范里安--微观经济分析.pdf

1、 曹乾曹乾曹乾曹乾 经济学译丛精品系列 经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Microeconomics Analysis（3th edition） Hal. R. Varian （University of Michigan Ann Arbor） 范里安 微观经济分析（第3版） 完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版 曹乾 译 (东南大学 ) 译者序 一切都应尽量简单，但不要太简单。 爱因斯坦 范里安（H.R.Varian）的这本教科书，我断断续续翻译了一年多。中断的原因在于业余时间主要用于翻译MWG的微观经济理论（受人大出版社之托）。 这是一本经典教科

2、书，二十多年时间过去了，仍然能在高级微观经济教科书领域占有重要位置。原因之一大概是因为范里安有很好的穿透力。出身于数学背景，使得范里安的文字也简单明确。MWG的教科书在文字表达上要比Varian, Myerson，Tirole等相关教科书略逊一筹，尽管MWG已是最为重要的微观经济理论教科书。 严格意义上来说，这本教材已算不上高级教程，它的难度只比范里安的中级教程高那么一点点。适合于经管类专业本科生和一年级研究生学习。 翻译的目的当然是为了教学方便的需要，此书所有内容的知识产权归Varian及其出版社所有，请勿用于商业用途。 此版翻译基本无理解上的错误，但也许只是因为“身在庐山中”，若有错误包括

3、笔误，欢迎指出。 曹乾 东南大学 江苏 .南京 2012 年 10 月 A 目录 序言- -I 1 技术-1 2 利润最大化-27 3 利润函数-42 4 成本最小化-50 5 成本函数-64 6 对偶-79 7 效用最大化-91 8 选择-110 9 需求-135 10 消费者剩余-150 11 不确定性-161 12 计量经济学-183 13 竞争市场-198 14 垄断-215 15 博弈论-237 16 寡头垄断-259 17 交换-284 18 生产-306 19 时间-323 20 资产市场-332 21 均衡分析-349 22 福利-364 23 公共产品-373 24 外部性

4、-390 25 信息-398 B 26 数学-428 27 最优化-441 28 参考文献-461 i 序言 微观经济分析第一版出版于1977年。15年过后，是时候来次大的修订了。对于第三版，我做了两类大的修改：结构上的修改和内容上的修改。 结构上的变化体现在我重新整理了内容，将它们按照“模块”分章。大部分章节的标题，对应着我写的本科生教材中级微观经济学。这使得读者在有需要时能够容易地参考本科教材。另一方面，如果本科生想进一步学习某一主题的高级内容，自然可以学习这本微观经济分析的相应章节。这种模块章节的安排还有另外两个好处：可以按照各种顺序学习；也更方便于查阅。 除了章节上的变化之外，内容上也

5、进行了修订。首先，我重写了本书的大部分章节。现在的内容更简洁，当然我也希望它们更好懂了。其次，我更新了很多内容，尤其是关于垄断和寡头的内容我根据1980年代产业组织理论的主要进展更新了这些内容。 第三，我增添了很多新内容。具体说，我增加了关于博弈论、资产市场、以及信息的章节。这些章节可以作为一年级研究生的引论性质的学习材料。对于这些主题，我没有提供深入的讨论，因为我发现最好在研究生二年级或三年级时再这么做，那时学生已经掌握了经济分析的标准工具。 第四，我新添了一些习题，并且提供了所有奇数习题的答案。我必须说我对提供答案这种做法感到矛盾但我希望大多数研究生应该有足够的意志力不去翻阅答案，除非他们

6、已经亲自努力解答习题。 本书的结构 正如我在前面指出的，本书的编排特征是每一章都比较短。我认为几乎每个人都应该系统地学习本书前半部分，因为它描述的微观经济学基本工具对于所有经济学家都是有用的。本书的后半部分包含一些微观经济学主题的介绍。我估计大多数会选学部分内容。有些教师想强调博弈论，有些教师喜欢讲授一般均衡。有些课程花费很多时间来学习动态模型；另外一些课程则强调福利经济学的学习。 我不可能对所有这些主题都提供详尽的介绍，因此我决定只提供引论性质的材料。我试图使用本书第一部分描述的符号和方法，从而使得这些章节能为教材或专业期刊文章的更详尽阐述铺平道路。幸运的是，目前已有几本教材详细讨论资产市场

