1、 Go the distance 1 第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中 1函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是 对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法 (2)方程的思想，就是分析数学
2、问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 2函数与方程的思想在解题中的 应用 (1)函数与不等式的相互转化，对于函数 y f(x)，当 y 0时，就转化为不等式 f(x) 0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性 质也离不开不等式 (2)数列的通项与前 n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 3数形结合是一个数学思想方法，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形
3、” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： (1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的Go the distance 2 联系，即以形作为 手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质； (2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性， 即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 4在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围数学中的知
4、识，有的本身就可以看作是数形的结合 . 热点一 函数与方程思想的应用 微题型 1 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题 【例 1 1】 设函数 f(x) cos2x sin x a 1，已知不等式 1 f(x) 174 对一切x R恒成立，求 a 的取值范围 解 f(x) cos2x sin x a 1 1 sin2x sin x a 1 sin x 122 a 14. 因为 1 sin x 1，所以当 sin x 12时， 函数有最大值 f(x)max a 14， 当 sin x 1 时，函数有最小值 f(x)min a 2. 因为 1 f(x) 174 对一切 x R恒成立， 所以
5、 f(x)max 174 且 f(x)min 1， 即a 14174 ，a 2 1，解得 3 a 4， 所以 a 的取值范围是 3， 4 Go the distance 3 探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题； (2)函数 f(x) 0或 f(x) 0恒成立，一般可转化为 f(x)min 0 或 f(x)max 0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解 微题型 2 运用函数与方程思想解决数列问题 【例 1 2】 已知数列 an满足 a1 3， an 1 an p3 n(n N*， p 为常数 )， a1，
6、a2 6， a3成等差数列 (1)求 p 的值及数列 an的通项公式； (2)设数列 bn满足 bn n2an，证明： bn49. (1)解 由 a1 3， an 1 an p3 n， 得 a2 3 3p， a3 a2 9p 3 12p. 因为 a1， a2 6， a3成等差数列， 所以 a1 a3 2(a2 6)， 即 3 3 12p 2(3 3p 6)， 得 p 2，依题意知， an 1 an 2 3n. 当 n 2 时， a2 a1 2 31， a3 a2 2 32， ， an an 1 2 3n 1. 将 以上式子相加得 an a1 2(31 32 3n 1)， 所以 an a1 2
7、3 （ 1 3n 1）1 3 3n 3， 所以 an 3n(n 2)又 a1 3 符合上式，故 an 3n. (2)证明 因为 an 3n，所以 bn n23n. 所以 bn 1 bn （ n 1）23n 1 n23n 2n2 2n 13n 1 (n N*)， 若 2n2 2n 1 0，则 n 1 32 ， 即当 n 2 时， 有 bn 1 bn， 又因为 b1 13， b2 49，故 bn 49. Go the distance 4 探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型： (1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的 单调性或不等式求解 (2)数列中的最大项与最小项问
8、题，利用函数的有关性质或不等式组 an 1 an，an an 1，an 1 an，an an 1 求解 (3)数列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an 0(an 0)成立时最大的 n值即可求解 微题型 3 运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题 【例 1 3】 设椭圆中心在坐标原点， A(2， 0)， B(0， 1)是它的两个顶点，直线 y kx(k 0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、 F 两点 (1)若 ED 6DF ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值 解 (1)依题意得椭圆的方程为 x24 y2 1，直线 AB， EF的方
9、程分别为 x 2y 2，y kx(k 0)如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1 x2，且 x1，x2满足方程 (1 4k2)x2 4， 故 x2 x1 21 4k2. 由 ED 6DF 知 x0 x1 6(x2 x0)， 得 x0 17(6x2 x1) 57x2 107 1 4k2； 由 D 在 AB 上知 x0 2kx0 2， 得 x0 21 2k. 所以 21 2k 107 1 4k2， Go the distance 5 化简得 24k2 25k 6 0， 解得 k 23或 k 38. (2)根据点到直线的距离公式和 式知，点 E，
