电磁场数学基础.doc

1、第一章 电磁场数学基础1.1 矢量的基本概念1.1.1 标量与矢量只有大小的物理量称为标量，如温度、压力、密度、质量、时间和电阻等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如力、速度、电场强度和磁场强度等。为了便于区别矢量和标量，本书中用白斜体字母表示标量，而用白斜体字母上加单向箭头表示矢量。例如 表示一个矢量，它的大小称A为该矢量的模。模是一个标量，表示为 或 。A1.1.2 单位矢量矢量模等于 1 的矢量叫做单位矢量，在本书中表示为 。与 矢量同方向的单位矢量表示为e。显然有，Ae(1.1.1)Ae这样，我们也可以将矢量 表示为(1.1.2)A1.1.3 矢量的表示在三维空间里，矢量 可以表示

2、为一根有方向的线段。线段的长度表示 的模，线段的方向代表 的方向。在三维直角坐标系中， 可表示为一根由坐标原点出发的有向线段，如图 1.1.1 所示。沿着三个坐标轴正方向上的单位矢量分别为 ， ， ， 在三个单位矢量方向xeyzA上的投影分别为 ， ， ，矢量 可表示为Azzyyxee(1.1.3) 矢量 的模为(1.1.4)22zyxAA矢量 与 x 轴、 y 轴、z 轴的夹角分别为 、 、 ，单位矢量 为A Ae(1.1.5)coscos zyxzyyx eAee 其中xyzAxAyAz图 1.1.1 直角坐标系中的矢量 ， ， (1.1.6)22coszyxA22coszyxA22cos

3、zyxA由于 cos、 cos、 cos，是单位矢量 在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量 的方向，Ae 所以它们被称为矢量 的方向余弦。单位矢量 的模等于 1，可以由下面的式子证明。Ae1coscos 22222222zyxzyxzyx AA1.1.4 位置矢量与距离矢量在三维直角坐标系中，由坐标原点出发向空间任一点 P(x,y,z)引出的有向线段称为点 P 的 位置矢量或矢径，表示为 ，如图 1.1.2 所示。矢径 的三个坐标分量分别rr为 x，y，z ，可表示为 zeyxr(1.1.7) 矢径 的模等于线段 OP 的长度，即(1.1.8)22zyxr矢径 的单位矢量 为re(1.1.9)

4、coscos zyxzyxr eere本书用 表示电磁场中场点 P(x,y,z)的位置矢量，用 表示电磁场中源点 的位 zyxP,置矢量，矢径 则表示由点 引向点 的距离矢量，表示为R(1.1.10)zeyerx 距离矢量 的模 R 表示点 和点 之间的距离，即(1.1.11)222距离矢量的单位矢量为(1.1.12)RzeyeRxeR p (x, y, z )xyzp(x, y, z)0图 1.1.2 直角坐标系中的位置矢量 1.2 矢量的代数运算1.2.1 矢量相等若矢量 与矢量 的大小相等且方向相同，或者说它们有相等的坐AB标分量，则称矢量 与矢量 相等，记为BA(1.2.1)由矢量相等

5、的定义可知，一个矢量 经平移后所得到的新矢量 与原矢量相等，如图A1.2.1 所示，即 。1.2.2 矢量加法设矢量 ，若将矢量 平移使它的始点与矢量zyxBeeB的终点重合，则从矢量 的始点出发引向矢量 的终点的矢量 称为AA C矢量 与矢量 相加得出的和矢量，如图 1.2.2 所示，记为zyxzzyyxx eeAeeeC (1.2.2)矢量加法满足交换律和结合律，即交换律 (1.2.3)BA结合律 (1.2.4)C1.2.3 矢量减法与矢量 大小相等方向相反的矢量称为矢量 的负矢量，记B 为 。矢量 与矢量 相加得出的矢量 称为矢量 减去矢AA量 的差矢量，如图 1.2.3 所示，记为zy

6、x zzyCeeBAeB(1.2.5)1.2.4 矢量的数乘若矢量 的诸分量分别等于矢量 的各分量与任意常数 a 的乘积，即A， ， (1.2.6)xaCyzzAC则矢量 称为矢量 与常数 a 的数乘，记为或 (1.2.7)Aa显然，若 a 为大于零的实数，则 相当于将原矢量 伸长（a1）或缩短（a1）或缩短AaAa（ 1） 倍，而方向变为相反方向。a1.2.5 矢量的标量积两个矢量之间存在两种不同类型的乘积，即标量积和矢量积（也称作点乘和叉乘） 。矢量 与矢量 的标量积记为 ，其大小等于 的模和 的模与两个矢量之间夹角 的余ABBAAB弦的乘积，即(1.2.8)0( cos显然，标量积可以看