7、、博弈论、信息经济学和一般均衡理论。总之，认真的学生在学习这些主题时不会缺乏相应的学习材料。 ii 本书的制作 在重写这本书时，我已将所有材料都搬到Donald Knuth的TEX系统上。我认为现在这本书好看多了；而且，交叉参考、公式编号、索引等等对于作者和读者来说都变得容易多了。由于现在作者修改教材的成本大幅减少了，读者应该能期望看到更频繁的更新。（也许我在下一版中会将该段落中的最后一句编成习题） 本书的一部分是在MS-DOS系统下写成的，但是大部分是在NeET计算机上完成的 致谢 这些年，很多人写信告诉我教材中出现的打印错误，或者提供评语与建议。他们是（略去）。 最后，我给读者提供一个建议

8、。当你读这本书时，请牢记Sir Richard Steele（1672-1729）的不朽名言：“It is to be noted that when any part of this paper appears dull there is a design in it.” 密歇根大学安娜堡 1991年11月 曹乾（东南大学 ） 1曹乾曹乾曹乾曹乾 经济学译丛精品系列 经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Microeconomics Analysis（3th edition） Hal. R. Varian （University of Michigan Ann Arbor）

9、 范里安 微观经济 分析（第3版） 完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版完美中文翻译版 第 1 章：技术 曹乾 译 (东南大学 ) 曹乾（东南大学 ） 21 技术 刻画厂商技术最简单和最常见方法是生产函数，中级微观经济学课程中一般已研究生产函数。然而，刻画厂商的技术还有另外一些方法，这些方法在某些场景下更一般而且更有用。本章我们将讨论几种表示厂商成产可能性的方法，以及用经济学的语言描述与厂商技术相关的问题。 1.1 投入与产出的衡量 厂商使用各种投入的组合生产产出。为了研究厂商的选择，我们需要一种概括厂商生产可能性的简便方法，即哪种投入和产出的组合在技术上是可行的。 用流量（flows）

10、衡量投入和产出通常最令人满意：单位时段的一定数量的投入被用于生产单位时段的一定数量的产出。在描述投入和产出时，最好说明时间尺度。如果你这么做，你就不大可能犯诸如以下的低级错误：使用了不可比较的单位；混淆了存量和流量；等等。例如，如果我们用每周多少小时计量劳动时间，我们要保证资本运行时间也用每周多少小时衡量，产量用每周多少单位衡量。然而，当我们抽象地讨论技术选择时，比如本章，我们通常省略时间尺度。 我们可能还希望按以下几个方面区分投入和产出：何时得到它们的；何地得到它们的；甚至在什么样的环境下才能得到它们。使用何时和何地修饰投入和产出，我们可以描述生产的时间或空间性质。例如，某既定年份得到的混粘

11、土可用于建筑某幢大楼，这幢大楼将于下一年完工。类似地，在某地点购买的混凝土可用于其它地点的建筑施工。 “混凝土”这种投入应被认为是某特定等级、在某特定地点和特定时间得到的混凝土。在有些情形下，我们甚至需要把上述限定条件再加上诸如“如果气候干燥”这样的条件，也就是是说，我们可能考虑混凝土是在什么样的环境或者自然状态下得到的。至于应该对投入和产出描述到什么样的细致程度，取决于我们具体研究的问题，但是我们应该意识到，如果需要，我们就能将某特定投入和产出描述得非常详尽。 1.2 对技术的说明 假设厂商有n种可能的商品，这n种商品可以被用作投入和/或产出。如果某厂商使用ijy单位的商品j作为投入，生产o

