1、3 区间估计问题：未知参数 的点估计是取, 事实上只有),(21nXg, 这种估计的近似程,21nxx度如何?3.1 区间估计概述（1）定义：设母体 的分布函数X形式已知 , 其中 是未知参数,),(xF 是来自 的一个子样，给定实nX,21 X数 ，构造 ，)10(),(21nX两个统计量，使得 ),(212nX 1),(),( 21221 nn XXP 则称 是 的置信概率为 的置信),(21 区间(confidence interval)， 和 分别12为置信下限和置信上限(lower, upper confidence limit)， 为置信水平1(confidence level)，
2、 为置信区间长12度.置信水平又称为置信概率或置信度，表示未知参数的真值落入该置信区间的可信程度；置信区间长度体现了估计的精度。例 2.3.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量 ( )在正常情况下服从正态分布，X且标准差 。现测量 5 炉铁水，108.其含碳量分别是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）试以置信概率 95对母体均值 作区间估计。数学模型：设有正态母体 ，),(2NX已知，从母体中抽得子样值202，要求以置信概率 对nxx,21 )1,0(1母体均值 作区间估计。解： 的点估计可取为 ；X由抽样分布定理 1 知)1,0( 0NnXU(3.1)称 为枢轴量(pivotal s
3、tatistic).U给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使2u12uUP(3.2)即 120unXP亦即 )3.( 1 0202 nuXnuXP于是， 的置信概率为 的置信区间1为 .) ,( 0202 nuXnuX代入数值： ， ，18.05n,则 ，查表知95.015.，又由子样值算得 ，96.1025.2u 364.x于是，母体均值 的置信概率为 95的置信区间是（4.269，4.459）.（2）几点说明：区间估计的步骤写出 的点估计 ；找出含有 及但不含任何其他未知参数，且分布已知的随机变量作为枢轴量；对于给定置信概率, 写出置信区间表达式；代入数值.为何取对称区间上例中取对称区间
4、 时得22uU到置信区间 长度为) ,( 0202 nuXnuX；若取不对称区间 ，nuL021 21uU使得 ，可求得置信区间121uUP为 ，置信区间长度为) ,( 0102nXnu1020122)( LuL（图示说明 ）212uu当 取定时，置信概率与置信区n间长度的关系置信概率 越大时， 值越小，1越大，从而置信区间长度 越2u nuL021大，参数估计的精度越差。相反，置信概率 越小时，参数估计的精度越高。1对置信区间与置信概率的进一步解释上例得到置信区间 ，) ,( 0202nuXnuX是一个随机区间，随抽样结果的不同而成为不同的数值区间，这些数值区间中有 95包含 的真值。或理解
5、为每个这样的数值区间包含 的真值的概率为95。如抽样获得上例中子样值时，置信区间是（4.269，4.459） ，此区间包含的真值的概率为 95，置信区间长度的一半是 0.095，表示用 估计364.x的误差范围。3.2 大子样对母体均值的区间估计问题: 设母体 的分布是任意的，X均存在且未知，从母体2)(,)(XDXE中抽大子样 ，试以概50,21 n率 对母体均值 作区间估计。),0(1解： 的点估计可取为 ；X由中心极限定理知，但其中 是未知参数， )1,0( NnX似 注意到 是 的渐进无偏相合估计量，2S2故在大子样情形，有 )1,0( NnSXU似以此随机变量作为枢轴量.给定置信概率
6、为 ，则1)10(存在 使,2u，即 1 2uUP 12unSXP亦即 1 22 nSuXnSuXP于是， 的置信概率为 的置信区间为 .) ,( 22 nSuXnSuX例 2.3.2 从某台机床加工的零件中取出 50 个，量其长度，并算得 ，8.19x，求 的置信概率为 的置信39.02ns%9区间.解： ，属大子样情形。给定置50n信概率 ， 的置信区间为1.),( 22unSXunSX这时 ，查表知 ，01. 58.205.2u又 ， ，从而 ，于8.19x39.2ns 6.nS是，母体均值 的置信概率为 的置%9信区间是 .)0325719(., .例 2.3.3 现从一批产品中取 个
