1、高微习题解答 第一章 完全信息静态博弈 - 1. （考试范围） 在表 1.1 所示的战略式博弈中，找出重复剔除劣战略的 占优均衡 。 表 1.1 S1 S2 L M R U 4,3 5,1 6,2 M 2,1 8,4 3,6 D 3,0 9,6 2,8 - 对 S1 来讲：如果 S2 选择 L，则 UDM；如果 S2 选择 M，则 DMU；如果 S2 选择 R，则 UMD。 对 S2 来讲：如果 S1 选择 U，则 LRM；如果 S1 选择 M，则 RML；如果 S1 选择 D，则 RMR。 对 S2 来讲 RM 永远成立，所以 S2 一定不会选择 M，所以 S1 的分析变为：如果 S2 选择
2、 L，则 UDM；如果 S2 选择 R，则 UMD。由于 U 始终最优，所以 S1 会选择 U，所以 S2 会选择 L。占优均衡为 (U,L)，即 (4,3)。 - 2. （考试范围） 求解表 1.2 所示战略博弈式的所有 纯战略纳什均衡 。 表 1.2 S1 S2 和 S3 X3 Y3 X2 Y2 X2 Y2 X1 0,5.2,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0 Y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 - 如果 S3 选择 X，则 S1 和 S2 的博弈变为如下。 S1 S2 X Y X 0,5.2 6,5 Y 5,4 0,0 如果 S1 选 X，那么 S2 会选 X；但是
3、如果 S2 选 X， S1 会选 Y。所以不存在 S1 选 X 的纯战略纳 什均衡。 如果 S1 选 Y，那么 S2 会选 X；如果 S2 选 X， S1 也会选 Y。所以存在均衡（ Y,X）。另外如果 S1 选 Y， S2 选X， S3 也会选择 X，所以一个纯战略纳什均衡（ Y,X,X），即（ 5,4,6）。 如果 S3 选择 Y，则 S1 和 S2 的博弈变为如下。 S1 S2 X Y X 4,6 0,0 Y 0,0 0,0 如果 S1 选 X，那么 S2 会选 X；如果 S2 选 X，那么 S1 也会选 X。所以存在均衡（ X,X）。另外如果 S1 和 S2都选 X，那么 S3 会选
4、Y，所以存在一个纯战略纳什均衡（ X,X,Y），即（ 4,6,5）。 如果 S1 选 Y，那么 S2 会选 Y；如果 S2 选 Y，那么 S1 也会选 Y。所以存在均衡（ Y,Y）。另外如果 S1 和 S2都选 Y，那么 S3 选 X 和 Y 没有差别。所以存在一个纯战略纳什均衡（ Y,Y,Y），即（ 0,0,0）。 - 3. （考试范围） （投 票博弈）假定有三个参与人（ 1、 2 和 3）要在三个项目（ A、 B 和 C）中选一个。三人同时投票，得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目 B 被选中。参与人支付函数如下： U1(A)=U2(B)=U3(C)=2 U1(B)=U2
5、(C)=U3(A)=1 U1(C)=U2(A)=U3(B)=0 求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。 - 画出战略式博弈矩阵。 A3 B3 C3 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A1 2,1,0 2,1,0 2,1,0 2,1,0 1,2,0 1,2,0 2,1,0 1,2,0 0,1,2 B1 2,1,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 1,2,0 0,1,2 C1 2,1,0 1,2,0 0,1,2 1,2,0 1,2,0 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 如果 3 选择 A，那么 1 和 2 的博弈如下。 如果 1
6、 选择 A，那么 2 选择 B 和 C 没有差别；如果 2 选择 B 或 C， 1 会选择 A。所以存在均衡（ A,B）（ A,C）。另外如果 1、 2 选择（ A,B），那么 3 选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在纯战略纳什均衡（ A,B,A）；如果 1、 2 选择（ A,C），那么 3 会选择 C，所以不纯在纯战略纳什均衡。 如果 1 选择 B，那么 2 选择 B 和 C 没有差别；如果 2 选择 B 或 C， 1 会选择 A。所以不纯在均衡。 如果 1 选择 C，那么 2 会选择 B；如果 2 选择 B， 1 会选择 A。所以不纯在均衡。 如果 3 选择 B，那么 1 和 2 的博