10、F 到 AB 的距离分别为 h1 |x1 2kx1 2|5 2（ 1 2k 1 4k2）5（ 1 4k2） ， h2 |x2 2kx2 2|5 2（ 1 2k 1 4k2）5（ 1 4k2） . 又 |AB| 22 1 5， 所以四边形 AEBF 的面积为 S 12AB(h1 h2) 12 54（ 1 2k）5（ 1 4k2） 2（ 1 2k）1 4k2 2 1 4k2 4k1 4k2 2 2， 当 4k2 1(k 0)， 即当 k 12时，上式取等号 所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经
11、常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 (或者多个 )变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 热点二 数形结合思想的应用 微题型 1 运用数形结合思想解决函数、方程问题 【例 2 1】 已知函数 f(x) x2 2(a 2)x a2， g(x) x2 2(a 2)x a2 8，设H1(x) maxf(x)， g(x)， H2(x) minf(x)， g(x)(maxp， q表示 p， q 中的较大值， minp， q表示 p， q 中的较小值 )，记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为Go the distan
12、ce 6 B，则 A B _ 解析 H1(x) maxf(x)， g(x) f（ x）， f（ x） g（ x），g（ x）， f（ x） g（ x） . H2(x) minf(x)， g(x) f（ x）， f（ x） g（ x），g（ x）， f（ x） g（ x） . 由 f(x) g(x)x2 2(a 2)x a2 x2 2(a 2)x a2 8， 解得 x1 a 2， x2 a 2. 而函数 f(x) x2 2(a 2)x a2， g(x) x2 2(a 2)x a2 8 的图象的对称轴恰好分别为 x a 2， x a 2. 可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图 1所示， 因此
13、 H1(x)， H2(x)的图象分别如图 2，图 3所示 (图中实线部分 ) 可见， A H1(x)min f(a 2) 4a 4， B H2(x)max g(a 2) 12 4a.从而 A B 16. 答案 16 探究提高 (1)用函数的图象讨论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 )的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 (不熟悉时，需 要作 适当变形转化为两个熟悉的函数 )，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数 (2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型： Go the
14、distance 7 研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性 研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性 比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小 微题型 2 运用数形结合思想解决不等式中的问题 【例 2 2】 若不等式 9 x2 k(x 2) 2的解集为区间 a， b，且 b a 2，则 k _ 解析 如图，分别作出直线 y k(x 2) 2与半圆 y 9 x2. 由题意，知直线在半圆的上方，由 b a 2，可知 b 3， a 1， 所以直线 y
15、k(x 2) 2过点 (1， 2 2)，则 k 2. 答案 2 探究提高 不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系，故利用 数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集 微题型 3 运用数形结合思想解决解析几何中的问题 【例 2 3】 已知 P 是直线 l： 3x 4y 8 0 上的动点， PA、 PB 是圆 x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线， A、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 _ 解析 从运动的观点看问题，当动点 P沿 直线 3x 4y 8 0向左上方或右下方无穷远处运动
16、时，直角三角形 PAC 的面积 SRt PAC 12PAAC 12PA 越来越大，从而S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时， S 四边形 PACB应有唯一的最小值， Go the distance 8 此时 PC |3 1 4 1 8|32 42 3， 从而 PA PC2 AC2 2 2. 所以 (S 四边形 PACB)min 2 12 |PA| |AC| 2 2. 答案 2 2 探究提高 在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速
17、求得最值 . 1当问 题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 2借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 (证 )不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数 关系式或构造中间函数来求解 3许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程 的实质就是分离参变量 4在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途
18、径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 5有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮 助达到解题的目的 6利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 . 一、填空题 Go the distance 9 1直线 3x y m 0 与圆 x2 y2 2x 2 0 相切，则实数 m _ 解析 圆的方程 (x 1)2 y2 3，圆心 (1， 0)到直线的距离等于半径 | 3 m|3 1 3| 3 m| 2 3m 3或 m 3 3. 答案 3 3或 3 2 (2014江苏卷 )在各项均为正数