7、作是一个矢量在另一个矢量方向上的投影。由标量积的定义，不难证明标量积满足交换律和分配律，即交换律 (1.2.9)AB分配律 (1.2.10)C可以看出，若矢量 与矢量 垂直，即它们之间的夹角 ，则这两个矢量的点积等于零； 90若矢量 与矢量 平行，即它们之间的夹角 ，则这两个矢量的点积等于这两个矢量的模的AB0乘积，即有， (1.2.11)0A9(1.2.12)0 ,B直角坐标系中的三个坐标单位矢量 ， ， 互相垂直，满足以下关系xeyz(1.2.13)zyxe(1.2.14)1ze显然，可以用坐标分量的形式给出矢量 与矢量 的标量积，很容易用 (1.2.13)式和(1.2.14)式AB证明有

8、以下公式成立(1.2.15)zyxBA这个公式表明，任何两个矢量的标量积等于这两个矢量的相应坐标分量乘积之和。1.2.6 矢量的矢量积矢量 与矢量 的矢量积记为 。它是一个矢量，垂直于A包含矢量 与矢量 的平面，其大小等于 的模和 的模与两个矢BAB量之间夹角 的正弦的乘积，其方向是当右手的四指从转到时大拇指所指的方向（单位矢量为 ） ，即ne图 1.2.3 矢量积(1.2.16)sinBAe显然， 的模在数值上等于矢量 与矢量 组成的平行四边形的面积，如图 1.2.3 所示。BA 矢量积不满足交换律，从矢量积的定义可知，矢量 与矢量 叉积顺序上的交换将导致矢量AB积的结果矢量反向，即有(1.

9、2.17)矢量积满足分配律，即(1.2.18)CBA另外，矢量积也不满足结合律，即 作为特殊情况可以看到，若矢量 与矢量 平行，即它们之间的夹角 ，则这两个矢量AB0之间的矢量积等于零；若矢量 与矢量 垂直，即它们之间的夹角 ，则这两个矢量之间的 9矢量积的模等于这两个矢量模的乘积。即有， (1.2.19)0B(1.2.20)90 ,A由以上性质可以推论，直角坐标系中的三个坐标单位矢量 ， ， 满足以下关系xeyz(1.2.21)zyxee(1.2.22)zxy(1.2.23)yzee(1.2.24)zxz利用(1.2.21)(1.2.24) 式，可以将矢量的矢量积用坐标分量的形式表示出来，即

10、(1.2.25)xyxzxzyzyx yxz zyyyy xxyxxxx zyzy BAeBAeBAeeee BABA 上面这个矢量叉积公式可借助于行列式简洁地表示出来，即(1.2.26)zyxzyxB根据标量积和矢量积的定义，可以推导出以下两个重要的矢量恒等式：(1.2.27)BACBA(1.2.28)1.3 矢量函数与场1.3.1 矢量函数的定义我们知道，当一个标量随着某个或某几个变量的变化而变化时，就称其为标量函数。例如，随着时间变化而变化的温度，随着输入电压变化而变化的放大器输出电压，它们都是标量函数。大小和方向都不变的矢量叫做常矢量。但在实际中我们常常会碰到大小和方向或其中之一随着时

11、间和空间位置（或其它变量）的变化而变化的变矢量，我们就称其为矢量函数。例如，质点沿曲线运动时，其速度的大小和方向随时间推移而变化，因此它是一个矢量函数，如图 1.3.1 所示。又如我们手机接收的电磁波场强随着时间的不同以及地点的不同而变化，它显然也是矢量函数。从数学上，我们可以作如下定义：设有变量 t 和矢量 ，如果对于 t 在某个范围内的每一个值， 都有一个确定的矢量与之对应，f f则称矢量 为变量 t 的矢量函数，记作 。f )(tf矢量 在直角坐标系中的三个分量 、 、 显然都是 t 的标量函数，可以写成xyz(1.3.1)()()()(fetftfetf z本书所讨论的矢量均指自由矢量

