垂直设直线 ，其方向向量为（B 1，A 1），直线，其方向向量为（ ），那么当 当例 4. 已知直线 与直线互相垂直，求 a 的值。（5）求两直线的夹角 设直线 ，其方向向量为 m(1，k 1)，直线，其方向向量为 ，设夹角为 ，则； 例 5. 已知直线 ，直线 ，求直线 与 的夹角。2、平移公式（1）点的平移：设 P（x，y）是任意一点，平移向量 a=（a 1，a 2）后，点 P（ x=x+a1 ， y=y+a2 ） 。例 1：把点 A（-2，-1）平移向量 a=（3，2）求对应点 A的
3、坐标。（2）图形平移函数 y=f(x)的图象平移向量 a=(a1,a2)后，得到新图象的函数解析式为 y-a2=f(x-a1). 例 2：已知函数 y=x2 图象 F，平移向量 a=（-2，3）到 F的位置，求图象 F的函数表达式（3）直线的平移：直线 Ax+By+C=0 沿向量 a(m,n)平移后的方程是 A(x-m)+B(y-n)+C=0例 3： 已知直线 l：x-2y+m=0 按向量 a=(2,-3)平移后得到的直线 l 与圆(x-2)+(y-1)=5 相切，m 值？（4）向量的平移：向量 ，按 平移后得到的向量仍为 mst， ahk， mst，平面向量部分常见的题型练习类型（一）：向量
4、的夹角问题1.平面向量 ，满足 且满足 ，则 的夹角为 ba,4,1b2.bab与2.已知非零向量 满足 ，则 的夹角为 , ）（， 与3.已知平面向量 满足 且，则 的夹角为 4).(a，且）（ ba与4.设非零向量 、 、 满足 ，则 bccba|,| ,5.已知 的 夹 角 。与求a,7,326.若非零向量 满足 则 的夹角为 ,0).2(a， 与类型（二）：向量共线问题1已知 ，设 ， 且 ，则 x 的值），（） ，（） ，（ 733xCBAaABbCa为 （ ） (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 182已知 =（1，2） ， =（-3，2）若 k +2 与 2 -4 共线
5、，求实数 k 的值；abab3已知 ， 是同一平面内的两个向量，其中 =（1，2）若 ，且 ，求c 52cac的坐标c4.n 为何值时，向量 与 共线且方向相同？），（ 1na),4(nb5.已知 ，求 的坐标。且),2(,3ba6.已知向量 ，若（ ） ，则 m= )2,1(,12cmba），（） ，（ bac7.已知 不共线， ，如果 ，那么 k= , 与 的方向关系b, badkc, dd是 类型（三）: 向量的垂直问题1.已知 求当 为何值时， 垂直？),1(,0(baab与2.已知单位向量 mnnm）， 求 证 ： （的 夹 角 为和 233.已知 求与 垂直的单位向量的坐标。,24
6、），（ a4. 已知向量 的 值 为垂 直 ， 则 实 数与且 向 量），（ bab)0,1(, 5. kckca ， 则）若 （，），（ 2)31(,6. ，）满 足 于 （， 若 向 量），（ ,2 _cc） ， 则（类型（四）投影问题1 已知 ， 的夹角 ，则向量 在向量 上的投影为 ，4,5ba与 32ba2 在 中， RtABCACB.,4,则3关于 且 ，有下列几种说法：cab.0 ； ； 在 方向上的投影等于 在)(bc0).(cbabaca方向上的投影 ； ； 其中正确的个数是 （ ）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个类型（四）求向量的模的问题1. 已知零向
7、量 baba， 则），（ 25,0.,12. 已知向量 满足 ,， 则,3. 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， （ ）则 ACBABC,162(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 4. 设向量 ， 满足 及 ，求 的值ab13baba55. 已知向量 满足 求ba, ，3.,52baba和类型（五）平面向量基本定理的应用问题1若 =（1，1） ， =（1，-1 ） ， =（-1，-2 ） ，则 等于 （ ）cc(A) (B) (C) (D)ba23ba23ba21ba2132.已知 cc 的 值 ， 使和） ， 求，（） ，（） ，（ 00dcdccm Rm
8、baba求平 行与若为 何 值 时） 当（ ）（，的 夹 角 为与已 知 ,)2?(,1 633. 类型（六）平面向量与三角函数结合题1.已知向量 ， ，设函数 (2sin,co)4x(cos,3)4xn()fxmn求函数 的解析式（2）求 的最小正周期（3）若 ，求 的最大值和)f f 0()fx最小值2. 已知 ，A、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 、3 (3,0)A、 。(I)若 ，求角 的值；(0,3)B(cos,in)C|(II)当 时，求 的值。1A2siin()ta3. 已知向量 ,函数)cos,(i),in(2xbxa baxf)(求 的周期和单调增区间；)(xf .cos,20,1)sin()2;cosin1 0co,(i.4 的 值求若的 值和） 求（ ），（相 互 垂 直 ， 其 中已 知 平 面 向 量 ba .)(sintacos)()(;ta)( .,i.5 的 值 域求 函 数的 值求 且已 知 向 量 RxAxfAmAm的 取 值 范 围 。） 求组 基 底 ？ （不 能 作 为 平 面 向 量 的 一，为 何 值 时 ， 向 量） 当） （，（） ，） （，（已 知 bba2130cosin.6