19、的等比数列 an中，若 a2 1， a8 a6 2a4，则a6的值是 _ 解析 因为 a8 a2q6， a6 a2q4， a4 a2q2，所以由 a8 a6 2a4 得 a2q6 a2q42a2q2，消去 a2q2，得到关于 q2 的一元二次方程 (q2)2 q2 2 0，解得 q2 2， a6 a2q4 1 22 4. 答案 4 3若不等式 |x 2a| 12x a 1 对 x R恒成立，则 a 的取值范围是 _ 解析 作出 y |x 2a|和 y 12x a 1 的简图，依题意知应有 2a 2 2a，故a 12. 答案 ， 12 4已知 a， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c
20、 满足 (a c)(b c)0，则 |c|的最大值为 _ 解析 如图，设 OA a， OB b， OC c，则 CA a c， CB b c.由题意知 CA CB ， O， A， C， B四点共圆 Go the distance 10 当 OC为圆的直径时 ， |c|最大，此时， |OC | 2. 答案 2 5函 数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，对任意 x R， f(x) 2，则 f(x) 2x 4 的解集为 _ 解析 f(x) 2转化为 f(x) 2 0，构造函数 F(x) f(x) 2x， 得 F(x)在 R上是增函数 又 F( 1) f( 1) 2 ( 1) 4， f(x)
21、 2x 4， 即 F(x) 4 F( 1)，所以 x 1. 答案 ( 1， ) 6已知函数 f(x)满足下面关系： f(x 1) f(x 1)； 当 x 1， 1时， f(x)x2，则方程 f(x) lg x 解的个数为 _ 解析 由题意可知， f(x)是以 2 为周期，值域为 0， 1的函数又 f(x) lg x，则x (0， 10，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数 由图象可知共 9个交点 答案 9 7经过 P(0， 1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1， 2)， B(2， 1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为 _， _ 解析 如图所示，结合
22、图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则 kPA k kPB，而kPB 0， kPA 0， 又 kPA 2（ 1）1 0 1， Go the distance 11 kPB 1 10 2 1， 1 k 1. 又当 0 k 1时， 0 4； 当 1 k 0时， 34 . 故倾 斜角 的取值范围为 0， 4 34， . 答案 1， 1 0， 4 34 ， 8满足条件 AB 2， AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 _ 解析 可设 BC x，则 AC 2x， 根据面积公式得 S ABC x 1 cos2B， 由余弦定理计算得 cos B 4 x24x ， 代入上式得 S ABC x
23、 1 4 x24x2 128（ x2 12） 216 . 由 2x x 2，x 2 2x， 得 2 2 2 x 2 2 2. 故当 x 2 3时， S ABC的最大值为 2 2. 答案 2 2 二、解答题 9已知数列 an是一个等差数列，且 a2 1， a5 5. (1)求 an的通项 an； (2)求 an前 n 项和 Sn的最大值 解 (1)设 an的公差为 d，由已知条件， a1 d 1，a1 4d 5， 解出 a1 3， d 2. 所以 an a1 (n 1)d 2n 5. Go the distance 12 (2)Sn na1 n（ n 1）2 d n2 4n 4 (n 2)2.
24、所以 n 2 时， Sn取到最大值 4. 10椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率为 22 ，直线 l 与 y 轴交于点 P(0， m)，与椭圆 C 交于相异两点 A， B，且 AP 3PB . (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围 解 (1)设椭圆 C的方程为 y2a2x2b2 1(a b 0)，设 c 0， c2 a2 b2，由题意，知2b 2， ca 22 ，所以 a 1， b c 22 .故椭圆 C 的方 程为 y2 x212 1.即 y2 2x2 1. (2)当直线 l 的斜率不存在时，由题意求得 m 12； 当直线 l 的斜率存在时
25、，设直线 l 的方程为 y kx m(k 0)， l 与 椭圆 C 的交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 y kx m，2x2 y2 1， 得 (k2 2)x2 2kmx m2 1 0， (2km)2 4(k2 2)(m2 1)4(k2 2m2 2) 0， (*) x1 x2 2kmk2 2， x1x2 m2 1k2 2 . 因为 AP 3 PB ，所以 x1 3x2.所以 x1 x2 2x2，x1x2 3x22.所以 3(x1 x2)2 4x1x2 0. 所以 3 2kmk2 22 4m2 1k2 2 0. 整理得 4k2m2 2m2 k2 2 0， 即 k2(4m2
26、 1) (2m2 2) 0. 当 m2 14时，上式不成立；当 m2 14时， k2 2 2m24m2 1， Go the distance 13 由 (*)式，得 k2 2m2 2，又 k 0， 所以 k2 2 2m24m2 1 0. 解得 1 m 12或 12 m 1. 综上，所求 m 的取值范围为 1， 12 12， 1 . 11设函数 f(x) ax3 3ax， g(x) bx2 ln x(a， b R)，已知它们在 x 1 处的切线互相平行 (1)求 b 的值； (2)若函 数 F(x) f（ x）， x 0，g（ x）， x 0， 且方程 F(x) a2有且仅有四个解，求实数 a的