12、，就是当二个矢量的模和方向都相同时，认为此两个矢量是相等的。为了直观地表示矢量函数 的变化状态，我们把 的起点平移)(tf)(tf至坐标原点。这样，当变量 t 变化时，矢量函数 的终端就会描出一条tf曲线 l，如图 1.3.2 所示。这条曲线称为矢量函数 的矢端曲线，而式)(1.3.1)称为矢端曲线的矢量方程。1.3.2 标量场与矢量场在物理学中， “场”这个名词通常用来表示某种物理现象的一部分空间或整个空间，其定义可叙述为：若对于空间域上的每一点都对应着某个物理量的一个标量或一个矢量，则称此空间域确定了这个物理量的场。若所讨论的物理量是标量，则称这个场为标量场；若所讨论的物理量是矢量，则称这

13、个场为矢量场。例如，当所讨论的物理量是温度时，它随时间和空间位置不同的变化可以用一个标量函数 来描绘，这个标量函数就在空间域上定义了温度场，这是标量场；当所),(tzyxf讨论的物理量是空中传播的电磁波电场强度时，则它随时间和空间位置不同的变化可以用一个矢量函数 来描绘，这个矢量函数就在空间域上定义了电场强度场，这是矢量场。),(tf图 1. 3.1 变矢量xyzM图 1. 3.2 矢端曲线1.3.3 时变场与静态场若一个场中的每一点所对应的量不仅与该点的位置有关，而且还与时间有关，则这种场称为动态（时变）场。时变的标量场和矢量场可以分别用 与 表示。如果场中的每),(tzyxf ),(tzy

14、xf一点所对应的量与时间无关，则这种场称为静态场。静态的标量场和矢量场可以分别用与 表示。),(zyxf),(zyxf1.4 矢量函数的导数假设给定某一静态的矢量场：),(zyxf式中 x, y, z 为场点 P 的直角坐标，令 在坐标轴上的投影分别为 , , ，它们也是场点的f xfyz函数，即， ，),(zyxfx),(zyxfy),(zyfz有矢量代数可知， 也可以表示为三个矢量分量之和，即(1.4.1),(),(),(),( zyxfezyxfezyxfezyxf z实际上，给出矢量场函数等效于给出三个标量场函数。下面讨论矢量（场）函数的偏导数和全微分。以对 x 的偏导数为例来进行讨论

15、。对其它变量的偏导数可以用同样的方法处理。将 y, z 固定不变，而赋予 x 一增量 ，则得到),(),(),(),( zyxfezyxfezyfef zy 因 x 的增量而引起的矢量函数 的增量为f(1.4.2)zyxfeffezyxzf ),(),(式中),(),(,zyxfzyxfffzyxx将式(1.4.2)两边除以 ，并取 的极限，若极限存在，就称为 对 x 的偏导数，记为 。0fxf(1.4.3)xfefxfefeff zy zxzyxyxx limlilimli 0000同理可得：(1.4.4)yfefyfef zyx(1.4.5)zffzffyx仿照标量函数的全微分，矢量函数

16、的全微分定义为f(1.4.6)zyxfdefdezdyxfd 可以证明矢量函数求导数满足如下规则：几个矢量函数之和的导数等于各个矢量函数的导数之和。(1.4.7)xfxf2121)(如果矢量函数乘以一个标量函数，则有(1.4.8)fxafxfa)( gxffxgf)( xffxf )(1.5 矢量函数的积分和标量函数的积分相类似，矢量函数的积分可分为线积分、面积分和体积分三种，下面分别讨论三种积分的定义。1.5.1 矢量函数的线积分设空间有一曲线，它可以是闭合的，也可以是非闭合的，如图 1.5.1 所示。曲线的两个端点用 C 和 D 表示。在曲线闭合的情况下，A 和 B 重合。规定在曲线上移动

17、的正方向为从 C 到 D。沿闭合曲线有两种移动方向，需根据具体情况规定移动的正方向。与标量函数线积分类似，可以将曲线 CD 分成 n 个小线段，其分点用 i 表示，i=1,2, ,n。考PiPi+1dli图 1.5.2 空间曲线C,DCD图 1.5.1 空间曲线虑相邻两个分点 i 和 i+1，连接 i 点和 i+1 点的线段，这是一个有向线段，可用矢量 代表，也1,iP可以表示为 ，其大小用 表示，如图 1.5.2 所示。矢量的线积分可以定义以下四种：ildidl（1） (1.5.1)niidll lPffi10)(m（2） (1.5.2)niidll lffi10)(（3） niiidll