7、样10品，得次品 个，求次品率 的置信概12p率为 的置信区间。%95解：设母体 为从这批产品中任取X一个所得的次品数，则， ，当 取 得 正 品当 取 得 次 品01XpXE)(10n故此问题属大子样情形下对母体均值的区间估计。给定置信概率 ， 的置1p信区间为 .),( 22unSXunSX这时 ， ，查表知10n05.，又 ，96.025.2u 12.011iixx，从而 6.2.0.1021xsiin，于是，母体均值 的置信概率326.nS p为 的置信区间是 .%95 )184.0,56.0(3.3 正态母体均值的区间估计例 2.3.1 中已分析了方差已知时正态母体均值的区间估计，现
8、在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。问题：母体 , 未知,求),(2NX2的置信概率为 的置信区间。110解: 的点估计可取为 ；X由抽样分布定理 2知)1(*ntnSXT以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使)1(2nt，即1)( 2ntTP1)( 2*ntSXn亦即 1)1()1( *2*2 nStXnStXP故 的置信概率为 的置信区间为1.)( ,)1(*2*2 nStXnStX例 2.3.4 假设铅的比重测量值,如果测量 16 次，算得),(2NX， ，求铅的比重 的705.x029.*ns 置信概率为 的置信区间。%95解：此问题属于方差未知时对正态母体
9、均值的区间估计。给定置信概率 ， 的置信区间1为 .)(,)1(*2*2 nStXnStX 这时， ， ，查表知605.，又 ，13.)5()1(02.2tnt 7.2x，于是母体均值 的置信概率9.*ns 为 的置信区间是 .%5 )720.,69.2(3.4 大子样对两母体均值之差的区间估计问题：设母体 的分布是任意的，iX均存在且未知，独立2)(,)( iiii XDXE地从两母体中抽取大子样， 是子样均值，50,21 iinii i是子样方差， . 试以概率iS 2,1对母体均值之差 作区间),0( 21估计。解： 的点估计可取为 ；21 21X由中心极限定理知 ),(2iiii nN
10、X似由两子样独立性知两子样均值独立，故 ),( 2212121nNX似 ),0()()( 2212211 Nn似但其中 是未知参数，注意到 是2i 2iS的渐进无偏相合估计量，故在大子样2i情形，有 )1,0()()( 2212211 NnSXU似以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使2u 1 2uUP即1)()( 22212211 unSX亦即 1 2212221212212221 nSuXnSuXP于是， 的置信概率为 的置211信区间为 .) ,( 221221221221 nSuXnSuX 例 2.3.5 甲乙两台机床加工同种零件，分别从甲、乙机床处取 个和0个
11、零件，量其长度（单位：毫米） ，150算得 , , ，081.1x062.2x 25.1s，求这两台机床加工的零件平62.2s均长度之差 的置信概率为 置信21%95区间。解：设甲、乙机床加工的零件长度为 ， ，则平均长度分别为1X2且 ，,)( ,)( 22XEE 201n，故此问题属于大子样下对两母502n体均值之差 作区间估计。21给定置信概率 ， 的置信21区间为.) ,( 21212121 nSuXnSuX 这时， ，查表知 ，05. 96.05.2于是置信下限 085.21221 nSuX置信上限 9.21221的置信概率为 的置信区21%95间是 .)095.,085.(3.5
12、两个正态母体均值之差的区间估计问题：设当 时母体2,1i， 未知，独立地从两母体),(2iiiNXi中抽取子样 ， 是子样均值，inii XX,21 i是子样方差，试以概率 对2*iS )1,0(1母体均值之差 作区间估计。21（1） 已知时2,解： 的点估计可取为 ；21 21X由抽样分布定理 1 知 ),(2iiii nNX由两子样独立性知两子样均值独立，故 ),(212121 nNX )1,0()()( 2212211 NnU以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则)10(存在 ，使2u1 2uUP即 1)()( 2221211 unXP亦即 1 2212221212212221 nu