12、jy单位的产出，则商品j的净产出（net out）为ijojj yyy =。如果商品j的净产出为正，则表明厂商正在生产的商品j的数量多于将其用作投入品的数量；如果净产出为负，则表明厂商正在使用商品j作为投入品的数量多于他生产的该商品数量。 一个生产方案（A production plan）就是一组不同商品的净产出数值。我们可以用nR中的向量y表示某个生产方案，其中：jy为负若商品j是净投入，jy为正若商品j是净产出。所有技术上可行的生产方案组成的集合称为厂商的生产可能集（production possibilities set），我们用nR中的子集Y表示。集合Y描述了投入和产出的所有技术上可行

13、的模式。生曹乾（东南大学 ） 3产可能集Y完整地描述了厂商面对的技术可行性。 当我们研究处于某特定经济环境下厂商的行为时，我们希望将生产方案区分为“立即可行”的方案和“最终可行”的方案。例如，在短期（short run），厂商的某些投入是固定不变的，因此，只有与这些固定投入要素相容的方案才是可行的。在长期（long run），这些固定投入是可变的，因此商场的技术可能性也可能改变。 我们一般假设上述限制可用nR中的向量z表示。例如，向量z是某特定时期下的一组各种投入和产出的最大数值。受限的生产可能集或称短期生产可能集用)(zY表示；该集合由所有满足约束条件z的可行净产出束（net output

14、bundles）组成。例如，假设要素n在短期的数量固定为ny，则YyY n )( =中的: nn yyy =。注意，)(zY是Y的子集，这是因为Y包含了所有生产可行方案，这意味着)(zY包含在Y中而且)(zY还要满足某些额外条件。 例子：必要投入集 假设我们要研究的厂商只生产一种产品。在这种情形下，我们将净产出束写为),( xy ，其中x为生产y单位产品的投入向量。这样，我们可以定义一种特殊的受限生产可能集，即必要投入集(input requirement set): nRyV+= )(中的),(: xyx 在Y中 必要投入集是能至少至少至少至少生产y单位产出的所有投入束组成的集合。 注意，此

15、处定义的投入必要集中，投入用正数表示，而在生产可能集中我们用负数表示净投入。 例子：等产量集 根据前面的例子，我们可以定义一个等产量集： nRyQ+= )(中的xx :在)(yV中但不在)( yV 中，其中yy 等产量集由恰好生产y单位产出的所有投入束组成。 例子：短期生产可能集 假设某企业使用劳动以及某类机器（我们将其称为“资本”）生产某些产出。于是，生产方案为),1,( ky ，其中：y为产出水平，1为劳动投入两，k为资本投入量。假设在短期，劳动可以立即改变但资本固定在水平k。则 YkY )( =中的kkky = :),1,( 就是短期生产可能的一个例子。 例子：生产函数 如果厂商只有一种

16、产出，我们可以将生产函数定义为 Rxf )( =中的yy :是与x关联的最大产出，其中y和x都在Y中. 曹乾（东南大学 ） 4例子：转换函数 类比一元生产函数，我们可以定义n-维“生产函数”，这个函数在研究一般均衡理论时将非常有用。Y中的某个生产方案y是有效率的（efficient），如果我们无法在Y中找到y（yy ）使得yy 成立；也即是说如果对于某生产方案来说，已无法使用相同的投入生产更多的产出，或者已无法使用更少的投入生产相同的产出，则该生产方案是有效率的。（仔细注意投入的符号规则）。我们通常假设可将技术上有效率的生产方案用某个转换函数（transformation function）R

17、RT n :表示，其中0)( =yT当且仅当y是有效率的。正如生产函数选取最大的标量产出(scalar output)作为投入的生产函数一样，转换函数选取的是最大的净产出向量。 例子：柯布 -道格拉斯技术 令参数a满足10 ba，则里昂惕夫(Leontief)技术可用以下各种方式定义。请见图1.1B。 曹乾（东南大学 ） 53RY =中的,min),(2121 bxaxyxxy ： =)(yV 2 +R中的,min:),( 2121 bxaxyxx =)(yQ 2 +R中的,min:),( 2121 bxaxyxx = ,min),( 2121 bxaxyxxyT = ,min),( 2121