27、取值范围 解 函数 g(x) bx2 ln x 的定义域为 (0， )， (1)f(x) 3ax2 3af (1) 0， g(x) 2bx 1xg (1) 2b 1，依题意得 2b 10，所以 b 12. (2)x (0， 1)时， g(x) x 1x 0，即 g(x)在 (0， 1)上单调递减， x (1， )时，g(x) x 1x 0， 即 g(x)在 (1， )上单调递增， 所以当 x 1 时， g(x)取得极小值 g(1) 12； 当 a 0 时，方程 F(x) a2不可能有四个解； 当 a 0， x ( ， 1)时， f(x) 0，即 f(x)在 ( ， 1)上单调递减， x ( 1
28、， 0)时， f(x) 0， Go the distance 14 即 f(x)在 ( 1， 0)上单调递增， 所以当 x 1 时， f(x)取得极小值 f( 1) 2a， 又 f(0) 0，所以 F(x)的图象如图 (1)所示， 从图象可以看出 F(x) a2不可能有四个解 当 a 0， x ( ， 1)时， f(x) 0， 即 f(x)在 ( ， 1)上单调递增， x ( 1， 0)时， f(x) 0，即 f(x)在 ( 1， 0)上单调递减， 所以当 x 1 时， f(x)取得极大值 f( 1) 2a. 又 f(0) 0，所以 F(x)的图象如图 (2)所求， 从图 (2)看出，若方程
29、F(x) a2有四个解，则 12 a2 2a， 所以，实数 a 的取值范围是 22 ， 2 . Go the distance 15 第 2 讲 分类讨论思想、转化与化归思想 高考定位 分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般都在解答题中体现，难度较大 1在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究其研究的基本方向是 “ 分 ” ，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种 “ 合 分 合
30、” 的解决问题的思想，就是分类讨论法分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与 归类整理的方法 2中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等 (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列 an的前 n 项和公式等 (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等 (4)
31、由图形的不确定性 而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等 (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等 3转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归 思想是实现具有Go the distance 16 相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不
32、等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性 4常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维 受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化 是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式 常见的转化方法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 (2)换元法：运用 “ 换元 ” 把式子转化为有
33、理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 (3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式 )与空间形式 (图形 )关系，通过互相变换获得转化途径 (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 达到化归的目的 (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结 论适合原问题 (6)构造法： “ 构造 ” 一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的
34、形式进行解决 (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合 A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及补集 UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则 . 热点一 分类讨论思想的应用 微题型 1 运用分类讨论思想解决数列问题 【例 1 1】 求和： 1 2x 3x2 nxn 1. Go the distance 17 解 记 Sn 1 2x 3x2 nxn 1 当 x 0 时， Sn 1， 当 x 1 时， Sn 1 2 3 n n（ n 1）2 ， 当 x 0， x 1 时， Sn 1 2x 3x2 nxn 1， xSn x 2x2 3x3
35、 (n 1)xn 1 nxn. 得： (1 x)Sn 1 x x2 xn 1 nxn 1 xn1 x nxn. Sn 1 xn（ 1 x） 2nxn1 x. 综上， Sn1， x 0，n（ n 1）2 ， x 1，1 xn（ 1 x） 2nxn1 x， x 0且 x 1.探究提高 利用等比数列的前 n项和公式时 ，需要分公比 q 1和 q 1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前 n项和公式决定的一般地，在 应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目条件确定是否进行分类讨论 微题型 2 运用分类讨论思想解决导数中的参数问题 【例 1 2】 已知函数 f(x) m x 1x 2ln x(m R) (
36、1)若 m 1，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性 解 (1)当 m 1 时，函数 f(x) x 1x 2ln x， 函数的定义域为 (0， )， 且 f(x) x2 2x 1x2 ， 所以 f(1) 0， f(1) 4， 所以曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 4x y 4 0. Go the distance 18 (2)函数的定义域为 (0， )， 且 f(x) mx2 2x mx2 . ( )当 m 0 时， f(x) 0 对 x (0， )恒成立， 所以 f(x)在 (0， )上单调递增 ( )当 m 0 时