13、XnuXP于是， 的置信概率为 的置211信区间为 ) ,( 22122212212221 nuXnuX （2） 未知但两母体方差相等21,时，记 21解： 的点估计可取为 ；21 21X由抽样分布定理 3知)2(1)()( 12221 ntnSXT*w其中： .2)1()1( *2*2 nSSS*w以随机变量 T 为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在 ，使)2(12nt 1)2( 12ntTP即 1)2(1)()( 122221 ntnSXP*w亦即 11)2(1)2( 2121212121 * ww SnntXSnntXP于是， 的置信概率为 的211置信区间为 .)1)2(,1)
14、2( 21212121 * ww SnntXSnntX 例 2.3.6 甲、乙两台机床加工的同种零件的长度分别满足 ,),(211NX，从甲、乙机床加工的零件),(22NX中分别取出 个和 个,量其长度（单位：97毫米） ，算得 , 在下列两5.23 8.1xx情形下分别求 的置信概率为的2的置信区间：%9已知 ； ,34.02136.02 未知， ，2221 4.2*1s.3602*s解: 两个正态母体方差已知时，枢轴量取为 )1,0()()( 2212211 NnXU给定 ,则 的置信区间为 1) ,( 221221221221 nuXnuX 这时 ， ，01.58.205.2u， ， ，
15、 ，8.19x5.23x34.136.02故所求置信区间为 )9.,7.(两个正态母体中 未知2221时，枢轴量取为 )2(1)()( 12221 ntnSXT*w其中 .)1()1(2*2*22nSnS*w给定 ，则 的置信区间为 21 )1)2( ,)( 2121212121 * ww SnntXSnntX 这时 ， ， ，查表知01.91n72n，又 ，768.2)4()2(5.12tnt 8.19x， ， ，故所求的5.3x3.0*1s 3.0*2s置信区间为 . )81.,594(3.6 正态母体方差的区间估计问题：设母体 ,其中),(2NX均未知,求 的置信概率为2,21的置信区间
16、。)10(解: 的点估计可取为 ；2 2*nS由抽样分布定理 2知 )1()1(22*2 nSnn以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在 和 ，使)1(21n)(2n 1)()(2221 nP即 1)()1()1( 22*21 nSnnPn亦即 1)(1)1(22*222* nSnSP(3.4)于是 的置信概率为 的置信区间为21.)1() ,)1(212*22*nSnS（3.4）式又可改写成1)1()1( *21*2 nn SnSnP(3.5)于是 的置信概率为 的置信区间为1.)1( ,)( *21*2 nn SS例 2.3.7 设炮弹速度 ,其),(2NX中 均未知,取
17、 9 发炮弹做实验，算2,得子样方差 ，求炮弹速度方22*)/( 1smSn差 和标准差 的置信概率为 的置2%90信区间。解: 此题属正态母体方差 和标准2差 的区间估计。给定 ,则 的置信区间为12，这里 , , )1( ,)1(212*22*nSnS 9n12*nS, ,查表知90.10., .571)8()(25.2n 732)8()1(295.021 n于是 的置信概率为 的置信区2%间为(5.675,32.199),从而 的置信概率为 的置信区间为 (2.38,5.67).%903.7 两个正态总体方差之比的区间估计问题：设当 时，母体2,1i， 均未知，独立地从两),(2iiiN
18、X2,ii母体中抽取子样 ， 是子样inii XX,21 2*iS方差，试以概率 对母体方差之)0(比 作区间估计。21解： 的点估计可取为 ；21 2*1/S由抽样分布定理 3知)1,(/ 2121*22 nFS)1,(/ 2*2122nSF以随机变量 F 为枢轴量.给定置信概率为 ，则1)10(存在上侧分位数 和),(21n，使)1,(2nF 1),1(),( 2121 nFP即 1),1(/)1,( 2*2*1221 2 nFSnFP亦即 1)1,()1,( 2222 *221*21 SnFSnFP于是， 的置信概率为 置信区间为211.)1,( ,)1,( 2222 *2*21 SnF
