1、不等式的证明(一)【知识点精讲】1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：比差法：要证 ab，只须证 a-b0。比商法：要证 ab 且 b0，只须证 0。ba说明：作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。基本不等式：(1)若 则 当且
2、仅当 a=b 时取等号。,0ba baba1222 (2) 时 取 等 号当 且 仅 当R, 2(3)a,b 同号, 时 取 等 号当 且 仅 当ab13. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4. 重点难点: 作差比较法的顺序是 “作差-变形-判断差式的正负 ”；作商比较法的顺序是“作商- 变形-判断商式与 1 的大小” （注意商式的分子分母均正） ；综合法证明不等式是“由因导果” 。5.
3、思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。【例题选讲】例 1、已知 a,bR,求证: a2+b2+1ab+a证明：p= a 2+b2+1-ab-a= =1)2()(122bab 1)()(22bab显然 p0 得证思维点拔 作差比较法的顺序是“作差- 变形-判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断例 2、P87 例 1. 设 求证,0ba .)(212121baa【分析】不等式两端都是多项式的形式，
4、故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边-右边= )()(33ab= abba)()( = = 原不等式成立。)2)( 0)(2ab【证法二】左边0，右边0。原不等式成立。右 边左 边 12)()()( abba思维点拔 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商） 、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。 例 3、P87 例 2 已知 a,b,x,y1,xyRxyabab且 求 证思维点拔 观察特征,用比较法或分析法例 4、设 x0,y0 且 xy,求证 2131yxy证明：由 x0,y0 且 xy,要证明 只需 即322
5、3yyx223yxyx只需由条件,显然成立.原不等式成立思维点拔 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式练习: .若 a、b、c 是不全相等的正数，求证： cbaclgl2lgl2lg【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】 （综合法）： ， ， ，Rba,002cb02ac又a、b、c 是不全相等的正数，有 。acb2 即calg)2lg( calgllgll【证法二】 （分析法）要证 bcb即证 成立。只需证 成立。acbcl)l( ac2 ， ， 。 （*）02a02b02ac 0bc又a、b、c 是不全相等的正数，（*）式等号不成立。原不等
6、式成立。例 5.(P88 例 3)某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6t 每吨面粉的价格为 1800 元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3 元,购买面粉每次需支出运费 900 元(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小 ;(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于 210t 时,其价格可优惠 9 折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.点评【课堂小结】不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法比较法：比差法：要证 ab，只须证 a-b0。比商法：要证 ab 且 b0，只须证 0ba综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程【作业布置】P
