1、1基础梳理1平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a 2，使 aa 1e1a 2e2.其中，不共线向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 e1，e 2，a1e1a 2e2 叫做向量 a 关于基底 e1，e 2的分解式(2)平面向量的正交分解如果基底的两个基向量 e1，e 2 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解(3)平面向量的坐标表示在直角坐标系 xOy 内，分别取与 x 轴和 y 轴方向相同的两个单位向量 e1，e
2、2，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底e 1，e 2，e 1，e 2 分别是与 x 轴和 y 轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系 xOy 的基底在坐标平面 xOy 内，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实AB 数对( a1，a 2)，使得 aa 1e1 a2e2，( a1，a 2)就是向量 a 在基底 e1，e 2下的坐标，即a( a1， a2)，显然，0 (0,0)，e 1(1,0)，e 2(0,1)在直角坐标系中，一点 A 的位置被点 A 的位置向量 所唯一确定设 A(x，y)，则OA xe 1ye 2(x ，y )OA 2直线 l 的向量参数方程式若 A，
3、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点，则对直线 l 上任意一点 P，一定存在唯一的实数 t，使 (1t) t ，并且满足式的点 P 一定在直线 l 上，向量等式OP OA OB 叫做直线 l 的向量参数方程3平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算：若 a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab(x 1x2，y 1y2)，a( x1，y 1)，| a| .x21 y21(2)向量坐标的求法：若 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 ( x2x 1，y 2y 1)，| |AB AB .x1 x22 y1 y22(3)平面向量共线与垂直的坐标表示：设 a( x1，y
4、 1)，b( x2，y 2)，若abx 1y2x 2y10；若 abx 1x2y 1y20.一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点 为起点的向量 a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此OA 时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y )，但 应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a(x，y) OA 当平面向量 平行移动到 时，向量不 变，即 (x，y)，但 的起点 O1OA O1A1 O1A1 OA O1A1 和终点 A1 的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小
5、的信息(2)若 a(x 1，y1)，b(x 2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成 ，因为 x2，y2 有可能x1x2 y1y22等于 0，所以应表示为 x1y2x 2y10.双基自测1(人教 B 版教材习题改编)已知 a1a 2a n0，且 an(3,4) ，则a1a 2a n1 的坐标为( ) A(4,3) B( 4，3)C(3，4) D(3,4)解析 a 1a 2a n1 a n(3，4)答案 C2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c( ) A3ab B3ab Ca3b Da3b解析 设 cxay b，则Error!Error!c3ab.答案 B3(2012郑州月
6、考)设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则 m的值为( ) A1 B1 C2 D2解析 设 ab( 0) ，即 m 且 1m.解得 m1，由于 0，m 1.答案 A4设向量 a(1，3)，b(2,4) ，若表示向量 4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c( ) A(4,6) B( 4，6) C(4，6) D( 4,6)解析 设 c(x，y)，则 4a(3b2a)c 0，Error!Error!答案 C5已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2) ，若( ab)c，则 m_.解析 ab(1，m1)(ab)c，2 (1)(m 1)0
7、， m1.答案 1 考向一 平面向量基本定理的应用【例 1】(2012南京质检)如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若 ，AM AB AC 则 _.审题视点 由 B，H，C 三点共线可用向量 ， 来表示 .AB AC AH 解析 由 B，H，C 三点共线，可令 x (1x) ，又 M 是 AH 的中点，所以 AH AB AC AM x (1x) ，又 .所以 x (1x) .12AH 12AB 12 AC AM AB AC 12 12 12答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共
8、线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，3任一向量的表示都是唯一的【训练 1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若 x y ，则AD AB AC x_， y_.解析 以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则 (2,0) ， (0,2) ，过 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于 F，由已知得AB AC DFBF ，则 (2 ， )3 AD 3 3 x y ，(2 ， )(2x,2y )AD AB AC 3 3即有Error! 解得Error!另解： ，AD AF FD (1 32)AB 32AC 所以 x1 ，y .32 32答案 1
9、 32 32考向二 平面向量的坐标运算【例 2】(2011合肥模拟)已知 A(2,4)，B(3 ，1)，C(3，4)，且3 ， 2 .求 M，N 的坐标和 .CM CA CN CB MN 审题视点 求 ， 的坐标，根据已知条件列方程 组求 M，N.CA CB 解 A( 2,4)，B(3，1)， C(3，4) ， (1,8)， (6,3) CA CB 3 3(1,8)(3,24)， 2 2(6,3) (12,6)CM CA CN CB 设 M(x，y)，则 (x3，y4)CM Error! 得Error!M(0,20) 同理可得 N(9,2)， (9 0,220) (9，18)MN 利用向量的坐
10、 标运算解题，主要就是根据相等的向量坐 标相同这一原则，通过列方程( 组) 进 行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标 【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2,4)， (1,3) ，则AB AC ( ) BD A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)4解析 由题意得 ( ) 2 (1,3)2(2,4)BD AD AB BC AB AC AB AB AC AB (3， 5)答案 B考向三 平面向量共线的坐标运算【例 3】已知 a(1,2)，b( 3,2)，是否存在实数 k，使得 kab 与 a3b
11、 共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求 k，然后判断方向解 若存在实数 k，则 kabk (1,2)(3,2)( k3，2k2)，a3b(1,2) 3(3,2)(10， 4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4) (2k2)100.解得 k .这时 kab ，13 ( 103，43)所以 kab (a3b)即两个向量恰好方向相反，13故题设的实数 k 存在向量共 线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练 3】 (2011西安质检)已知向量 a(1,2) ，b(2，3) ，若向量
12、 c 满足(ca)b，c( ab )，则 c( )A. B.(79，73) ( 73， 79)C. D.(73，79) ( 79， 73)解析 设 c(m ，n)，则 ac(1 m, 2n)，ab (3，1) (c a)b， 3(1m)2(2n)，又 c(ab)，3mn 0，解得 m ，n .79 73答案 D阅卷报告 5平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断 】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题 的常 规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点
13、、线段等【示例】(2011湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 错因 搞错向量的夹角或BC 计算错误2 ， 3 ，则 _.BD CA CE AD BE 实录 (填错的结论多种)125正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底 ， ，结合图形可得 ( AB AC AD 12AB )， ，AC BE AE AB 23AC AB ( )AD BE 12AB AC 2(23AC AB ) 13AC 2 cos 60 .12AB 16AB AC 13 12 16 14答案 14【试一试】 (2011天津)已知直角梯形 ABCD 中，AD BC ，ADC90 ，AD2， BC1，P 是腰 DC 上的动点，则| 3 |的最小值为_PA PB 尝试解析 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa， DPx .D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， (2，x)，PA (1 ，ax)， 3 (5,3 a4x )，| 3 |225(3a4x) 225， | 3 |的PB PA PB PA PB PA PB 最小值为 5.答案 5