7、弈如下。 如果 1 选择 A，那么 2 选择 B 和 C 没有差别；如果 2 选择 B， A 选择 A、 B、 C 没有差别；如果 2 选择 C， A选择 A、 B 没有差别。所以存在均衡（ A,B）（ A,C）。另外如果 1、 2 选择（ A,B），那么 3 选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在纯战略纳什均衡（ A,B,B）；如果 1、 2 选择（ A,C），那么 3 会选择 C，所以不纯在纯战略纳什均衡。 如果 1 选择 B，那么 2 选择 A、 B、 C 没有差别；如果 2 选择 A， 1 会选择 A，所以不纯在均衡。如果 2 选择 B，1 选择 A、 B、 C 没有差别； 如果 2
8、 选择 C， 1 选择 A、 B 没有差别。所以存在均衡（ B,B）（ B,C）。另外如果 1、 2选择（ B,B）， 3 选择 A、 B、 C 没有差别。所以存在纯战略纳什均衡（ B,B,B）。如果 1、 2 选（ B,C）， 3 会选择 C，所以不纯在均衡。 如果 1 选择 C，那么 2 选择 A、 B 没有差别；如果 2 选择 A， 1 会选择 A，所以不纯在均衡；如果 2 选择 B， 1选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在均衡（ C,B）。另外如果 1、 2 选择（ C,B）， 3 会选择 C，所以不纯在均衡。 如果 3 选择 C，那么 1 和 2 的博弈如下。 如果 1 选择 A
9、，那么 2 会选择 B；如果 2 选择 B， 1 选 择 A、 B 没有差别。所以存在均衡（ A,B）。另外如果 1、2 选择（ A,B）， C 选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在纯战略纳什均衡（ A,B,C）。 如果 1 选择 B，那么 2 选择 A、 B 没有差别；如果 2 选择 A， 1 会选择 A，所以不纯在均衡；如果 2 选择 B， 1选择 A、 B 没有差别所以存在均衡（ B,B）。另外如果 1、 2 选择（ B,B）， C 选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在纯战略纳什均衡（ B,B,C）。 如果 1 选择 C，那么 2 选择 B、 C 没有差别；如果 2 选择 B，
10、1 会选择 A 或 B，所以不纯在均衡；如果 2 选择C， 1 选择 A、 B、 C 没有差别，所以存在均衡 （ C,C）。另外如果 1、 2 选择（ C,C）， 3 选择 A、 B、 C 没有差别，所以纯战略纳什均衡（ C,C,C）。 综上，一共存在 个纯战略纳什均衡，分别为（ A,B,A）（ A,B,B）（ B,B,B）（ A,B,C）（ B,B,C）（ C,C,C）。 - 4. （考试范围） 求解战略式博弈的所有纳什均衡。 （ 纳什均衡包括： 纯战略纳什均衡 、 混合战略纳什均衡） 表 1.3 S1 S2 L M R T 8,2 2,8 3,6 B 3,7 7,2 4,5 - 首先求纯战
11、略纳什均衡。 如果 S1 选 T， S2 会选 M，如果 S2 选 M， S1 会选 B，所以不纯在均衡。 如果 S1 选 B， S2 会选 L，如果 S2 选 L， S1 会选 T，所以不纯在均衡。 然后求混合战略纳什均衡。 设 S1 选 T 的概率为 a， 选 B 的概率为 1-a。 求 S2的 L、 M混合战略。 2a+7(1-a)=8a+2(1-a)，解得 a=5/11。此时 S2选择 L、 M的效用为 2a+7(1-a)=8a+2(1-a)=52/11小于选择 R 的效用 6a+5(1-a)=60/11，所以不纯在均衡。 求 S2 的 L、 R 混合战略。 2a+7(1-a)= 6a
12、+5(1-a)，解得 a=1/3。此时 S2 选择 L、 R 的效用为 2a+7(1-a)= 6a+5(1-a)=16/3大于选择 M 的效用 8a+2(1-a)=12/3，所以存在混合战略纳什均衡。另外设 S2 选 L 的概率为 b，选 R 的概率 为 1-b。 8b+3(1-b)=3b+4(1-b),解得 b=1/6。 求 S2 的 M、 R 混合战略。如果 S2 选择 M 或 R， S1 会选 B，所以不纯在均衡。 求 S2 的 L、 M、 R 混合战略。 2a+7(1-a)=8a+2(1-a)=6a+5(1-a)。无解。 综上，存在混合战略纳什均衡： S1 以 1/3 的概率选 T，
