1、解数学竞赛题的常用策略王连笑上海教育出版社目!录写在前面一 特殊化策略&波利亚在他的名著 /数学与猜想 0中有这样一段叙述 !(如果我们要考察一个凸多边形的命题 %那么就可以先从正多边形看起 %特殊地 %还可以先从正三角形看起 %如果我们要检验某个关于素数的命题 %那么就可以先从一些具体的素数 %例如先从&3看起 %如果我们讨论的是一道与一切正整数“有关的命题 %那么 %最好还&3&是先来看“9和(的情形!)华罗庚先生曾指出 !(先足够地退到我们所最容易看清楚问题的地方 %认透了 %钻深了 %然后再上去!)!#例!“!$!在线段$%的两个端点 #一个标以红色 #一个标以蓝色 #在线段中间插入“
2、个分点 #在各个分点上随意地标上红色或蓝色 #这样就把原线段分为“:&个不重叠的小线段 #这些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段!求证 &标准线段的个数为奇数!我们从简单入手!最简单的情形就是在$%之间不插入点 %这时$%就是一条标准线段 %即标准线段只有一条 %其个数显然是奇数!其次是在$%之间有一个点 %这个点可能是红色 %也可能是蓝色 %这时三个点为 “红 %红 %蓝 #或 “红 %蓝 %蓝 #%由于 “红 %红 #%“蓝 %蓝 #是非标准线段 %不在考虑之列 %当然只有一条标准线段!再次 %在$%之间有两个点 %则四点的颜色按顺序有 “红 %红 %红 %蓝 #%“红 %红 %蓝 %蓝
3、#%“红 %蓝 %红 %蓝 #%“红 %蓝 %蓝 %蓝 #%由于相邻两点同色时为非标准线段 %可以不考虑 %即可以不把它们看作线段“或叫作零线段 #%则以上四种情况 %相应的标准线段的条数依次为&%&%(%&!从以上分析 %我们可以得到本题的解法 !设$%之间插入“个点 %我们再把问题简单化 %即着眼于标准线段 %所以只需把非标准线段适当做一些加工 !因为非标准线段的两个端点同色 %则把这两个端点重合 %即把一切非标准线段都化为零线段 %这时 %线段$%上的所有点就成为红 蓝相间的点 %而$%两个端点又是一红 一蓝 %所以标准线段的个数是奇数!解这个题目时 %我们首先从简单情形入手 %即研究$
4、%之间不插入点 %插入一个点 %插入两个点时标准线段的计数方法 %在具体&*&解题时 %又把问题简单化 %即把非标准线段都化为零线段 %从而把标准线段的计数问题化归为在线段$%上 “包括$%两点 #为红 蓝相间的点 %因此标准线段的个数就是红 蓝相间的线段个数 %即为奇数!#例!“!“$!求证对任意非负整数“#&4,*“:&3是合数!我们记$“#9&4,*“:&3!为了证明$“#是合数 %就要考虑$“#能被哪个素数整除 %从而就可以选定该素数为模进行讨论 %那么 %究竟选取哪个素数为模呢 * 还是从简单情形进行探索!“9)时 %$“)#9&4,*):&39(-%+,$“)#%(,$“)#!当“
5、-&时 %$“#9&4,*“:&3是奇数 %因此 %选取以为模是不现实的 %还要逐一进行分析!“9&时 %$“ &4,*&:&39&-4%+&(,$“&#-“9时 %$“#9&4,*:&39&(%+(,$“#-“9(时 %$“(#9436+%+,$“(#-“96时 %$“6#933*6&%+(,$“6#-“9+时 %$“+#9-)49&(,63*4(%+&(,$“+#-“9-时 %$“-#964*)3+(%(,$“-#-“93时 %$“3#9(4*6+4)+%+,$“3#!由以上试验可以看出 %“为偶数时 %取(%“为6):&“)为非负整数 #型的数时 %取&(%“为6):(“)为非负整数