18、 bxaxxxf = 在本章，我们主要分析只生产一种产出的厂商；因此，我们通常用必要投入集或生产函数描述它们的生产技术。以后我们再使用生产集和转换函数。 1.3 生产技术分析 描述生产或必要生产集的最简单的方法，就是列举各种可行的生产方案。例如，假设我们可用要素1和2生产一种产品。生产方法有两种不同的途径（activities）或技术（techniques）： 技术A：一单位要素1和两单位要素2能产出一单位产品。 技术B：两单位要素1和一单位要素2能产出一单位产品。 令产出为商品1，投入要素为商品2和3，则我们可以将上述两种技术暗含的生产可能性用下列生产集表示 )1,2,1(),2,1,1(

19、=Y 或用下列必要投入投入投入投入集表示 )1,2(),2,1()1( =V . 该必要投入集请见图1.2A。 在生产y单位产出时，有可能出现下面的情形，即每种要素的投入量恰好是生产一单位产出所需要素的y倍，其中y=1,2。在这种情形下，你可能会认为生产y单位产出的所有可行方法的集合为 ),2(),2,()( yyyyyV = . 但是，上述集合漏掉了部分可行生产方法。的确，若使用技术A，则)2,( yy能生产y单位的产出；若使用技术B，则),2( yy也能生产y单位产出。但是，你忘了我们还可以同时使用这两种方法进行生产。 在这种情形下，为避免混淆，我们使用Ay表示技术A的产量，By表示技术B

20、的产量。于是)(yV可用下列集合表示 :)2(),2()( BAABBA yyyyyyyyV +=+= . 曹乾（东南大学 ） 6因此，例如)3,3(),2,4(),4,2()2( =V，如图1.2B所示。注意投入束)3,3(也能生产两单位产出：技术A生产了一单位，技术B生产了一单位。 图1.2：必要投入集必要投入集必要投入集必要投入集。A图表示V（1）；B图表示V（2）；C图表示V（y），其中y为更大的产量。 1.4 单调的技术 我们继续分析上一节介绍的两种生产技术的例子。假设我们有个投入向量（3,2）。它足以生产一单位产出吗？我们可能认为，既然可以去掉2单位要素1，这样只剩下（1,2），因

21、此技术A可确保（3,2）能成产一单位产出。所以，如果允许这样的自由取舍（free disposal）,则当然可以认为：如果投入向量x是能生产y单位产出的一种可行方法，并且投入向量x中的每种投入都至少和x一样多，则x也是生产y单位产出的可行方法。因此，必要投入集在下列意义上是单调的（monotonic）: 单调性（monotonicity）。若x 在)(yV 中且xx ，则x也在)(yV 中。 如果我们假设了单调性，则图1.2中的必要投入集现在变为图1.3中的相应集合。 图1.3：单调性单调性单调性单调性。在单调性假设下，图1.2中的必要投入集就相应呈现上图的形状。 单调性对于生产集来说通常是个

22、合适的假设。在生产集中，我们通常假设如果y在Y中而且若yy ，则y必定也在Y中。提醒你注意此处的符号规则。yy 表示向量y的每个分量都小于或等于向量y的相应分量。这意味着与y代表的生产方案相比，y代表的生产方案使用至少一样多的所有各种投入，但生产出的产量相同或者更少。因此，自然可以曹乾（东南大学 ） 7假设如果y可行，则y也可行。 1.5 凸的技术 现在我们考虑如果生产100单位的产出，必要投入集将会呈现什么样的形状。作为第一步，我们可能认为若我们将向量（1,2）和（2,1）乘以标量100，我们应该能复制复制复制复制（replicate）前面介绍的两种技术，因此可以生产100倍得产量。显然不是