19、SnF 例 2.3.8 设当 时母体,i， 均未知，独立地从),(2iiiNX2,ii两母体中抽取容量为 9 和 7 的子样，子样方差 ， ，试求母体方34.02*1S36.02*S差之比 的置信概率为 的区间估计。2%9解：两个正态母体方差之比 的置21信概率为 置信区间为1.)1,( ,),( 2222 *2*1121 SnFSnF 这时 ， ， ，查表0.91n72知 ， 5.7)8,6()1,(5.2FnF 095.7.1)6,8(),(),( 05.95.0121 ，又 ， ，故所求的置信34.2*1S3.2*S区间为 .)51.7,09.(3.8 单侧置信区间（1）双侧置信区间和单
20、侧置信区间前述问题中，对于未知参数 ，给出统计量 ， ，构),(21nX ),(212nX成双侧置信区间 。但在某些实际),(21问题中，往往只关注未知参数的置信下限或只关注置信上限。例如：对于设备、元件的寿命 ，希望平X均寿命 较长，关心的下限，应找)(XE的形如 ),(1的置信区间；对化学药品中杂质的含量、次品率等希望均值较小，只关心上限，应找 的形)(XE 如 的置信区间。),2（2）一般定义设母体 的分布函数 形式已X),(xF知, 其中 是未知参数 , nX21 是来自的一个子样，给定实数 ，X )10(若有 1),(21nXXP则称 是 的单侧 置信区间，),(1 为单侧置信下限；
21、1若有 1),(212 nXXP则称 是 的单侧 置信区间，),(2为单侧置信上限。2（3）求法（仅举几类情形）正态母体方差未知时，求 的单侧置信上、下限求 的单侧置信上限总体 ， 均未知，取容),(2NX2,量为 的子样， 分别为子样均值和n*S子样方差，则由抽样分布定理 2知)1(/*ntSXT以此随机变量为枢轴量。要找 使 ，应找 使21)(2Pa，1)(aTP如图知可取 , 即)1()1(1 ntnta)(/*tnSXP亦即 1)1(*nStXP于是， 的单侧置信上限为.nStX*)1(求 的单侧置信下限要找 使 ，应找 使1 1)(Pb，)(bTP如图知可取 , 即)1(ntb)(/
22、*tnSXP亦即 1)1(*nStXP于是， 的单侧置信下限为 . nStX*)1(注意：单侧置信上下限与相应情形下双侧置信上下限之间结论的区别和联系.例 2.3.9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时） ，现制造 5 件，记录每件所需工时如下：10.5，11.0，11.2，12.5，12.8，设制造单件产品所需要工时 ，),(2NX均未知，给定置信概率为 ，求2, %95平均工时 的单侧置信上限。解：正态母体方差未知时， 的单侧置信上限为 .nStX*)1(这时， ，算得 ，5n 97.0*,6.sx又 ，查表得9.01，故 的单侧置信138.2)4()(5.tnt 上限为.
23、512)(*nStX大子样时求 的单侧置信上限设母体分布是任意的，取容量的子样， 为子样标准差，则由中50nS心极限定理知 )1,0(/NnSXU似以此随机变量为枢轴量.要找 使 ，应找 使21)(2Pa，1)(aUP如图知可取 , 即ua1/nSXP亦即 1nSuXP于是， 的单侧置信上限为 .nSuX特别，当 时，若 未知，),1(pBXp大子样 中有 个观测值为 1，n,21 m其余为 0，则 ，nxxii1，给定置信概率 ，2212 )(s nmxnii 1则 的单侧置信上限为p )1()(12 nmnunmnmunmSuX 例 2.3.10 现从一批产品中取 个10样品，得次品 个，求次品率 的置信12p概率为 的单侧置信上限。%95解：设母体 为从这批产品中任取X一个所得的次品数，则 当 取 得 正 品当 取 得 次 品01于是 ， 未知，),(pBXpXE)(，属大子样情形， 0-1 分布母体均10n值的单侧置信上限为 .nSu这时 ， ，查表知10n05.，又 ，645.05.u 12.11iixx，从而 06.2.0.10212 xsiin