18、lPffi10d)(1.5.3)（4） (1.5.4)niiidll lffi10)(m式中 为 中的任意一点。iP1i1.5.2 矢量函数的面积分矢量函数面积分的定义与线积分很相似，差别主要在于线元变成了面元，矢量线元变成了矢量面元，而求和的过程是完全一样的。设空间中有一曲面，它可以是封闭的，也可以是非封闭的，如图 1.5.3 所示。将曲面分成 n 个小块，其中第 i 个小块的面积用 dSi 表示，i=1,2,n。在第 i 个小块上任取一点 ，并在此点作小块的单位法向iP矢量 ，如图 1.5.4 所示。 点的单位法向矢量可以有两个方向。例如，ii对封闭曲面而言， 既可以指向曲面外部的空间，也

19、可以指向曲面内i部的空间；对于非封闭曲面来说，相对于观察者所处位置，可以朝“上”或朝“下” 。因此对每种具体情况要明确地标明单位法向矢量的指向。设在第个小块上已选定了单位法向矢量的指向，即明确了 。 就称为矢量面积元，也inidS可以表示为 ， 就表示了矢量面积元的大小。可以定义以下四种矢量面积分：iSdi（1） (1.5.1)niidSS SPfPfi10)(lm)(（2） (1.5.2)niidSSffi10)(l)(S S图 1.5.3 空间的曲面PidSi图 1.5.4 面积元单位法向矢量图 1.5.3 空间的曲面（3） niiidSS SPfPfi10d)(lm)(1.5.3)（4）

20、 (1.5.4)niiidSSffi10)(l)( 1.5.3 矢量函数的体积分与面积分的情况相类似，设在空间有一区域 V，它可以是有限、无限或是全空间的。我们把 V 分成 n 个小体积元，其体积用 表示，idi=1,2,n。在第 i 个小体积中任选一点 ，如图 1.5.5 所示，则可以iP定义以下矢量体积分：(1.5.5)niidVVfPfi10)(lm)(1.6 标量场的方向导数1.6.1 方向导数与梯度在电磁场理论的研究中，一个很重要的问题是研究电磁场在空间中沿不同方向的变化情况。例如，在静电场中位函数变化最大的方向就是电场的方向。下面我们来讨论这个问题。假设在直角坐标系中给定了一个标量

21、场 ，),()zyxfr如图 1.6.1 所示，在场中某点 （其矢径为 ）处的场函数为0Po，而 点附近的另一点 （其矢径为 ）处的场函数0fPlrd值为 。当从点 沿位移 到点 时，场函数值从fd0l变化为 ，显然增量为全微分如下，0f0(1.6.1)zfyfxfdd位移矢量 应表示为：ld(1.6.2)zeyxeldd标量场的增量(1.6.1)式可以写成位移矢量 与另一个矢量 的标量积：lGPidVi图 1.5.4 面积元单位法向矢量图 1.5.3 空间的曲面ld)(rf P0PO图 1.6.1 标量场的变化(1.6.3)lGfd其中矢量 为G(1.6.4 a)zfeyfxfe矢量 就叫做

22、标量场 f 的梯度（gradient） ，用 gradf 表示。式(1.6.4)为梯度在直角坐标系中的表示式，也可以写为 (1.6.4b)zfeyfxfefgrad如果位移矢量 的单位矢量用表示，则有：l(1.6.5)lefleGlf dgrad可得 (1.6.6)lflfgra表示了在标量场中某点处，场函数的值沿某方向 对距离的变化率，称为标量场 f 沿该lf le方向的方向导数。方向导数是一个标量，其值除了与场点的位置有关外，还与方向有关。方向导数绝对值的大小表示在该点沿给定方向上标量场函数 f 的变化快慢程度；当 时，说明场函0lf数值是沿给定方向随着位移的增加而增加的，当 时，则场函数