6、 #型的数时 %取+!这样 %我们就可以把复杂问题分解为几个简单问题 %即只要证明(,$“)#%&(,$“6):&#%+,$“6):(#这三个小问题就可以了!下面是本题的解法 %其中的)为非负整数!&4&“&#当“9)时 %目标是证明(,$“)#!$“)#9&4,*):&3!因为目标明确 %所以 %我们就朝着$“)#能被(整除的方向努力!为此把&4化为&*:&%把&3化为&*.&!$“)#9&4,*):&39&*,*):&*:*).&9&*“*):&#:“-(:&#).&.)!“(#!于是(,$“)#!因此$“)#是合数!“#当“96):&时 %目标是证明&(,$“6):&#! !$“6):&
7、#9&4,*6):&:&39&(,*6):&:-,*6):&:&(:69&(“*6):&:&#:6*,-6):6.6*“-+.&#):6.“.&#),6*:69+.)!“&(#!于是&(,$“6):&#%因此$“6):&#是合数!“(#当“96):(时 %目标是证明与+,$“6):(#!$“6):(#9&4,*6):(:&39),*6):(:&+.*6):(:*6):(:+&,*6):,“-+.&#):“.&#):.)!“+#!于是+,$“6):(#%&)&因此$“6):(#是合数!由 “&#%“#%“(#可知 %对所有非负整数“%$“#9&4,*“:&3是合数!解这个题目是首先把问题简单化
8、%通过对“9&%.%3的讨论 %寻找合数的素约数 %因而可以找到适当的模 %然后又把这个问题分解为三个较为简单的问题 %从而使题目得到证明!#例!“!#$!求证 &存在无穷多对正整数+#,#满足+,:&#!,+:&!我们先看简单情形!从+9&%,9开始 %这时有&,:&%!,&:&!由于:&9+9&,+%则还有+,:&!还可以有,+:&!于是又有一对新数 “%+#!由于+:&9-9,&(%即有&(,+:&%那么 %+能整除&(:&吗 * 能 1+,&(:&!再出现一对新数 “+%&(#!由于&(:&9&3)9+,(6%即有(6,&(:&!那么 %&(能整除(6:&吗 * 能!(6:&9&+39
9、&(,*4!即&(,(6:&!这时又出现了一对新数 “&(%(6#!&同时还有*4,(6:&%又由*4:&9349(6,(%于是有(6,*4:&!这样 %又有一对新数出现 “(6%*4#!进而可由(,*4:&猜想到下一对新数是 “*4%(#%经验证有*4,(:&!让我们观察上述各组数“&%#%“%+#%“+%&(#%“&(%(6#%“(6%*4#%“*4%(#!这些数我们相当熟悉 %因为这些数都在斐波那契 “?A=$B%#数列中出现过!斐波那契数列 +#“,是&%&%(%+%*%&(%&%(6%+%*4%&66%(%.我们上面研究的那些数 %恰是斐波那契数列的奇数项!由于斐波那契数列是无穷数列
10、 %其奇数项当然也有无穷项!于是 %我们可以设想 %如果能够证明#“.&,#“:(9#“:&:&%就有#“:&,#“:+9#“:(:&!由此可以得到#“:(,#“:&:&%#“:&,#“:(:&!从而数对 “#“:&%#“:(#就是所求的数对 “+%,#!这样 %问题就会得到解决!于是 %本题转化为证明 !对斐波那契数列 +#“,%有#“.&,#“:(9#“:&:&!“/$)#我们可以用斐波那契数列的通项公式和递推公式完成这个证明!第一种证法用斐波那契数列的通项公式#“9&槡+槡&: +“ #“.槡&. +“ #2 3“!&记!&9槡&: +%!9槡&. +%则!&:!9&%!&!9.&%且#
11、“9&槡+“!“&.!“#!#“.&,#“:(9&+“!“.& .!“.&#“!“:(& .!“:(#9&+2!6“:& :!6“: .“!&!#“.&“!6&:!6#39&+2“!“:& .!“:&#:!“:& !“:& :“!6&:!6#39#“:&:&+“!6&:!6.#9#“:&:&+2“!&:!#.!&!.39#“:&:&+2“!&:!#.!&!3.6,9#“:&:&!于是#“.&,#“:(9#“:&:&!第二种证法用斐波那契数列的递推公式!我们对“施用数学归纳法!“&#“9&时 %#&,#+9&,+9+%#(:&9:&9+!所以#&,#+9#(:&!“9&时 %等式成立!“9时 %
