1、勾股数,定义,如果正整数a ,b ,c能满足a2+b2=c2,则它们叫做勾股数，按我们古代人的叫法，如果勾股数的关系为abc,则a叫勾数，b叫股数，c叫弦数。,我国古代数学家和天文著作周髀算经中记载的“勾三 股四 弦五”就是最简单的一组勾股数，即3,4,5，它是人们认识发现最早的一组勾股数。 勾股数有无数组，最早研究并发现大批勾股数的是古巴比伦人。经研究发现，距今大约3000年前，古巴比伦人留下了一份数学手稿中记下了下面15组勾股数： 119,120,169 3367,3456,4825 4601,4800,6649 12709,13500,1854165，72，97 319,360,481
2、2291,2700,3541 799,960,1249 481,600,769 4961,6480,8161 45，60,75 1679,2400,2929，161,240,289 1771,2700,3229 56,90,106 三千年前的古人，就能取得如此辉煌的成就，确实令人惊讶。 经过仔细观察上面的15组数，我们可以发现股数全部是6的倍数，这是不是可以说，古巴比伦人可能找到了勾股数的某种规律？,古今中外的数学家都在寻找计算勾股数的方法，怎样能求出更多的勾股数呢？我们先来观察机组简单的直角三角形的边： 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 你发现了有
3、哪些规律？,第一个数都是奇数，然后再把这个数的平方数分成两个连续的自然数，就得到了一组勾股数，用公式可表示为： 设m为大于1的奇数，则m, 一定是勾股数 证明如下： m2+( )= = =( )2 这样就能写出许多勾股数，但这还只是一部分勾股数。 我们再来看几组直角三角形的边：,6 8 10; 8 15 17; 10 24 26;12 35 37; .观察这些数，可发现如下规律：第一个数都是偶数，取其一半平方，然后再取与这个平方数相邻的两个自然数，就得到一组勾股数，用公式表示为：设m为大于2的偶数，则m, , 一定是勾股数。证明如下：m2+( )= =( )2 这样也只能写出一部分勾股数。,能
4、不能写出一个公式，得到全部勾股数呢？数学家经过研究，在前边两个公式的基础上得到了如下公式： 对正整数m,n,mn,则2mn,m2-n2, m2+n2一定是勾股数。 这个公式包括了所有的勾股数，同学们可以用这个公式寻找一下，看是不是能得到上面出现的全部勾股数。,勾股数还有一些有趣的性质，下面写出几条，在此不做证明，有兴趣的同学可选取一些勾股数验证。 性质1 如果a,b,c是一组勾股数，则ma,mb,mc一定也是勾股数。 例如 把3,4,5扩大得到6,8,10; 9,12,15; 12,16,20等等，但是扩大1.5倍得到的4.5,6,7.5不是勾股数。 性质2 勾数和股数不能相等 性质3 勾数、
5、股数、弦数三个数中，至少有一个是偶数，且勾数和股数不可能同为奇数。 性质4 勾股数a,b,c三数的积abc一定能被60整除。,例题解析 1 如图 已知BC=4cm AB=3cm AF=12cm,则正方形CDEF的面积为_ 解析：由勾股数组3,4,5 和5,12,13很容易算出 正方形的边长为13cm 所以，它的面积 是169cm,例二 如图，在梯形ABCD中，ADBC,对角线ACBD，且AC=8cm，BD=6cm，则此梯形的高是多少？ 解析：作DEAC交 BC的延长线于E，由 条件及梯形的性质 可知，BDE是直角三角形，两直角边BD,DE分别是6cm,8cm,所以，由勾股数6,8,10算的斜边BE=10cm,Rt BDE斜边上的高即为梯形的 高，高为 =4.8cm,例三 在ABC中，C=90，AC=2.1cm，BC=2.8cm,则斜边AB的长为_cm. 解析 2.1cm=30.7cm2.8cm=40.7cm 则斜边的长为50.7cm,例四 如图，有一块直角三角形纸片ABC，两直角边AB=6cm，BC=8cm,现将该三角形纸片沿直线AD折叠，使B点落在斜边AC上，则CD等于（ ） 解析：由图可得，AC= 10cm,AE=6cm,所以CE= 4cm,DE=xcm=BD,则有 x2+42 =(8-x) 2解得x=3cm 所以CD=5cm.,只要你努力了，你一定有机会成功。,