23、所有的生产过程都能允许这样的复制，但是在很多环境下，复制似乎是合理的。 如果上述复制可行，我们可以断言（100,200）和（200,100）都在V（100）中。还有没其他可能方式来生产100单位产出？有，我们可以将技术A和B各复制50次，即使用150单位要素1和150单位要素2生产100单位产出；因此，（150,150）也应该在必要投入集之中。类似地，我们可以将技术A复制25次将技术B复制75次。这意味着 )125,175()100,200(75.0)200,100(25.0 =+ 应该在V（100）中。更一般地， )1(100200),1(200100()100,200)(1()200,10

24、0( tttttt +=+ 应该也在V（100）中，其中.1,.,02.0,01.0,0=t 我们不妨作出明显近似处理，令t取闭区间0,1内的任何小数，则可以得到图1.4A形状的生产集。下一个定义准确介绍了这个性质： 凸性（Convexity）。若若若若x和和和和x都在都在都在都在)(yV中中中中，则则则则xttx + )1(也在也在也在也在)(yV中中中中，其中其中其中其中10 t。也就是说也就是说也就是说也就是说)(yV是个凸集是个凸集是个凸集是个凸集（convex set）。 图图图图1.4：凸的必要投入集凸的必要投入集凸的必要投入集凸的必要投入集。如果x和x都可以生产y单位产出，则任何

25、加权平均xttx + )1(也能生产y单位产出。图A中的凸必要投入集是两种生产技术下的情形；图B中的凸必要投入集是很多种生产技术下的情形。 生产技术可以复制驱使我们作出凸性的假设。如果我们想生产“大量的”产出，并且如果我们可以复制“小的”生产过程，那么假设技术为凸就比较合理。然而，如果生产技术的规模相对很大，而想要生产的产量却相对较小，那么这种情形下再假设技术为凸就不合理了。 然而，我们还有其他的理由说明为何凸性在某些环境下是合理的假设。例如，假设我曹乾（东南大学 ） 8们考虑的是每月的产出。如果一个投入向量x生产y单位的产生每月，另外一个向量x也可以生产y单位的产出每月，则我们可以用x和x各

26、生产半个月。如果转换生产方法不会产生任何问题，我们有理由认为产出为y单位。 我们曾将上述论断应用于必要投入集，但类似的论断也可以用于生产集。通常可以假设y和y都在Y中，则ytty + )1(也在Y中，其中10 t；换句话说，Y是一个凸集。然而，需要指出的是，与假设必要投入集为凸相比，假设生产集为凸的问题更大些。例如，凸生产集排除了“启动成本”（start up costs）和其他形式的规模报酬。我们稍后会更详细地分析这个问题。现在我们只简单描述V(y)的凸性、生产函数的曲率和Y的凸性之间的一些关系。 定理定理定理定理(凸生产集蕴涵着凸必要投入凸生产集蕴涵着凸必要投入凸生产集蕴涵着凸必要投入凸生

27、产集蕴涵着凸必要投入集集集集)：若生产集若生产集若生产集若生产集Y是一个凸集是一个凸集是一个凸集是一个凸集，则与其相关的必则与其相关的必则与其相关的必则与其相关的必要投入集要投入集要投入集要投入集)( yV，也是一个凸集也是一个凸集也是一个凸集也是一个凸集。 证明。若Y是个凸集，这意味着对于任何x和x，只要),( xy 和),( xy 都在Y中，则)1(,)1( xttxytty + 必然也在Y中。这只是要求)1(,( xttxy +也在Y中。由此可见，若x和x都在)(yV中，则xttx + )1(也在)(yV中，这表明)(yV是凸集。 定理定理定理定理（凸必要投入集等价于拟凹生产函数凸必要投