13、2/3 的概率选 B， S2 以 1/6 的概率选 L， 5/6 的概率选 R。 - 5. （考试范围） 模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个打败另一个人，赢者的效用为 1，输者的效用为 -1；否则效用为 0。给出以上博弈的战略式描述并求出所有的纳什均衡。 - 首先写出博弈的战略式描述。 S1 S2 杆子 老虎 鸡 虫子 杆子 0,0 1,-1 0,0 -1,1 老虎 -1,1 0,0 1,-1 0,0 鸡 0,0 -1,1 0,0 1,-1 虫子 1,-1 0,0
14、 -1,1 0,0 显然，这一博弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人 1 选择杆子，老虎，鸡和虫子四种战略的混合战略，其概率分别为 a， b， c 和 d，且 a b c d 1。如果这四种战略同时混合，必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程： b-d=c-a=d-b=a-c。解得： a c， b d，所以 a+b c+d 1/2。 （这只是一种均衡，该题应该存在无穷个均衡。） - 6. （考试范围） 考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生
15、获得工作；如果一家企业 有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 12 。现在假定每家企业的工资满足： 12122W WW，则问： a.写出以上博弈的战略式描述。 b.求出以上博弈的所有纳什均衡。 - a.博弈的战略描述如下。 S1 S2 企业 1 企业 2 企业 1 11,22WW 12,WW 企业 2 21,WW 22,WW b.首先求纯战略纳什均衡。 若甲选择企业 1，乙将选择企业 2；若乙选择企业 2，甲必然选择企业 1，因此，（企业 1，企业 2）是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业 2，乙将选择企业 1；若乙选择企业 1，甲必然选择企业 2，因此，（企业 2，企业 1）也是一个纯战
16、略纳什均衡。 然后求混合战略纳什均衡。假定甲选择企业 1 的概率为 ，选择企业 2 的概率为 1 ；乙选择企业 1 的概率为 ，选择企业 2 的概率为 1 ，则甲选择企业 1 的期望收益为 11 12W W，选择企业 2 的期望收益为 22 12WW ，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为： 12212WWWW ， 212121 WWWW 。同理可得甲选择两家企业的概率： 12212WWWW ， 212121 WWWW 。因此，最后的混合均衡是两学生均以1 2 2 12 1 2 122,W W W WW W W W的概率决定向企业 1 与企业 2 提出申请。 - 7. 考虑存在事前交流的性
17、别战博弈。在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。当以上信息交流完成以后，两者同时决定去足球场还是去芭蕾馆。博弈支付如下：如 果两者在足球场见面，则丈夫获得 5，妻子获得 2；如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得 2，妻子获得 5；在其他条件下两者的支付都是 0。 a.给出以上博弈的战略式描述。 b.求出所有的纯战略纳什均衡，并讨论哪个均衡更加合理。 （ 据说该答案并不完整 ） - 假定丈夫向妻子传递了信息，由于他不一定必须遵守这个决定，因此，其战略可以有四种： 1C ff fg f g g ， ， g ，。在此第一个大写字母表示丈夫给
18、出的信息是去足球场，而实际上也是去了足球场，其他同 理。而妻子的战略空间是： 2C ff fg gf gg ， ， ，其中第一个字母表示丈夫建议去足球场下妻子做出的决策，而第二个字母表示丈夫建议去芭蕾舞馆的情况下妻子做出的决策。因此战略式表述是： 丈夫 妻子 ff fg gf gg Ff 5， 2 5， 2 0， 0 0， 0 Fg 0， 0 0， 0 2， 5 2， 5 Gf 5， 2 0， 0 5， 2 0， 0 Gg 0， 0 2， 5 0， 0 2， 5 这个博弈的纯战略均衡有很多，分别为： ,Ff ff ,Ff fg ,Gf ff ,Gf gf ,Fggg ,Gggg 。 - 8.
