1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果
2、赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要：本文考虑浓度与坐标之间的关系，通过类比法建立模型。运用 Matlab 中的命令求解模型和寻找重金属源的位置，再运用图形
3、数据分析建立对类比法的lsqcurvefit补充分析模型。在对重金属浓度污染程度进行分析时，本文采用单因子指数法，综合指数法（内梅罗指数法）进行分析。在对模型的改善上本文加入时间变量建立类似人口模型进行分析。对问题一，利用 Matlab 绘出了各种重金属的浓度与坐标的关系，基于直观的重金属的空间分布情况，分别采用单因子指数法（ ）和综合指数法（ijijcps） ，对重金属浓度进行分析，最终得出污染程度的结果如下：221(max)jnijip区域 生活区 工业区 山区 主干道路区 公园绿地区划分的等级 中度污染 重污染 轻度污染 重污染 中度污染对问题二，综合问题一中所得到的结论，可以看出污染程
4、度排在前三位的是工业区，主干交通区，居民区。通过建立了地质累计指数（ ）模型进行分析，()1.52lognjBeCEI得出重金属污染的主要原因是来自工矿企业污染源，交通污染，居民活动污染。问题三：在对于问题三的分析上，本文只考虑浓度与坐标之间的关系，运用类比法建立 模型，再利用 Matlab 中 命令的求解模型和022()()ixyiiiikuylsqcurvefit重金属源的位置，最后本文运用图形数据分析建立对类比法的补充分析模型。2idxyiiieub对问题四，为了研究城市地质环境的演变模式，在问题三的模型上又引进了时间参数。本文认为重金属的浓度与时间的关系与人口增长模型相类似，以此来建立
5、相应的数学模型进行分析。关键词：，类比模型，相似函数模拟，地质累计指数，单因子指数法，综合指数法， Matlab 一、问题重述A 题 城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为 1 类区、2 类区、5 类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察
6、的城区划分为间距 1 公里左右的网格子区域，按照每平方公里 1 个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用 GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件 1 列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件 2 列出了 8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件 3 列出了 8 种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金
7、属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、问题分析和建模思路在对本题进行分析时，为了建立适当的模型求解出重金属源的位置。在对数据进行分析时发现每种重金属的源都不止一个，因而本文对数据进行了相应的处理（本文将数据按重金属源进行了分类，见附表中） 。本文分析到重金属源的污染主要是影响周围的区域，对于较远处就没有什么影响。得出重金属的传播特性应该是一个小范围的扩散问题。问题一：在对问题一
8、的分析上，本文首先采用 Matlab 绘出了各种重金属的浓度与坐标的关系，然后分别采用单因子指数法（ ）和综合指数法ijijcps（ ）对重金属浓度进行分析。从而判断每个区域相应重金属的污染221(max)jnijijp程度。问题二：在对问题二的分析上，本文不但运用问题一中所得到的结论，发现工业区，主干交通区，居民区的污染程度在前三位。还建立了地质累计指数（）进行分析。最终得该城区内重金属污染的主要原因。()1.52lognjBeCEI问题三：在对于问题三的分析上，本文只考虑浓度与坐标之间的关系，运用类比法建立 模型，再利用 Matlab 中的 命令求解模型和022()()ixyiiiikuy
9、lsqcurvefit重金属源的位置，最后分析图形和数据进行相应的改善。问题四：在对于问题四的分析上，为了研究城市地质环境的演变模式，在问题三的模型上又引进了时间参数。在现实生活中随着经济的发展，重金属的产生率开始一段时间会越来越大，但是当人们意识到问题时，就会采取相应的措施，这是重金属的产生率就会减少。本文认为随着时间增长，浓度是一个先增长率加大，然后增长率减小的过程。最总浓度达到一个最大值。在此本文采用人口增长模型进行分析。三、符号说明与基本假设3.1 符号说明： 是 区域内土壤中重金属 的单因子指数ijpj i： 是 区域内土壤中测得的重金属 的浓度ci： 是土壤中重金属 的评价标准（即
10、是它的背景值）isi： 是指 区域的综合评价结果j j： 是 区域内土壤中单因子值最大的那个数max()i： 可以取得值是 1,2,3,4,5 在下标中分别代表生活区、工业区、山区、主干j道路区及公园绿地区五个区域： 可以取得值是 1,2,3,4,5,6,7,8 在下标中分别代表 As ，Cd， Cr ，Cu， iHg ，Ni， Pb ，Zn： 是地质累计指数geoI： 是指 区域中元素 的实测值（此处为平均值）ijCji： 是元素 背景值 iBEi1.5： 是指地质累计指数中的修正系数： 表示重金属 的横坐标ixi： 表示重金属 的纵坐标y： 表示模型一中坐标是（ ， ）点处的重金属 浓度x
11、iuxyi： 表示重金属 源的浓度0i i： 表示重金属 源的横坐标： 表示重金属 源的纵坐标0i i： 表示重金属 的沉淀系数k： 是一个常数i： 是一个常数ib： 表示是在一定区域内的点到题目中所给数据（此处的数据也是这个区域内d的数据，本文在后面对本题数据进行了相应的划分处理，分成了许多小的区域，见附表问题三数据）最大点的距离 ： 表示时间t： 表示 时刻坐标为（ ， ）处重金属 的浓度 xyitutxyi： 表示坐标为（ ， ）处重金属 的浓度的最大值im i： 表示坐标为（ ， ）处重金属 的浓度的初始值 0xyi： 表示重金属浓度随时间变化的增长率r3.2 基本假设1.本文假设在污
12、染重金属的传播过程中，不考虑风等自然因数的影响。2.本文假设题目中所给的数据都是真实可靠的。3.本文假设坐标，山高，时间等因数相互之间是没有影响的。它们都各自单独影响重金属的浓度。4.假设浓度的分布与水平高度没有关系。5.假设重金属的传播只对污染源周围的浓度有较大的影响，对于较远处本文在此不加考虑。单因子指数法：是 区域内土壤中重金属 的单因子指数， 是 区域内土壤中测得的ijijcpsij iijc重金属 的浓度， 是土壤中重金属 的评价标准（即是它的背景值） 。 小于 1 表示i ijp没受污染， 大于 1 表示受到了污染。 越大污染越严重。ij ijp综合指数法（内梅罗指数法）：式中 是
13、指 区域的综合评价结果。 是 区域内土壤中221(max)jnijijppj ijp重金属 的单因子指数， 是 区域内土壤中单因子值最大的那个数。当评价参(i考标准采用研究自然区自然背景值时，上述式中的计算结果分别定义为土壤中重金属的单一和综合富集指数。地质累计指数式中 是地质累计指数， 是指 区域中元素 的实测值（此()1.52logijBeCEIgeoIijCi处为平均值） ， 是元素 背景值，1.5 是指修正系数。ii四、模型的建立与求解4.1 问题一4.1.1 各种重金属的空间分布图（Z 坐标代表相应的浓度）（图一）（图二）（图三）（图四）（图五）（图六）（图七）（图八）4.1.2 单因子指数法本文运用 这个公式可以求得数据如下表：ijijcps区域As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)1 1.74 2.23 2.23 3.74 2.662 1.49 2.3 3.432 2.01 3.02 1.72 9.67 18.35 1.61 3.00 4.033 1.12 1.17 1.26 1.31 1.17 1.26 1.18 1.064