23、值沿给定方向随着位移的0l增加而减少，当 时，场函数值则无变化。0lf显然，由式(1.6.5)可以看出，标量场 f 在某点沿给定方向的方向导数等于该点处的梯度矢量在给定方向上的投影。如果用矢量的方向余弦来表示单位矢量，即(1.6.7)coscoszyxl ee则方向导数可以写为：(1.6.8)ssszfyfxfl 梯度在数学和物理领域里有广泛的应用，搞清楚其意义是很重要的。从式(1.6.6)可以看出，当与的夹角为零时，方向导数取得最大值，即梯度的绝对值。(1.6.9)feflflgrad0cosgradmx对标量场 求梯度后，变为一个矢量函数，在场中某点，梯度矢量的模就是标量场在该点)(rf的

24、最大方向导数值，梯度方向就是最大方向导数的方向。这就是梯度的意义。在空间的每一点上，标量场 都有一个特定的值，而且往往会出现在空间的许),()zyxfr多点上标量场 的值都是相同的，这些点就构成了标量场 的等值面。不言而喻，在等值面)(rf )(rf上，函数值都是相等的。为了加深理解，我们用登山作为例子说明梯度的物理意义。当我们从一个山脚下上山，有四面八方无数个上山的方向，其中有一方向是坡度最陡峭的，也就是说走过同样的单位距离而上升的海拔高度是最大的，那么这个方向就是攀登高度的梯度方向，沿着这个方向攀登所得到的高度变化率就是这个梯度的值。我们在有些地图上可以看到如图 1.6.2 所示的等高线，

25、它表示在同一曲线上所有位置上，地势的高度是相等的。这些等高线说明了地势的陡峭程度：等高线愈密的区域，地势愈陡峭；而等高线愈疏，地势愈平。这些等高线是等值面的二维特例。从等高线 A 的 P 点，我们可以从不同的方向向上攀登。沿 PQ 方向（即垂直于等高线的方向） ，斜率最大；而沿其他方向，例如 ，则斜率较小。从 P 点出发攀登同一高度，PQ 方向的距离最Q短。下面我们讨论一下梯度的性质。（1）由于标量场是在梯度方向上取得最大的方向导数值，也就是取得最大的对距离的变化率，因此在场中的任一点梯度矢量的方向总是指向该点场量值增大最快的方向。（2）如果在标量场 的某一等值面上（相当于山的等高线，而在电磁

26、场里相当于电位的等)(rf位面）上由任意某一点向任意方向的另一点取一个小位移 ，有 ，此时 与过该点的ld0lfld等值面相切。因为有0gradleflf式中 为沿切线 方向的单位矢量，在梯度不为零的点上，它和另一个不为零的矢量点积为零只leld可能是两个矢量互相垂直，即 。切向单位矢量 的方向是任意的，因此某点的梯度矢lfrale量与过该点的等值面上的任一切线都垂直。所以标量场的梯度矢量总是与过该点的等值面向垂直，换句话说，也就是在等值面的法线方向上。由以上两点我们可以得到这样的结论：标量场中某点的梯度矢量在过该点的等值面的法线方向上，且指向该点场量值增大的一方。图 1.6.2 中表示了梯度

27、的这个性质。在图中，我们用 f 表示山的高度，在 P 点有(1.6.10)cosgradgradflfnf显然，标量场中某点处沿任一方向的方向导数等于该点的梯度矢量在此方向上投影。例 1-1 求标量场 在点 P(1, 2 ,1)处沿 方向的方向导数。yzxf2),( 2zyxelA BPQ Qgradfn图 1.6.2 等高线解：点 P(1, 2 ,1)处 的单位矢量为2zyxel31122 zyxzyxlee由式(1.6.7) 可知，在点 P 处有coscoszyxl e3 , ,3cos根据式(1.6.8)，标量场 在 P 点处的方向导数为f31021342312 coscos cosd2

28、 PPP Pyxzxxyz zffl 1.6.2 哈密顿算子爱尔兰数学家哈密尔顿（Hamilton William Rowan）引进了一个具有矢量和求导数双重性质的矢量型微分运算符号，在直角坐标系中表示为(1.6.11)zeyxe称作哈密顿算子或算符（Hamilton Operator） ，读作 del 或 nabla。它既是一个微分算符，也可以看成是一个矢量，它作用于其后的矢量场函数或标量场函数进行微分运算。例如， 对标量场 u作用，表示为 ，即为u(1.6.12)zueyxue因此，利用哈密顿算子，梯度矢量可以表示为(1.6.13)fgrad哈密顿算子在电磁场理论中有广泛的应用，在本书后面