19、（考试范围） 一个产品市场存在 3 ( 2)nn 家寡头企业，所有企业生产的产品完全同质，企业 ( 1,2,., )i i n 的生产成本函数为 cq ，企业 ( 1, 2 , ., 2 )j j n n n 的生产成为函数为 dq ，企业 ( 2 1, 2 2 , ., 3 )k k n n n 的生产成本函数为 eq ，其中 q 为产量。市场的逆需求函数是 P a Q ，其中 P 是市场价格， iQq 是总需求，市场参数 a 满足条件 a nc nd ne 。所有企业进行古诺博弈，同时选择产量，求均衡时的市场价格。 - 企业 ( 1,2,., )i i n 的利润函数为： 2i i i i
20、 ia Q c q q a c Q q q 企业 ( 1, 2 , ., 2 )j j n n n 的利润函数为： 2j j j j ja Q d q q a d Q q q 企业 ( 2 1, 2 2 , ., 3 )k k n n n 的的利润函数为： 2k k k k ka Q e q q a e Q q q 所以， 20i iiid a c Q q qdq ，即 ia c Q q ，所以 in a c Q nq 20j jjjd a d Q q qdq ，即 ja d Q q ，所以 jn a d Q nq 20k kkkd a e Q q qdq ，即 ka e Q q ，所以 kn
21、 a e Q nq 所以 33n a c d e Q Q ，即 313na nc nd neQ n 所以 3 1 3 1 3a n c d en a n c n d n eP a Q a nn - 9. （考试范围） 一个产品市场存在 4 家寡头企业， 4 家企业生产的产品完全同质，企业 1 和企业 2 的生产成本函数为 1dq，企业 3 和企业 4 的生产成本函数为 2dq，其中 q 为产量。市场的逆需求函数是 P a Q ，其中 P 是市场价格， iQq 是总需求， a 是大于 1d 和 2d 的常数。所有企业进行伯川德博弈，同时选择价格，求均衡时的市场价格。 - 假定消费者从价格低的厂商
22、购买产品，如果几家 企业价格相同 且最低 ，就平分市场，如果企业 i 的价格高于最低价 ，则企业 i 的需求量为 0，反之，其它企业的需求 量为 0。因此，企业 i 的需求函数由下式给出： m inm inm in0iii i iiQ p p pq Q p n p ppp 从上述需求函数的可以看出，企业 i 绝不会将其价格定得高于其它企业；由于对称性，其它企业也不会将价格定的高于企业 i，因此，博弈的均衡结果 如下： 1 2 1p p d， 3 4 2p p d。 1 1 22 1 2p d if d dp d if d d。 - 10. （考试范围） 假定 3nn 个寡头企业之间进行价格竞争
23、，每个企业生产的产品是完全替代的，并且每家企业的生产成本为 0。企业 i 的市场需求函数是i i jjiq a p b p ，其中 ip 是企业 i 的价格，且 0 1 2nb 。企业 i 的战略是选择自身价格 ip 最大化自己的利润，即给定其他企业的价格 jp ，选择自身价格最大化自己利润。求出以上博弈的纳什均衡。 - 企业 i 的利润函数为：i i i jjip a p b p ，利润最大化条件： 20ijijii a b p pp 2iina b p b p 2iinnn a n b p b p 2in nap b nb 222i a abp b b nb - 11. 如果重复剔除严格劣
24、战略只剩下唯一的战略组合，证明该组合必然是唯一的纳什均衡。 - 即证明：在 n 个博弈方的博弈 11, ., ; , .,nnG S S u u 中，如果使用重复剔除严格劣战略方法排除了 *1,.,nss以外的所有策略组合，则 *1,.,nss一定是 G 的唯一纳什均衡。 反证法证明。首先，假设严格劣战略已经剔除了除 *1,.,nss以外的所有策略组合，但 *1,.,nss却不是一个纳什均衡。这表明至少存在博弈方 i 和他的某个战略空间 iS 中的策略 is ，使得 * * * * * * * * *1 1 1 1 1 1, . . . , , , , . . . , , . . . , ,
25、, , . . . ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s (1) 但是由于 *1,.,nss是经过严格劣战略反复剔除后唯一留下的策略组合，因此 is 必然属于严格劣战略已被剔除，即在严格劣战略剔除过程中的某个阶段，必然存在某个当时还未被剔除的 is ，使得 1 1 1 1 1 1, . . . , , , , . . . , , . . . , , , , . . . ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s (2) 对由在此尚未被剔除的其他博弈方的策略构成的所有可能的策略组合 * * * * *1
