1、- 1 -xyo xyo xyo xyo数学试卷（理）第卷（选择题 共 60 分）一、 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1若 ,则 等于（ ）()sincofxx()fA B C Dssinco2sin2设平面 与平面 相交于直线 ,直线 在平面 内,直线 在平面 内,且 ,则“mabbm”是“ ”的（ ）abA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分不必要条件3若点 A(x2+4，4y，12z)关于 y 轴的对称点是 B(4x，9，7z)，则 x，y，z 的值依次为（ ）A1，4，9 B2
2、，5，8 C2，5，8 D2，5，84 ,若 ,则 的值等于（ ）3()fxa(1)4faA B C D633105已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，则这32个三棱柱的体积是( )A B C24 D48963163336已知 , 为两个不相等的非零实数，则方程 与 所表示mn 0nmxmnx2的曲线可能是（ ）A B C D7已知点 M 是抛物线 上的一点， F 为抛物线的焦点， A 在圆 C：( x4) 2( y1)y4221 上，则| MA| MF|的最小值为( )A.3 B.4 C.5 D.68正三棱锥 PABC 中，AP B=BPC=CPA=90，P
3、A =PB=PC=a，AB 的中点 M，一小蜜蜂沿锥体侧面由 M 爬到 C 点，最短路程是（ ）- 2 -侧2侧侧侧侧侧侧侧侧侧34A BCDa210a23)2(1aa)51(9已知点 M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程是（ ）A. B.)1(82xyx )1(82xyxC. D. 020210已知抛物线 有相同的焦点 F，点 A 是两22()1xyypxab与 双 曲 线 )0,(曲线的交点，且 AF 轴，则双曲线的离心率为（ ）A B C D2151232111已知抛物线 C的
4、方程为2xy，过点 A1,0和点 3,tB的直线与抛物线 C没有公共点, 则实数 t的取值范围是（ ）A ,1, B,2,C 2 D , 12已知圆锥曲线 的离心率 为方程 的两根，则满足条件myx4e052x的圆锥曲线的条数为（ ）A1 B2 C3 D4第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡上的相应位置）13如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .14曲线 在点 处的切线的斜率是_，切xyln(,1)Me 线的方程为_.15已知 、 是双曲线 的两个焦1F22
5、xyab)0,(b点， 以线段 为边作正 ，若边 的中点在双21F1M曲线上，则双曲线的离心率 = .e16以下四个命题中：- 3 -命题“ ”的否定是“ ”；0,2xR2,0xR与两定点(1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于 1 的点的轨迹为双曲线；“ 是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件；1aayay 曲线 与曲线 有相同的焦点；925x22(09)5xkk设 A，B 为两个定点，若动点 P 满足 ，且 ，则 的最大值为 8；PBA16AP其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）三、 解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （本
6、题满分 10 分）命题 p：关于 的不等式 的解集为 ；x0)1(22ax命题 q：函数 为增函数 分别求出符合下列条件的实数 的取值范围ay)2(（1）p、q 至少有一个是真命题；（2）p 或 q 是真命题且 p 且 q 是假命题18 （本题满分 12 分）已知点 及圆 ： .)5,0(PC02412yxy（1）若直线 过 且被圆 截得的线段长为 4 ，求 的方程；l 3l（2）求过 点的圆 的弦的中点的轨迹方程.PC19 （本题满分 12 分）如图,在长方体 中1ABD, 为 中点.11ADE(1)求证: ；B(2)在棱 上是否存在一点 ,使得 平面1P/D若存在,求 的长;若不存在,说明
7、理由；AE(3)若二面角 的大小为 ,求 的长.1B30AB20 （本题满分 12 分）设点 为平面直角坐标系 中的一个动点（其中 为)(,yxPxOyO坐标原点） ，点 到定点的距离比点 到 轴的距离大 .2MP21(1) 求点 的轨迹方程；P（2）若直线 与点 的轨迹相交于 、 两点，且 ，求 的值；1:kxylPAB6|Ak（3）设点 的轨迹是曲线 ，点 是曲线 上的一点，求以 为切点的曲线 的切C),(0yQCQC- 4 -线方程.21.（本题满分 12 分）直线 : 与双曲线 : 的右支交于不同的两点l1kxyC122yx、 .AB（1）求实数 的取值范围；k（2）是否存在实数 ,使
8、得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 的右焦点 ？若存在，求F出 的值；若不存在，说明理由.22 （本题满分12分）椭圆C： 的两个焦点分别为 , )0(,12bayax )0(,21c是椭圆上一点，且满足 .M21MF（1）求离心率 的取值范围；e（2）当离心率 取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为 .52(i)求此时椭圆C的方程；(ii)设斜率为 的直线 l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B(k两点能否关于过点P（0， ） 、Q的直线对称？若能，求出 的取值范围；若不能，3k请说明理由.白鹭洲中学 2014 年高二年级 12 月月考数学答案（理