12、#(,#39,&(9-%#+:&9+:&9-%所以#(,#39#+:&!“9时 %等式成立!“#假设“9)时等式成立 %即#).&,#):(9#):&:&!那么 %“9):&时 %&(&!#):&,#):+9“#):#).&#“#):6:#):(#9“#):#).&#,#):6:#).&#):(:#)#):(9#):&,#):6:#):&:&:#)#):(9“#):(.#):#“#):(:#):#:“#):(.#):#:&:“#):.#):&#):(9#):(.#):#):(:#):.#):#):(:&:#):#):(.#):&#):(9#):(.#):(“#):#):&#:&9#):(.#)
13、:(:&9#):(:&!所以 %“9):&时等式成立!由以上 %对所有正整数“%等式成立!由斐波那契数列的这个性质可得 %存在无穷多个数对 “#“:&%#“:(#满足#“:&,#“:(:&%#“:(,#“:&:&!从而取+9#“:&%,9#“:(%则本题得证!#例!“!%$!设)是一个正整数 #求证 &存在着无穷多个形如“).3的完全平方数 #其中“是正整数!证明这个题目的关键在于先证明存在一个满足条件的完全平方数 %即对任意的)/$)%都有形如“,).3的完全平方数 %继而再证明有无穷多个!为了叙述方便 %我们对给定的)所存在的完全平方数记为+)%这等价于 !对任意给定的)值 %存在一个正整
14、数+)%满足+)3!“)#!对于)%先取简单的数)9&%.%*进行研究 %从中发现一些&6&规律!) “&).39+) +)3!“)#“ +)& 6&.39&3!“ & &.39&3!“#&“+9+&#( &(.39&3!“(#&“+(9+#6 &6.39+3!“6#+9&:“+69+(:#+ +.39+3!“+#&+“+9+6#- 3&-.39&3!“-#3&9+:6“+-9+:6#3 &3.39+(+(3!“3#+(9&:+“+39+-:+#* &*.39+(+(3!“*#&+(“+*9+3#!从上表列举的*个简单的)值与+)的关系 %我们有什么启发呢 *发现的规律是什么 *我们发现
15、 %当“为偶数时 %得出+)%则下一个+):&仍等于+)!例如!“96!“)9&#%有+9+&%“9“)9#%有+(9+%“9“)96#%有+9+6%“9“)93#%有+*9+3!当“为奇数时 %得出+)%则下一个+):&等于+)与的幂的和 %具体地 %满足+):&9+):).&!例如!“9&!“)9(#%有+69+(:%“9&“)9+#%有+-9+:6%&+&“93“)9-#%有+39+-:+!由此我们可以推测 !)9*时 %由于“是奇数 %则)94时 %必有+49+*:39+(:&*9&*&!事实上 %)96时 %有-6&4.39&*&!而)94时 %由于“9-6是偶数 %必有+&)9+4
16、9&*&!事实上 %)9&)时 %有(&).39&*&!下面有 %)9&时 %&-&.39&*&%即+&9+&)9&*&!以上的验证说明我们的猜测是正确的!我们的任务只是用数学归纳法证明下面的结论 !对于“&).39+)!当“为偶数时 %+):&9+)!当“为奇数时 %+):&9+):).&!当)9&%(时 %由上面的试验可知+)9&!此时命题成立!假设对某个)0(%有+)满足+)3!“)#%即+):39-&)!“&#若-为偶数 %设-9-)%则+):39-)&):&%即+)3!“):&#!此时取+):&9+)即可!“#若-为奇数 %则+):3.)9-&).)9“-.&#&)!由于-.&是偶数
17、 %所以有&-&+):3.).)!“):&#%即+).).3!“):&#!这时 %我们取+):&9+):).&!则有!+):&9“+):).&#!9+):&+)&).&:).+):+)&)“C当)-(时 %).-):&#.+):)“C+)是奇数 #3“):&#!于是 %对所有)/$)%存在+)/$)%使得+)3!“)#!并且 %由以上可以看出+“无最大元素 %因此 %+“,包含无穷多个值!解本题时 %对)9&%.%*的观察与分析是关键!从特殊到一般 %只要找出规律 %下面只是履行数学归纳法的手续问题了!这里需要说明的是 %解本题开始时 %对于)9&%.%*的具体的研究 %并不是一次就得到前面的
