1、AOxy第十三讲：直线及线性规划1直线的倾斜角的范围：0， )，x 轴及平行于 x 轴的直线倾斜角是 0 而不是 ；y 轴及平行于 y 轴的直线的倾斜角为 2而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围），记住：当倾 斜角 是锐角时，斜率 k 与 同增同减，当 是钝角时，k 与 也同增同减。斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标方向向量（以 a=（m,n）（m0）为方向向量的直线的斜率为 mn）。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。举例 1已知两点 A(1，5)，B(3 ，2)，直线 l 的倾斜角是直线 倾斜角的一半，则直线 l 的斜率为： 解析：记
2、直线 l 的倾斜角为 ，则直线 AB 的倾斜角为 2，其斜率 tan2 = 4343tan12tan =-3 或 tan = 31而由 tan2 = 430 得 2 是锐角，则 （0，），tan = 3。举例 2 函数 CosSiny1的值域为 。解析：记 P（cos ,sin ）,A( -3,1)则 y=kPA，P 点的轨迹是圆心为原点的单位圆，如右图：当直线 PA 与圆相切时，其斜率分别为 0 和 43， 来源:新课程教育 www.newclasses.orgy=k PA 43，0 。注：这里存在一个 kPA 在 0 与 “之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则
3、在“之外”，若无则在“之间”。巩固 1 已知直线 l： 2cosyx则 l倾斜角的范围是： 。巩固 2实数 x,y 满足 24,012 xy则 的取值范围为 （ ）A ),34B 34,0C 3,(D )0,34迁移 点 P 是曲线 xy上的动点，设点 P 处切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是 A、 2,0 B、 ,4, C、 ,4 D、 4,22“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点” 的问题多用“ 点斜式”。“ 斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2 个，而其它各种形式中都
4、是 3 个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直 线。“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1 或 过 原点 ；“截距式”不能表示斜率 为 0、斜率不存在以及 过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为 0 和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式” ）： )()(12112 xyyx却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线 方程的“ 终极”形式。举例已知直线 l：kx+y-k+2=0 和两点 A（3，0），B （ 0，1），下列命题正确的是 新
5、课程教育 www.newclasses.org来源 :新课程教育 www.newclasses.org（填上所有正确命题的序号）。直线 l对任意实数 k 恒过点 P（1，-2）；方程 kx+y-k+2=0 可以表示所有过点 P（1，-2）的直线；当 k=1 及 k=2 时直线 l在坐标轴上的截距相等；若 130yx，则直线 )1()(00 xyx与直线 AB 及直线 l都有公共点；使得 直线 l与线段 AB 有公共点的 k 的范围是-3，1 ；使得直线 与线段 AB 有公共点的 k 的范围是 (，-31， )。来源:新课程教育 www.newclasses.org解析：直线 l：y +2= -
6、 k（x -1）恒过 P（1，-2），方程 kx+y-k+2=0 不能表示直线x=1，当 k= -1 时直线 l在坐标轴上的截距相反； 若 130yx，则点 M（x 0,y0）在直线 AB 上（截距式），又点 P（1，-2）在直线 l，而直线)()2(00 xyx过点 M，P （两点式），即与直线 AB 有公共点 M，与直线 l有公共点 P；直线 l与线段 AB 有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线 应在直线 PA 到 PB 之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题正确。新课程教育 www.newclasses.org巩固已知圆 C：x 2+(y- )2=1，则在坐标
7、轴上的截距相等且与圆相切的 直线有 条？迁移 对任意实数 m，直线（ m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0 和椭圆 192myx恒有公共点，则 m 的取值 范围是 。新课程教育 www.newclasses.org3.“到角”的范围：（0， ），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分 线有关的问题；“夹角”的范围：（0， 2。两直线 1l：A1x+B1y+C1=0, 2l：A2x+B2y+C2=0 平行、垂直的条件有“比”和“ 积”两种形式（重合只有“比式”），如： A1A2+B1B2=0，若 1l、 2不重合，则 1l 2A1B2=A2B1；判断两直 线位置关系时要特
8、别注意斜率不存在及斜率为 0 的情形。举例 1直线 1l：x=1 到直线 2l：2x+y+1=0 的角是： （ ）Aarctan2, Barctan C - arctan2 D arctan(- 21)新课程教育 www.newclasses.org解析：记直线 1l到 2的角为 ，直线 2l的倾斜角为 ，作图可见 =-，tan =-cot= 2,故选 B。举例 2已知 P（x 0,y0）是直线 l：f(x,y)=0 外一点，则直线 f(x,y)+f（x 0,y0）=0 与直线l的位置关系是 ； 设 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 的对边， 则直线: sincayAx与直线 0si