28、入集等价于拟凹生产函数凸必要投入集等价于拟凹生产函数凸必要投入集等价于拟凹生产函数）：）：）：）：)(yV是一个凸集当且仅当生产集是一个凸集当且仅当生产集是一个凸集当且仅当生产集是一个凸集当且仅当生产集)(xf是一个是一个是一个是一个拟凹函数拟凹函数拟凹函数拟凹函数。 证明。)(:)( yxfxyV =，这正好是)(xf的上等高集上等高集上等高集上等高集（upper contour set）。但一个函数是拟凹的当且仅当它又一个凸的上等高集；参见第27章拟凹函数和拟凸函数那一节。 1.6 正则技术 最后我们考虑关于)(yV的一种弱正则条件（a weak regularity condition）

29、。 正则性正则性正则性正则性。)(yV对于所有对于所有对于所有对于所有0y来说是闭的非空集合来说是闭的非空集合来说是闭的非空集合来说是闭的非空集合。 )(yV是非空的这个假设，要求对于任何既定的产出水平都有法生产。这个要求只是想避免每次都需要强调“假设y能够被生产出。” 作出)(yV是闭的这个假设是基于技术原因，在多数情形下这个假设是合理的。假设)(yV为闭的一种解释是：假设我们的投入束序列)( nx中每一个投入束都可以生产y单位产出，而且这个序列收敛于投入束0x。也就是说，这个序列中的投入束无限接近于0x。若)(yV是一个闭集则该极限投入束0x必然能成产出y。大致来说，必要投入集必定“包含自

30、身的边界。” 1.7 技术的参数表示 假设我们有很多种方法生产某既定产出水平。则我们自然可以将这个投入集用图1.5中的“平滑的”投入集表示。也就是说我们想用良好的曲线拟合穿过可能生产点的曲线。如果生产既定产量产出的方法的确有很多，则这样的平滑化的过程就不会带来比较大的问题。 曹乾（东南大学 ） 9图1.5：将等产量线平滑化。一个必要投入集及其“平滑”近似。 如果我们用这样的近似去“光滑”必要投入集，自然我们想寻求表示技术的一种简便方法，即带有若干未知参数的参数方程。例如，前面提到过的柯布-道格拉斯技术蕴涵着，满足yxx ba 21的任何投入束),( 21 xx都能生产至少y单位的产量。 你不应

31、该将这些参数技术表示仅看作为生产可能性的文字描述。生产可能性是描述实际生产方案的工程数据。这些工程数据完全有可能用比较方便的函数形式比如柯布-道格拉斯函数表述。如果行得通，这样的参数描述将会非常有用。 在绝大多数应用中，我们只关心是在某些特定投入和产出水平范围内，能否找到对某技术的参数化描述，而且通常用相对简单形式的函数去做参数化近似。这些参数化表示是非常简便的教学工具，因此我们通常假设我们的技术能用这样的参数表示。这样，我们就可以使用微积分和代数工具区分析企业的生产选择决策。 1.8 技术替代率 假设我们的技术可以用一个平滑的生产函数表示，而且我们在某个特定点),( *2*1* xxfy =

32、进行生产。假设为维持产量水平不变，我们想增加要素1的投入量减少要素2的投入量。我们如何确定这两种要素之间的技术替代率（technical rate of substitution，TRS）？ 在二维情形下，技术替代率就是等产量线的斜率：当1x微小变动时，你应该怎样调整2x才能使产量不变，如图1.6所示。在n维情形下，技术替代率是等产量面在特定方向上的斜率。 令)( 12 xx表示隐函数，这个函数告诉我们如果我们投入1x单位要素1，则还需要投入多少2x才能生产y单位产量。于是根据定义可知，函数)( 12 xx必定满足下列不等式 yxxxf )(,( 121 我们想要的是1*12 /)( xxx