18、那个表 %而是经过了多次尝试 %例如)96时 %还有&6.39(%(3“6#%此时“9&%+69+(:%)9+时 %有6&+.39&%&3“+#%此时“96%+9&9(:*9+6:(%)9-时 %有&-.39&%&3“-#%此时“9+%+-9+等等 %但是 %这时对于)%“%+)之间的关系看不太清楚 %又重新寻找符合条件的同余式及“%+)的值 %虽然试验没有成功 %但是对于+)的存在性及多解性增加了信心!#例!“!&$!有&443个中学生 #组成了若干个(人小组 #每个人可以同时参加一个或多个小组 #现从中任意拿出&44*个小组的名单 #发现一定有两个小组 #在它们的名单中恰有一个相同的中学生
19、!试证之!我们把题目抽象为下面的等价命题 !&3&在“元集合中 %取“:&个三元子集 %必有两个子集 %它们恰有一个公共元!我们从命题的反面来理解 %这就是说 %如果结论不成立 %则所取的“:&个三元子集中的任意两个 %或者没有公共元 %或者有二个公共元!还要注意题目的一个基本条件 !元素的个数 “ 个 #少于子集的个数 “:&#个 %这是我们思考问题时需要时时关注的!如何思考这个问题呢 * 还是从简单入手 %研究简单情况下的规律!这就是说 %不是先取“:&个子集 %而是取三个三元子集 %把这三个三元子集研究清楚了 %再以此为依据研究“:&个三元子集!设集合$%&是所取出的三元子集中的三个 %
20、并且设集合$与%有两个公共元 % 与&有两个公共元!我们用记号,.,表示有限集合.的元素的个数 %这时有,$1%,9%,%1&,9!不妨设$9+%,%/,%9+%,%0,%且/20!由于,%1&,9%所以+%,这两个元素中至少有一个元素属于&%这样$1&23%由假设 %$1&或者没有公共元 %或者有两个公共元 %所以只能有,$1&,9!于是 %我们得到这样一个结论 !设$%&是取出的三个三元子集 %若,$1%,9%,%1&,9%则,$1&,9!从这个结论出发 %我们再进一步研究“:&个三元子集的情形!现在 %我们将“:&个三元子集按以下方式分类 !同一类中任意两个不同子集都恰有两个公共元 %而
21、不在同一类中的任意两个子集都没有公共元!下面我们对上述分类得到的每个子集类再深入研究 %可以分为下面三种情况讨论!第一种情况 !如果某个子集类中恰有(个元素 %那么这个子集类中只有一个三元子集 %此时该子集类有一个子集 %(个元素 %即子集的个&*&数小于元素的个数!第二种情况 !如果某个子集类中恰有6个元素 %由于&(696%因此 %这个子集类中至多有6个三元子集 %此时子集的个数 “不大于6个 #不大于元素的个数 “6个 #!第三种情况 !如果某个子集类中至少有+个元素!我们设$9+%,%/,%9+%,%0,是这个子集类中的两个子集 %这时 %除元素+%,%/%0外还至少有一个元素1!设1
22、属于该子集类中的某个子集&!由于前面的结论 %应有,$1&,9%因此&9+%,%1,!这时 %如果还有第6个子集%则由,$1,9%,%1,9%,&1,9%必有9+%,%#,!由此可知 %该子集类中每个子集都对应着+%,之外的一个元素 %所以 %子集的个数比元素的个数少!综合以上三种情况 %如果在“元集合中所取出的这些三元子集中任两个或者没有公共元 %或者有两个公共元 %这时所取出的所有子集个数必不大于这些子集的所有元素的个数 %而题目中有“:&个子集 %“个元素 %这是不可能的!因此 %命题本身的结论是正确的 %即“元集中取出“:&个三元子集 %必有两个子集 %它们恰有一个公共元!取“9&44