29、的章节中，将大量的使用它。有关对标量场函数 u 和 v 的梯度运算公式如下：，c 为常数 (1.6.14)0，c 为常数 (1.6.15)u(1.6.16)v(1.6.17)v(1.6.18)2vu(1.6.19)f)(以上各式均可以根据梯度的定义，直接给出证明，读者可以自行完成。例 1-2 ，求 。22zyxrr解： rzyx zyzyxee zyxexeer 2222 222 22 例 1-3 ，求 。22zrr1解：利用式(1.6.19)，可得 3211rr1.7 矢量场的散度我们已经知道梯度和方向导数有着密切的联系，而矢量场的散度与矢量场的通量也是联系在一起的。从物理角度讲，通量和散度

30、都反映了矢量场的扩散特性，例如热量的散逸；它们的区别是通量描述整体特性，而散度给出局部特性。为了引出矢量的通量，需要首先了解面积微元矢量的概念。1.7.1 面积微元矢量一个面积微元除了有大小以外，在空间里还有一定的取向，因此可以用一个矢量来表示面元，就称作面积微元矢量。面元微元矢量的取向有两种情形：对一个开曲面上的面积微元 ，如图 1.7.1 所示，选定绕行方向后，沿绕行方向按右手螺旋规则的大拇指Sd指的方向就是面积微元矢量的取向，即图中面积微元的单位法向矢量 的方向；对封闭曲面上的n面元，面元矢量取为封闭面的外法线方向。图 1.7.1 给出的面积微元矢量在数学上可表示为：(1.7.1)Snd

31、在直角坐标系中，dS 可以写为d Sn图 1.7.1 面积微元(1.7.2)zyxSeSedd、 、 分别是 在三个坐标平面上的投影。xSdyz1.7.2 矢量场的通量为了便于理解矢量场通量的概念，我们以流体运动的流量为例来进行说明。显然，流体的流速是一个有大小和方向的矢量，我们不考虑它与时间的关系，即假定它不依赖于时间，但它与空间位置有关，也就是说空间每一点的流速是不一样的，因此我们可以把它称为流速场，表示成 。),()zyxvr假设流体的密度为 1，现在我们来计算在单位时间内流体流过某一片曲面 S 的流量。在曲面上任取一点 M，包围这一点的一个面积微元为 dS，在点 M 处作曲面的单位法向

32、矢量 ，它的方向可n以被指定为曲面的这一侧或相反的另一侧，现在我们按图 1.7.2 所示的方向取定。点 M 处的流速为 。在单位时间内，以)(v为流速的流体沿单位法向矢量 的方向通过面积微元 dS 的流量（即通量）dQ 可以写为)(v n(1.7.3)vSvQ)(d)(在图 1.7.2 中，我们用柱体来表示流量。以流速 流动的流体沿方向 的流量是流体沿)(Mn方向流量在 方向上的投影。若 方向与 方向的夹角为 ，则有)(Mvn)(vn(1.7.4)SSnQdcosd)(d显然，单位时间内穿过整个曲面 S 的流量 Q 就是 沿曲面 S 的积分)(v(1.7.5)SMMv dcos)()( 在实际

33、中，也常常出现其他矢量场这种形式的积分，因此我们给出如下矢量场通量的定义：为一个矢量场，S 为一个有向光滑曲面，矢量 沿曲面 S 指定一侧的曲面积分A ),(zyxA(1.7.5)SzyxAd),(被称作矢量 穿过曲面 S 指定一侧的通量。物理上不同的场，其通量有不同的意义。对于前面讨论的流体的流速 ，通量)(Mv表示单位时间内穿过曲面 S 的流量；而对于本课程中的电位移矢量 ，通量SMvd)( Dd SnMSv图 1.7.2 流体的流量称为穿过曲面 S 的电通量；对于磁感应强度矢量 ，通量 称作磁通量。SDd BSd现在讨论 S 为封闭曲面的情况，图 1.7.3 给出了封闭曲面上矢量的通量情

34、况。这时通量的表达式改写为(1.7.6)SS zyxAzyxAcos),(d),( 前面已规定面积微元矢量的方向为外法线方向，因此当式(1.7.6)的积分值大于零时，即通量为正值，说明 ，矢量 线从闭合曲面 S 中穿出，闭合曲面90S 内必有发出矢量线的源；而当式(1.7.6)的积分值小于零时，即通量为负值，说明 ，矢量 线从闭合曲面 S 外穿入，封A闭曲面 S 内必有吸收矢量线的汇（或者称作负源） ；显然，式(1.7.6)表示从封闭曲面 S 内穿出的矢量 的正通量与从封闭曲面S 外穿入的矢量 的负通量的代数和。若式(1.7.6)的积分值等于A零，就可以说封闭曲面内既无源也无汇，也可以理解为有