26、 1 1, ., , , , .,i i i ns s s s s，显然以下不等式成立。 * * * * * * * *1 1 1 1 1 1, . . . , , , , . . . , , . . . , , , , . . . ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s (3) 讨论以下两种情况： 如果 is 就是 *is ，即 *is 是相对于 is 的严格非劣战略，则不等式 (1)和不等式 (3)相矛盾，及 *1,.,nss不是纳什均衡的假设不能成立。 如果 is 和 *is 不同，则 is 在劣战略的剔除过程中也必须被排除，可进一步推论肯
27、定在某阶段存在 is 是相对于is 的非劣战略，用 is 和 is 分别替代 is 和 is ，不等式 (2)和不等式 (3)仍然必须成立，如果 is 就是 *is ，则与 相同，也证明了命题，否则再进一步推论到类似的 is 的存在。由于最终只能有 *is 在严格劣战略剔 以后不被消除，且博弈方的策略是有限的，因此，不断重复上述过程，总会找到某个 nis 就是 *is ，从而证实在假设下必然导致不等式 (2)和不等式 (3)的矛盾，进而证明题目。 - 14. （考试范围） 求出以下战略式博弈的所有纳什均衡 表 1.4 1S 2S 2x 2y 2z 1x 3,2 3,0 0,3 1y 3,1 2
28、,2 2,0 1z 3,2 0,3 3,0 - 解： 令 1x ， 1y ， 111 xy分别表示 1S 选择 1x ， 1y ， 1z 的概率。 那么 2S 选择 2x ， 2y ， 2z 的期望效用分别为： 2x ： 1 1 1 12 2 1x y x y 2y ： 1 1 12 3 1y x y 2z ： 13x 2x ， 2y 无差异时： 1 13x 2y ， 2z 无差异时： 11213yx 2x ， 2z 无差异时： 113 122yx 画出分布图如下： 22yz22xyxz2y2x 2z11 1xy检验： 如果 2S 选 2y ， 1 1x ，与图中1 13x矛盾； 如果 2S
29、选 2x ， 1S 随机选择 1x ， 1y ， 1z ，所以当1 13x， 113 122yx ， 111xy时，存在纳什均衡； 如果 2S 选 2z ， 1 1z ，那么 111xy，与图示矛盾； 如果 2S 选 2x ， 2y 混合， 1 1x ， 与图中1 13x矛盾； 如果 2S 选 2x ， 2z 混合， 1 1z ， 与图 示 矛盾 。 综上，存在一处纳什均衡： 2S 选 2x ， 1S 随机选择 1x ， 1y ， 1z ，概率满足1 13x， 113 122yx ， 111xy。 第二章 完全信息动态博弈 - 1. （考试范围） 用战略式表示下图的扩展式博弈。 1w1x1y1
30、z2a2a2b2b 9, 5 0, 3 9, 0 0, 3 5, 6 2, 61.11.20 2.32313- 1S 2S 2a 2b 11,wy 9,103 0,3 11,xy 193,4 103,5 11,wz 20 3,16 3 23,4 11,xz 4,6 4,6 - 2. （考试范围） 在市场进入模型中，市场逆需求函数为 18pQ，进入者和在位者生产的边际成为都为 6，固定成本为 0，潜在进入者成本为 4。博弈时序为：在位者首先决定产量水平，潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定是否进入。如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上博弈精炼纳什均衡。 - 在位
31、者首先选择产量 1q ，潜在进入者随之选择产量 2q 。潜在进入者利润为： 2 1 2 21 8 6 4q q q ， 一阶条件： 2122 18 6 2 0qqq ， 解得： 12 122qq 。 讨论 两种情况： 在位者不设置壁垒。在位者利润为 21 1 2 1 1 1118 6 6 2q q q q q ，一阶条件： 111 60qq ，解得 1 6q ， 2 3q 。此时 1 18 ， 2 5 。 在位者设置壁垒。 在位者通过选择产量 1q 使 2 0 ，即 2211 12 4 04 q ，解得 18 16q 。此时在位者利润函数为： 21 1 1 1 11 8 6 1 2q q q
32、q ， 111 60qq 。所以 1 8q 时在位者利润最大。此时1 32 ， 2 0 。 因为设置壁垒是利润更大，所以均衡时： 1 8q ， 2 0q ， 1 32 ， 2 0 。 - 3. （考试范围） 在囚徒困境中， “针锋相对 ”战略定 义为： 每个参与人开始选择 “抵赖 ”； 在 t 阶段选择对方在 1t阶段的行动。假定贴现因子 1 ，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。 - 假定两囚徒博弈的战略式表述如下： 1S 2S 坦白 抵赖 坦白 6, 6 0, 8 抵赖 8,0 1, 1 给定针锋相对战略，如果参与人 j 坚持针锋相对战略，参与人 i 没有积极性首先坦白，因为如果他选择抵赖，他的支付是： 1 1 1 . ，而如果选择坦白然后转向针锋相对战略，则他的支付是 0 8 0 8 . ，前者严格大于后者。因此，在合作路径上针锋相对的战略是子博弈精炼纳什均衡。 但是，如果参与人 j 首先选择坦白，参与人 i 并没有积极性惩罚他，因为如果惩罚，将得到的支付是 0 8