37、， 若 m 1， f(x) 0 对 x (0， )恒成立， 所以 f(x)在 (0， )上单调递减 若 1 m 0， 由 f(x) 0，得 x1 1 1 m2m ， x2 1 1 m2m ，且 0 x1 x2. 当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： x (0， x1) x1 (x1， x2) x2 (x2， ) f(x) 0 0 f(x) 减 增 减 所以 f(x)在 0， 1 1 m2m 和 1 1 m2m ， 上单调递减， f(x)在 1 1 m2m ， 1 1 m2m 上单调递增 综上所述：当 m 0 时， f(x)在 (0， )上单调递增 当 m 1 时， f(x)
38、在 (0， )上单调递减，当 1 m 0 时， f(x)在0， 1 1 m2m 和 1 1 m2m ， 上单调递减，在 1 1 m2m ， 1 1 m2m 上单调递增 探究提高 分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型： 1含参数的函数的单调性问题：对于含参数的不等式，应注意分类讨论的原因、标准、顺序如一元二次不等式，应按 “ 开口方向 相应方程有无实根 根的大小 ” 进行讨论 Go the distance 19 2含参数的函数的极值 (最值 )问题 ：常在以下情况下需要分类讨论： 导 数为零时自变量的大小不确定需要讨论； 导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； 端点处的函
39、数值和极值大小不确定需要讨论； 参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论 3含参数的函数的零点个数问题：常需要根据参数与极值的大小关系分类讨论 微题型 3 运用分类讨论思想解决圆锥曲线中的参数问题 【例 1 3】 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)经过点 M( 2， 1)，离心率 为22 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 Q(1， 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，点 P(4， 3)，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1， k2，当 k1k2最大时，求直线 l 的方程 解 (1)由已知可得 c2a2a2 b2a2 12，
40、所以 a2 2b2， 又点 M( 2， 1)在椭圆 C 上，所以 2a2 1b2 1，联立方程组a2 2b2，2a21b2 1，解得a2 4，b2 2. 故椭圆 C 的方程为x24y22 1. (2)( )当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2 34 2 34 2 34； ( )当直线 l 的斜率不为 0 时，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 的方程为 x my1，与椭圆 x24y22 1 联立，整理得： (m2 2)y2 2my 3 0.则 y1 y2 2mm2 2，y1y2 3m2 2， 又 x1 my1 1， x2 my2 1，所以 k1k2 3 y14 x1
41、3 y24 x2 （ 3 y1）（ 3 y2）（ 3 my1）（ 3 my2）9 3（ y1 y2） y1y29 3m（ y1 y2） m2y1y2 Go the distance 20 9 3 2mm2 2 3m2 29 3m 2mm2 2 m2 3m2 2 3m2 2m 54m2 6 344m 18m2 12， 令 t 4m 1， 则 k1k2 34 2tt2 2t 25， 当 t 0，即 m 14时， k1k2 34； 当 t 0 时， k1k2 34 2tt2 2t 25 34 2t 25t 2， 当 t 0 时， k1k2显然不能取最大值，当 t 0 时 当且仅当 t 5，即 m 1
42、 时， k1k2取得最大值 1. 所以直线 l 的方程为 x y 1 0. 探究提高 与圆 锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常见类型： 1 判断曲线的类型：判断曲线的类型，常依据二元方程对其参数进行分类讨论，分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小关系 2参数方程、不等式的求解：如求离心率、渐近线方程时对圆锥曲线焦点位置的讨论，或者对方程系数的讨论，或者求解过程中分母是否为 0的讨论 3直线与圆锥 曲线位置关系的判定：对于含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解，如对直线斜率存在与否的讨论、消元后二次项系数是否为 0的讨论，判别式与 0的大小关系的讨论等 热点二 转化与化归思想的应用 微
43、题型 1 特殊与一般的转化 【例 2 1】 已知 f(x) 33x 3，则 f( 2 015) f( 2 014) f(0) f(1) f(2 016) _ Go the distance 21 解析 f(x) f(1 x) 33x 3 331 x 3 33x 3 3x3 3x3x 33x 3 1， f(0) f(1) 1， f( 2 015) f(2 016) 1， f( 2 015) f( 2 014) f(0) f(1) f(2 016) 2 016. 答案 2 016 探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果 微题型 2 常量与变量的转化 【例 2 2】 对任意的 |m| 2，函数 f(x) mx2 2x 1 m 恒为负，则 x 的取值范围为 _ 解析 对任意的 |m| 2，有 mx2 2x 1 m 0 恒成立，即 |m| 2 时， (x2 1)m2x 1 0 恒成立设 g(m) (x2 1)m 2x 1，则原问题转化为 g(m) 0 恒成立(m 2， 2) 所以 g（ 2） 0，g（ 2） 0， 即 2x2 2x 3 0，2x2 2x 1 0. 解得 7 12 x 3 12 ， 即实数 x的取值范围为 7 12 ， 3 12 . 答案 7 12 ， 3 12