9、）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112答案 A A B D D C B A AB D C13、 24 14、 15、 16、 1,0xey3117、- 5 -故 pq 是真命题且 pq 是假命题时，a 的取值范围为 2113aa-或18、解 如图所示，AB=4 ，D 是 AB 的中点，CDAB，AD=2 ，3圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为（x+2） 2+（y-6） 2=16，圆心 C（-2，6） ，半径 r=4，故 AC=4，在 RtACD 中，可得 CD=2.设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0.由点 C 到直线 AB 的
10、距离公式： =2，得 k= .2)1(56k43此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.又直线 l 的斜率不存在时，此时方程为 x=0.则 y2-12y+24=0,y 1=6+2 ,y2=6-2 ,y 2-y1=4 ,故 x=0 满足题意.333所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0.（2）设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D（x,y）,则 CDPD，即 =0，D（x+2,y-6）(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.19、解:(1)以点 A 为原点建立空间直角坐标系,设 ,ABa11(0,)(0)(,)(,0)(,)2aE1, (,
11、10)2DBE,故 ()2aAE1BAD(2)假设在棱上存在一点 ,使得 平面 ,则0Pt/P- 6 -(0,1)DPt设平面 的法向量为 ,则有 ,取 ,可得1BAE()nxyz1002axznAByE1x,要使 平面 ,只要 (,)2an/DP1DP,又 平面 , 存在点 使 平面 ,此时 . 10tBA/1BAE12P(3)连接 ,由长方体 ,得 1ABC111, ,由(1)知 ,故 平面 . /D11ED1C是平面 的法向量,而 ,则 1 (0)A11 2cos,|4anAD二面角是 ,所以,即 30AB20、解：（1）过 P 作 轴的垂线且垂足为 N，由题意可知 , 而 ，x 21|
12、PNM0y，.化简得 为所求的方程。yN| 21)(22y)0(2yx（2）设 ，联立 得 ,),(),(21xBAk22k,2121kx 628414)(| 22kx而 ， 04324k2k（3）因为 是曲线 C 上一点，),1(yQ21,020yx切点为 ，由 求导得 当 时22xyk则直线方程为 即 是所求切线方程 .)(y121、解 （1）将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后，整理得(k 2-2)x2+2kx+2=0 - 7 -依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 020)2(8)2(0kkk解得 k 的取值范围为-2k- .
13、2(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则由式得 21kx假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（c,0） ，则由 FAFB得（x 1-c）(x 2-c)+y1y2=0.即(x 1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得： (k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0 把式及 c= 代入式化简得65k2+2 k-6=0.解得 k=- 或 k= (-2,- )（舍去）.56562可知 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.22、解：(1)、由几何性质知的取值范围为： e1
14、 2(2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为 。设H( x , y )是椭圆上12byx的一点，则| NH | 2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - byb若0b3 ，则当y = - b时，| NH | 2有最大值b 2+6b+9 ，所以由b 2+6b+9=50解得b = -35(均舍去) 若b3，则当y = -3时，| NH | 2有最大值2b 2+18 ，所以由2b 2+18=50解得b 2=16所求椭圆方程为 1632yx(ii) 设 A( x 1 , y1 ) ，B( x 2 , y2 )，Q( x 0 , y0 )，则由两式相减得x 0+2ky0=0； 又直线PQ直线 l，直线PQ的方程为 ，将点Q( x 0 , y0 )坐标代入得31k- 8 - 3100xky由解得Q( , )，而点Q必在椭圆的内部 ， k2 1632)(k由此得k 2 ，又k0 - k 0或0 k 4729494故当( - , 0 ) ( 0 , )时，A、B 两点关于过点 P、Q、的直线对称。9