9、nCByb的位置关系是 。新课程教育 www.newclasses.org解析：方程 f(x,y)=0 与 f(x,y)+f（x 0,y0）=0 两变量的系 数完全相同，而 f（x 0,y0）0，即常数项不同，故平行；由正弦定理知： siiaAb，故垂直。巩固已知直线 l1 的方程为 y=x，直线 l2 的方程为 y=ax+b(a,b 为实数)，当直线 l1 与 l2 夹角的范围为0， 2)时，a 的取值范围是：A.( 3,1)(1, ) ，B.(0，1) ， C.( 3, ) ， D.(1, 3)迁移直线 012yax与直线 012byxa互相垂直， ,Rba则| |的最小值是：A1 B2
10、C4 D5 （ ）4点到直线的距离公式在求三角形的面 积、判断直 线与圆 的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推 导两平行 线间的距离公式也是它的一个运用。举例 已知 5x12y60，则 xy2的最小值是:A. 6013 B. 135 C. 13 D. 1解析： xy2表示直线 l：5x12y60 上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l的距离，选 A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。巩固直线 l过点（1，0），且被两平行直线 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的线段长为9，则直线 的方程为 。迁移 若动点 P（x,y）满足|x+2
11、y -3|= 22)()1(yx，则 P 点的轨迹是：A圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线提高若 a、b、c 为实数，恒存在实数 x,y,使得 ay-bx=c 22)()(byax0,则a、b、c 满足: A.c2a 2+b2 B.c2a2+b2 C.c20(a0)所表示的区域 为直线 ax+by+c=0 的右侧，不等式 ax+by+c0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的左侧；a0 时情况相反。也可以说：不等式 ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线 ax+by+c=0 的上方，不等式 ax+by+c0)所表示的区域为直线ax+by+c=0 的下方；b0 时情况相反。目标函数
12、z=mx+ny(m0)在“可行域”D 内的最值：令mx+ny=0, 在“可行域”D 内平移直 线 mx+ny=0 使之位于最左侧，此时 z 取得最小值; 位于最右侧，此时 z 取得最大 值;m0), 也可以说：在“可行域”D 内平 移直线 mx+ny=0 使之位于最下方，此 时 z 取得最小值; 位于最上方，此时 z 取得最大值;n0)取得最小值的最优解有无穷多个, 求 a 的值。解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令 ax+y=0 并平移使之与过点 C（ 34,2）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到 a0，只能和 AC 重合，a=1举例 2已知点 P(3,-1)和 Q(
13、-1,2)，直线 l：ax+2y-1=0 与线段 PQ 有公共点，则实数 a 的取值范围为：A.1a3 B.a1 或 a3 C.a1 D.a3 新课程教育 www.newclasses.org解析：本题可参照“3举例”的做法，确定直线 l的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线 l与线段 PQ 有公共点即点 P、Q 在直线 的两侧或在直线 l上，记：f (x,y)= ax+2y-1,则 f(3,-1)f(-1,2) 0,解得：a1 或 a 3，选 B。“3举例”也可照此办理。巩固 1 已知 x,y 满足约束条件：2x-y0,x+y-20,6x+3y18,且 z=ax+y 取得最大值的最
14、优解恰为（ 23,3），则 a 的取值范围是 。巩固 2点（-2，t）在直线 2x-3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是 。迁移 双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P（a,b）到直线 y=x 的距离为 2，则 a+b 的值是( ) A. - 21 B. 21 C. - 21或 D.2 或 1新课程教育 www.newclasses.org7关注“线性规划” 问题的各种“ 变式”：“可行域”由不等式和方程共同确定（ 为线段或射线），“约 束条件 ”由二次方程的“区间根”间接提供， “约束条件 ”非线 性，目标函数非线性，如： byax（斜率）， 22)()(byax（距离）等。举例 实系
15、数方程 02的一个根大于 0 且小于 1，另一个根大于 1 且小于2，则 1a的取值范围是 新课程教育 www.newclasses.org解析： )(xf= b22，数形结合容易得到使实系数 方程02的两根分别在(0，1)和(1，2)内当且仅当：)2(1ff024ba点 P（ a， b）的可行域如右，记 A（1，2），线段 PA 的斜率为 PAk， = 12 4,1。巩固 若 x,y 满足:x+y-30,x-y+1=0,3x-y-50,设 y=kx,则 k 的取值范围是_提高 已知不等式 ax2+bx+a0)的解集是空集，则 a2+b2-2b 的取值范围是 。A简答1巩固 1 4,0 ),3
16、，巩固 2A，迁移B；2、 巩固3， 迁移 ),9(),2；3、巩固C， 迁移B；4、巩固4x+3y-4=0 或 x=1；迁移将条件变形为：55|32|)()(2yx，由圆锥曲线的统一定义知 P 点轨迹为双曲线；提高 将条件变形为： 22)()(byaxcba，问题转化为：直线 crbxay和圆22)()(ryx的公共点，于是有： rbac2| 即：c 2a 2+b2；5、巩固 10 ，迁移A；6、巩固 1 -2a 2，巩固 2t 3，迁移B， 7、巩固 34，2，提高 不等式 ax2+bx+a0)的解集是空集等价于：b 2-4a20 且a0，b0 得（b+2a）（b-2a）0，且 a0，b0 即：b+2a 与 b-2a 异号且 a0，b0不难画出点 P（ a， b）的可行域，记 A（0，1），|PA| 2= a2+（b-1） 2, a2+b2-2b=|PA|2-1，|PA|的最小值即 A 点到直线 b-2a=0 的距离为 5。故:a 2+b2-2b 54, )