23、3%即为本题!#例!“!$!自然数$的十进制表示为+“+“.&(+&+)!令#)$*9“+):“.&+&:(:+“.&:+“!记$&9#)$*#$2:&9#)$2*!)29&#(*!求证 &)&*必有自然数)#使得$):&9$)+)*若$9&4*-#问上述的$)等于多少 , 并说明理由!&4&题目给出的操作是由$#“$#“$&#“$#“$(#.#“$“#%而要求证明的问题是 !必有一次操作$)%使得再进行下一次操作#“$)#时 %操作不再变化 %这就要求探索操作#“$#具有什么规律 *在由$#“$#的操作过程中 %哪些变化了 %哪些没有变化 * 要探索这些规律 %还是得从简单入手!我们对$的简
24、单情形进行试验 %$的简单情形当然是$为一位数 %二位数和三位数!当$是一位数时 “此时“9)#%例如$9+%由题设#“$#9)&+9+%操作不再变化了 %因此 %我们可以得出结论 !对于一位数$%它的操作#“$#9$!因此 %只要操作#“$)#变化到一位数时 %问题自然得到解决!当$是二位数时 “此时“9&#%设$9&)+:,%其中+/+&%.%4,%,/+)%&%.%4,%此时#“$#9,:+!为了使#“$#9$%则应有$.#“$#94+.,9)!此时 %由+和,的取值可知 %只有+9&%,94%于是$9&4%即$9&4时 %#“$#9&4!此时 %#“$)#就不会再变化了!如果二位数$2
25、&4%我们再作试验 !如果$是&4的倍数 %比如$9(*%则$&9#“$#9,*:(9&4%$9#“$ &4!若$9+3%则$&9#“$#9,3:+9&4%$9#“$ &4!如此等等 %即当$是一个&4的倍数的二倍数时 %#“$#9&4就不再变化了!如果$不是&4的倍数 %比如$9*4%则$&9#“$#9,4:*9-%$9#“$ ,-:9&64$&%$(9#“$#9,6:&944$%$69#“$(#9),4949$(!&)&由此可猜测 %当$不是&4的倍数的二位数时 %则每进行一次操作就使数变小 %一直变到一位数就不再变化!当$是三位数时 “此时“9#%我们对$是二位数时的结论进行
26、一下验证!取$9&4,(96(3%则!$&9#“$#96,3:,(:69(*%$9#“$ ,*:(9&4%$(9#“$#9,4:&9&4!取$94*4%则$&9#“$#96,4:,*:49-&%$9#“$ ,&:-9*%$(9#“$#9),*9*!可以看出 %当$是三位数时 %操作规律与$是二位数时相同!由以上 %对$的简单情形的试验 %我们可以猜想操作#“$#有这样一个规律 !当$是&4的倍数时 %操作使数变小 %直到变到&4之后就不再变化 -当$不是&4的倍数时 %操作使数变小 %一直变到一位数之后就不再变化!依据这一规律 %可以启发我们证明这个问题的思路 !对第 “&#问 %设法
27、证明$&%$%.%是一个递减数列 %从而使$)达到二位数 %然后再对$)是&4的倍数或者不是&4的倍数这两种情况 %分情况进行讨论!对第 “#问 %结论应该是$)9&4!同时我们还可以看出 %操作#“$#正好反映了能被&4整除的可除性特征!下面就是本题的证明!对于 “&#%#“$#9“+):“.&+&:.:+“.&:+“(“:“.&:.:&#&4&94“:&.&#!另一方面!$9&)“+“:&)“.&+“.&:.:&)+&:+)-&)“+“-&)“!我们证明 %当“-时 %$0#“$#!$-&)“9&)&)“.&04&*&)“.04&*&“.94&“:&04“:&.&#-#“$#!这就意味着
28、%对$每进行一次操作 %就变小一次 %从而有$&0$0$(0.%由于$是有限数 %则必存在某个自然数)%使得$)4&)!若$)是二位数 %则可设$)9+,%+/+&%.%4,%,/+)%&%.%4,%即$)9&)+:,!则$):&9,:+%$).$):&94+.,!显然 %+9&%,94时 %$).$):&9)%即$)9$):&%此时问题已经解决!若+2&或,24%则4+.,0)%此时对$)再进行一次操作 %使得$):&要不然等于&4“此时问题已经解决 #%要不然不等于&4%由于$):&是一个小于&)的数 %则必然再经过某次操作 %得到一位数 %记为$)39+%+/+&%.%4,%故有$)3:
29、&9$)39+%从而问题也得到解决!对于 “#!我们先证明这样一个命题 !&若$9&)4:5“4是正整数 %5/+)%&%.%4,#%#“$#945“5%则&)“D&,$6&)“D&,#“$#!这是因为!$9&)4:59&)4:&)“5.&)“5:59&)“4:“5#.“&)“.%由于&)与&)“.&互质 %则&)“.&,$时 %有&)“.&,4:“5%反之 %&)“.&,4:“5时 %有&)“.&,$!同样有!$9&)4:59&)4.&)“5:&)“5:59&)“4.“5#:“&)“:%由&)与&)“:&互质 %则&)“:&,4.“56&)“:&,$!由以上证明 %当“9时 %有
30、$9&)4:5%#“$#94:5则有&4,$6&4,#“$#!由于$9+“+“.&.+&+)%若&4,$%则&4,+“+“.&.+&:+)%同样有&4,+“+“.&.+:“+&:+)#%即&4,+“+“.&.+:+&:+)%如此下去 %有&4,+“:+“.&:.:“.&+&:“+)9#“$#!于是 %由$9&4*-及&4,$%知$&%$%$(%.都能被&4整除 %又由 “&#&(&$&0$0$(0.及#“&4#9&4可知$)9&4!顺便说一下 %上面证明的命题&)“D&,$6&)“D&,#“$#是一个证明能被&)“:&“如&%&%(&%6&%.#及&)“.&“如4%&4%4%.#整除的可除性特
31、征的命题 %因这个命题 %若判断$能否被&)“D&整除 %只要反复进行操作#“$#945“5%看45“5能否被&)“D&整除就可以了!&!(!化归为简单情形遇到一个问题 %我们可以把复杂问题化归为简单问题 %或特殊问题 %也可以把复杂问题分解为一个一个简单问题或特殊问题 %这样简单问题解决了 %或者特殊问题解决了 %复杂问题也就迎刃而解了!#例!#!$!求证三角形的垂心 “重心和外心在一条直线上 #并且重心把垂心和外心所联线段分成E&两部分!三角形的垂心 %重心和外心所在直线是有名的三角形的欧拉线!证明欧拉线的方法很多 %但是 %我们能不能找到一个比较简捷的证法呢 * 让我们思考一下!设7$%
32、&的各边中点为$3%3%&3%6为垂心 %7为重心 %8为外心 !图!图!“&6&!我们的目标是证明6%7%8共线 %且满足67789&!由于6是7$%&的垂心 %而8是外心 %且由重心的性质有$77$39&!这个比例式的比值与我们要证明的比值相同 %这就使我们想到 %能否找出一个三角形来 %使得7也是这个三角形的重心 %并且这个新三角形与原三角形关于7点是位似三角形!事实上 %这个三角形相当好找 %由三角形中位线的性质可知 %中点三角形$3%3&3%就是以7点为其重心!并且因为%3&38%&%8$39%&%则8$39%3&3%同理8%39&3$3%8&39$3%3%即8为7$3%3&3的三条
33、高线交于8点 %所以 %8是7$3%3&3的垂心!图!#这样 %问题的本质抓住了 %问题简化了!即只要证明7$%&与7$3%3&3关于7点位似就可以了!而这个简单的问题就很容易解决了!因 为7$3%3&3: 7$%&%且$3%3%&3相交于7!所以7是7$%&与7$3%3&3的位似中心 %且位似比为E&!此时 %7既 是7$%&的 重 心 %也 是7$3%3&3的 重 心 %而6是7$%&的垂心 %7$%&的外心8是7$3%3&3的垂心 %由位似三角形的性质可知 %6%7%8共线 %且67789位似比9&!#例!#!“$!在单位正方形的周界上任意两点之间联一曲线 #如果它把正方形分成两个面积相等的部分 #试证这个曲线段/的长度不小于&!我们设正方形为$%&%则其边长为&!&+&