35、多少矢量 线穿入封闭曲面 S，就有多少A矢量线从封闭曲面 S 穿出，如图 1.7.3 中下方的一根矢量线。1.7.3 矢量场的散度上面讨论的矢量场通过封闭曲面的通量是一个积分量，它只反映了整个闭合曲面内源（或汇）的情况，并不能说明在封闭曲面内某点处源（或汇）的情况，即没有给出曲面内源（或汇）的分布特性，为此现在引入矢量场的散度。封闭曲面的通量反映了封闭曲面内源（或汇）的总特性，若将包围某点 p 的封闭曲面的体积趋于零，则可以得到 p 点处源（或汇）的分布特性，因此定义矢量场在某点的散度（divergence）为(1.7.7)VSA0dlimdv式中， 是包含 p 点的封闭曲面所包围的体积。从上

36、式可以看出，矢量场的散度是一个标量函数。V上式表明矢量 在某点处的散度等于单位体积上的净通量。从物理的角度讲，散度就是通量的体密A度。散度的绝对值表示该点处源（或汇）的体密度的大小，若 ，则该点是发出通量的源；0divA若 ，则该点是吸收通量的汇；若 ，则该点既不是源也不是汇，如图 1.7.4 所示。0div 0divA散度不为零的矢量场称作有源场，而散度处处为零的矢量场则称为无源场或管形场。例如磁感ASdSd图 1.7.3 封闭曲面的通量PPP 0divA0divA0divA( a ) ( b ) ( c )图 1.7.4 散度的三种情形应强度矢量的散度处处为零，所以磁场是无源场或管形场。在

37、解决物理问题中，经常需要进行散度的计算，用散度定义式进行计算是不方便的，因此我们下面从散度的定义式(1.7.7)出发推导直角坐标系下的散度计算公式。现在我们来考虑点 P(x0, y0, z0)处矢量场 的散度。由定义式 (1.7.7)可知，散度与所取的体积A元 的形状无关，只要在取极限时，所有的尺寸都趋于零即可。因此我们以点 P(x0, y0, z0)为中V心作一个直角六面体微元，其表面分别与三个坐标平面平行，如图 1.7.5 所示。图 1.7.5 中直角六面体的边长分别为 、 、 ，直角六面体微元前（正 x 轴方向） 、后、xyz左、右、上、下的六个面分别用 、 、 、 、 、 表示，则式(

38、1.7.7)中的积分可以写为1S234S56(1.7.8) 654321 dddd SSSSSSS AAAA由图 1.7.5 可以看出：、 、 、 、 、zyex1zyex2yxez3yxez4zxey5Sy5首先讨论矢量场 在直角六面体前后两个面（即 和 ）上通过的通量。A1S2，考虑到直角六面体是微元，可将 在 和 表面上的分量 均看成是zyxeeA A12SxA常量，且分别等于这两个面上中心处的 ，所以有xA(1.7.9a)zyxSxS 001,2d12zy2xxzyx2zPO图 1.7.5 计算矢量场在 P 点处的散度(1.7.9b)zyxASAxS 002,2d2又因为 很小，可以将

39、 和 用泰勒级数展开，有x00,zyx00,x(1.7.10) 22),(000 1,2 )0,(0 xxAzyA zyzyxxx略去高阶项，只保留前两项，然后代入到(1.7.9a) 和(1.7.9b)两式中，两式相加可得(1.7.11)zxASzyS ),(021d通理可得 在左右两个面（ 和 ）上的通量和以及在上下两个面（ 和 ）上的通量和A1 1S2分别为(1.7.12)zyxyASzxS ),(043d(1.7.13)AzyxzSS ),(065至此，我们就可以得到矢量场通过直角六面体的通量为(1.7.13)VzAyxzyxS ),(0d式中， 为六面体的体积，将上式带入散度的定义式