33、的表达式。对上式微分可得 曹乾（东南大学 ） 10 1*121*21*2 )()()(xxxxxxxxx+ 2*1*1*12/)(/)()(xxfxxfxxx= . 其中)(,( *12*1* xxxx =。 这样我们就得到了技术替代率的显性表达式。 图图图图1.6：技术替代率技术替代率技术替代率技术替代率。技术替代率衡量当一种投入变动时，我们必须如何调整另外一种投入才能使产量不变。 下面我们介绍推导技术替代率的另外一种方法。考虑投入向量的在投入水平上的（微小）变化，我们将其记为),( 21 dxdxdx =。相应的产出变化近似为 2211dxxfdxxfdy += . 上述表达式称为函数)(

34、xf的全微分。考虑只有要素1和要素2变动的这种特殊情形，而且要素投入量的这种变动不会改变产量大小。也就是说，1dx和2dx“沿着等产量线”调整。 由于产量维持不变，可得 22110 dxxfdxxf +=， 从该式可以解得 2112/xfxfdxdx= . 在计算技术替代率时，我们可以使用隐函数的方法，也可以使用全微分的方法。隐函数的方法相对严格一些，但是全微分的方法可能相对直观。 例子：柯布-道格拉斯的技术替代率 曹乾（东南大学 ） 11 给定函数aa xxxxf = 12121 ),(，求导可得 aaaxxaxaxxxf = 11212111)( aaaxxaxxaxxf )1()1()(

35、21212= . 由此可得 12211121/)(xxaaxfxfxxx= . 1.9 替代弹性 技术替代率衡量无差异曲线的斜率。替代弹性衡量等产量线的曲率。更具体地说，替代弹性衡量在产量维持不变的情形下，要素投入比率的变动百分比除以TRS变动百分比。如果令)/( 12 xx表示要素投入比率的变动，令TRS表示技术替代率的变动，我们可以将替代弹性表达为 TRSTRSxxxx= 1212/)/( 这是曲率的相对自然的衡量方法：它问的是当等产量线的斜率变动时，要素投入比率如何变动。如果斜率的较小变动引起要素投入比率相对较大的变动，则等产量是相对平坦的替代弹性较大。 在实践中，我们可以将变动百分比想

36、象为非常小，并对上述表达式求当TRS趋于0时的极限。因此，替代弹性的表达式变为 dTRSxxdxxTRS )/()/(1212= . 用对数形式的导数计算替代弹性通常比较方便。一般来说，若)(xgy =，则y对于x的弹性是指x的（微小）变动百分比引起的y变动的百分比。 yxdxdyxdxydy =/ . 如果x和y均为正，则这个导数可以写为 xdydlnln=， 下面证明这个结论。由链式法则可知 曹乾（东南大学 ） 12 dxyddxxdxdyd lnlnlnln = . 将等式左右两端的项分别计算可得 dxdyyxxdyd 11lnln =， dxdyyxxdyd =lnln。 另外一种证明

37、方法是使用全微分： ,1ln1lndxxxddyyyd=因此 yxdxdyxdyd =lnln . 同样，第一种方法比较严格，但第二种方法比较直观。 将上述表达式应用于替代弹性可得 TRSdxxdln)/ln( 12= . (分母中的绝对值符号是将TRS转换为正数，从而使取对数有意义。) 例子：柯布 -道格拉斯生产函数的替代弹性 我们已经知道 1212 1 xxaaTRS= 或 12121 TRSaaxx= 由此可得 1212 ln1lnln TRSaaxx += . 这又意味着 曹乾（东南大学 ） 13 1ln )/ln( 12 = TRSd xxd . 1.10 规模报酬 假设我们使用某个投入向量x生产某既定的产量y，现在我们决定将所有投入按比例同时增加或减少，使其变为原来的t倍，产量将怎样变化？ 在前面的情形中，我们只希望产量等比例增加增加增加增加（scale up），我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生产出t倍的产量。如果这种等比例增加总是可行，我们说生产技术呈现规模报酬不变(constant returns to scale)的现象。更正式地， 定义定义定义定义（规模报酬不变规模报酬不变规模报酬不