40、(1.7.7)，有zyxV(1.7.14),(S0 0dlimdv zyxzyxV AA因为点 P(x0, y0, z0)可以任意选取，因此散度在直角坐标系下可以写为(1.7.15)zyxi显然，矢量场的散度是一个标量。书写中，常常用哈密顿算符来表示散度，即 。Adiv(1.7.16)zyAxeAezyexAzyx 有关散度的运算的公式主要有：，c 为常矢量 (1.7.17)0，c 为常数 (1.7.18)A(1.7.19)BA)(1.7.20)ff1.7.4 散度定理散度定理也称作高斯定理，是场论中常用的定理，在电磁场理论也有重要的应用。我们可以通过散度的定义式推导出散度定理。我们把一个封闭

41、曲面 S 所包围的体积 分成个 N 小体积微元，V这些体积微元分别为 ， , ，这些体积微元的表面积分别为 ， , 。由1V2N 1S2S散度的定义式可知10)(limd11 VASAV222SNVSAANN)(lid0将以上各式的左右两端分别相加，有(1.7.21)i iViSii101 )(lm(1.7.21)式左端求和时，由于相邻的两个体积元均有一公共表面，通过此公共表面上的通量对其中一个体积元来说是穿出，而对另一个体积元则是穿入，那么此公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好是大小相等而符号相反。因此 N 个体积元表面的通量相加时，所有体积元的公共表面上的通量互相抵消，只有贴近闭合曲面

42、S 的那些体积元的表面是 S 的面元，这部分表面的通量没有抵消，其和即为通过闭合曲面 S 的通量，即(1.7.22)SNi Ai d1当体积元 时， ，根据体积分的定义，(1.7.21)式右端之和为0iV(1.7.23) VNi iVNi AAii d)(lm)(lm1010 由(1.7.21) 、(1.7.22) 和(1.7.23)三式可得散度定理：(1.7.24)VSAd1.8 矢量场的旋度矢量场的通量和散度反映了矢量场与扩散源之间的关系，而矢量场的环量和旋度则反映了矢量场与漩涡源的关系。正如研究散度需要先了解通量一样，我们需要首先讨论矢量场的环量。1.8.1 环量高等数学中的曲线积分表示

43、为(1.8.1)l zRyQxPd式中 表示积分的路径， 、 、 是 上的连续函数。若将 、 、 视为某一变力 在直角l PQRA坐标系中的三个分量，则(1.8.1)式就代表变力 沿路径 所作的功。若以 的三个分量代替 、AlP、 ，显然上面的积分可写成QR(1.8.2)ll zyxAdd式中 。zeyxeldd当为 闭合曲线时，线积分(1.8.2)l zyxl Add称作矢量场 沿曲线 的环量。Al对于沿闭合曲线积分的环量，需要给定绕行方向。一般的选择方法是：首先确定闭合曲线所包围曲面的法线方向，绕行方向与法线方向之间满足右手螺旋关系，如图 1.8.1 所示。与矢量场的通量一样，矢量场的环量

44、也是描述矢量特性的重要参量。若矢量场的环量不为零，则表示矢量场中存在着一种不同于通量源的源漩涡源。如，在环绕电流的封闭曲线上磁场强度的环量不为零，电流就是产生该磁场强度的漩涡源。环量在不同的物理背景下有着不同的物理意义。若 是力矢量，环量 表示质点运动一周时AlAd力 作的功；根据安培环路定律，在电流 产生的磁场中，对磁感应强度 ，有 ；在A I BIl流速为 的流速场中， ，则表示流体作无涡旋流动运动；反之， ，则表明流v0dlv 0v体在作涡旋流动，流体中有产生涡旋的漩涡源。1.8.2 旋度与通量描述了整体上矢量场的扩散特性相类似，环量是对矢量场旋转特性的整体描述，它不能说明矢量场在每一点处的旋转特性。为了给出矢量场在一点处的旋转特性，我们引入矢量场的环量面密度（circulation area density）和旋度（rotation）的概念。我们先来简单回顾一下散度的引出过程。通量是对矢量场的闭合曲面的积分，闭合曲面包围的是一个体积，令体积趋于零，然后取通量与体积之比的极限，就得到了通量体密度，也就是散度。而环量是对矢量场的闭合回路的积分，闭合回路所包围的是一个面积，仿照通量体密度的处理方法，我们可以得到矢量场 的环量面密度定义式如下：A 绕 行 方 向法 线 方 向图 1.8.1 环路