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类型数学大师启示录_高斯.pdf

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:6264553
  • 上传时间:2019-04-03
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    数学大师启示录_高斯.pdf
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    1、 大自然,您是我的女神,我一生的效劳都服从于您的规律。 莎士 比亚 新的数学发展高潮 在 18 世纪和 19 世纪之交处,耸立着卡尔弗雷德里希高斯 雄伟的丰碑。 以欧拉、拉格朗日为代表的 18 世纪数学家,把微积分用于自然 探索和工程技艺,产生了微分方程、变分法等众多的数学分支。在 获得丰硕成果的同时,牛顿的机械唯物论自然观强化了对科学家思 想的统治,以致在 18 世纪末期,不少数学家对数学本身产生了悲观 情绪。似乎数学为自然现象建立起微分方程,给出它的求解方法, 就万事大吉了;而有的课颗又太复杂,看不出有任何解决的希望。 当然,悲观的迷雾最终为数学发展的光辉事实所驱散。只要面 对生活和生产的

    2、实际,数学就会得到新的动力而不断前进。工业革 命的深入为此提供了广阔的天地。与此相呼应的法国大革命,结束 了封建专制在欧洲的长期统治。这个人类思想解放的伟大运动,也 给数学注入了活力。新概念、新思想不断涌现。从苦难深重的德国 大地上升起的一颗灿烂的明星卡尔弗雷德里希高斯,宣告 了新的数学发展高潮的到来。高斯在数学各个领域的伟大贡献,特 别是在数论和几何学上的创新,深刻影响着后世数学的发展。随后 又有柯西、黎曼等群星的推进,使 19 世纪的数学空前繁荣。 小木屋里飞出了金凤凰 下了一夜的暴雨,河里的水涨得满满的。春洪夹带着泥石从山 上奔泻直下,发出隆隆的响声。空气里弥漫着泥土的芳香,显得格 外清

    3、新。农民施密特嘴里含着烟斗刚从市场回来。突然在转弯处洪 水溢出河面滚滚而来。一个 3 岁左右正在旁边嬉玩的孩子被这景象 惊得不知所措,两手握着拳头呆呆站在那里。一个浪头过来把他卷 了进去。灾难眼看就要发生。施密特赶紧飞奔上前,纵身一跃把孩 子从水里一把抱起。他没有想到,救起的这个孩童后来成为历史上 最伟大的数学家之一。他就是和阿基米德、牛顿齐名的卡尔弗雷德 里希高斯。由于他非凡的数学才华和伟大成就,人们尊崇他为“数 学王子” 。 可是这位年幼王子的血统和王室丝毫无缘。1777 年 4 月 30 日, 高斯诞生于德国不伦瑞克城。祖父是贫苦的农民。父亲约翰狄特 里希是个园艺工人,还当过运河看守人和

    4、泥瓦匠。他识字不多,但 是为人诚实耿直,做事一丝不苟,在家相当严厉。母亲陶乐珊本 茨是石匠的女儿,聪明直率,性格坚强。陶乐珊 34 岁的时候和约翰 结婚,独生子高斯是她的心肝宝贝。她了解爱子的兴趣和才能,积 极支持他求学上进。约翰于 1806 年去世。此后高斯母子俩在长期坎 坷的生活道路上相依为命,感情至深。高斯成名以后尽心竭力使母 亲度过安乐的晚年。在她生命的最后 4 年,93 岁高龄的陶乐珊双目 已经完全失明。在母亲的长期病患中,高斯一直亲自在旁侍候。 人们一定会奇怪,像高斯这样的劳动者家庭,在德国比比皆是。 双亲的文化知识和他们的财富一样贫乏。他们既供养不起孩子上大 学深造,也无力对他的

    5、学业作指导。可是偏偏在不伦瑞克的这所简 陋木屋里,飞出了一只震惊世界的金凤凰!这是为什么呢? 早熟的童年 在整个数学史上,没有人像高斯那样早熟。说来简直令人难以 置信,他在 3 岁的时候就已经显示出不凡的智慧。有一个星期六, 约翰在费力地计算他管辖下工人的周薪,没有察觉儿子正好在旁看 着。结果好容易计算出来,他深深地松了一口气。不料小高斯过来 拉拉他的衣角,细声说: “算错啦,爸爸。总数是” 约翰惊讶不已,决定重算一遍,果然,儿子是对的!后来高斯 曾半开玩笑地说: “我在学会说话以前,已经学会计算。” 家里的确没有人教过他算术。很可能是小高斯自己在学字母的 时候,学会了 1、2、3、4 的意思

    6、。 天刚蒙蒙发亮,爸爸已经在园子里默默地干活。小高斯十分懂 事。他跟着妈妈,一会儿帮着给小鸡喂食,一会儿忙着把一盆盆鲜 花端出去晒太阳。家里的惟一常客是舅舅弗雷德里希本茨。他是 位技术高超的锦缎织工,勤学好思,头脑机敏。舅舅十分疼爱聪明 的小外甥。他一来总要给小高斯讲故事,做游戏,有时还带他出去 捉蝴蝶,钓鱼,采蘑菇,和舅舅相处的这些愉快的时光,一直 珍藏在高斯的记忆里。 4 月的一天,风和日丽。小高斯骑在舅舅的肩上学“骑马”。他 手里拿着一根小树枝,嘴里高声叫着: “戛!戛!”俨然是位威武的 将军。突然,嗒嗒奔跑着的“马”停了下来。原来,在河的上游漂 来一根木头。 “小高斯,你说木头为什么不

    7、沉下去?” “木头轻呗!”小高斯不假思索地回答。 舅舅弯下腰,拾起一颗小石子,又问:“这颗石子重还是那段 木头重?” “木头重。大木头重多啦!” 弗雷德里希并不吱声。只见他用力一扔,扑通一声,石子沉到 了河底。 “ “ 舅舅没有给小外甥解释,为什么比大木头轻的小石子会沉下去, 但是,这件事给小高斯留下难忘的印象。他认识到,要达到正确的 结论,必须有严密的推理。他逐渐养成习惯,遇事一定要问它几个 “为什么” 。 舅舅是个有心人。为了让小外甥更好地成长,他省吃俭用,买 来不少有趣的书籍。这一本本趣味盎然的小书使小高斯爱不释手。 那里面有以损人开始、以害己告终的狡猾的狐狸和助人为乐的小白 兔,也有孜

    8、孜以求的先贤哲人和为自由而壮烈献身的英雄。逢到这 种时光,妈妈做起事来就蹑手蹑脚,生怕惊动孩子的思考。看着儿 子那种着迷的神情,约翰只好无可奈何地摇摇头。这也难怪,因为 哪家的穷孩子能够逃脱流汗干活的命?书读得再好,有什么用呢? 到了冬天,天还没有全黑,爸爸就催他上顶楼睡觉。这样既能够节 省燃料,第二天还可以早些起床,帮着干活。顶楼又矮又小,直起 身子来,就会碰脑袋。最糟糕的是上面没有灯,看书成了问题。小 高斯急中生智,想出个好办法。他找来一棵芜菁,把里面挖空,塞 进油脂,再用粗棉搓一根棉条做灯芯。借着微弱如豆的光亮,他蜷 缩着身子,贪婪地咀嚼着书里的每一个字。知识的泉水汩汩地滋润 着高斯幼小

    9、的心田。等到油脂烧尽,发出缕缕青烟,已经是寒气袭 人,夜深人静了。 初露头角 一过 7 岁生日,小高斯挎着妈妈做的新书包,高高兴兴进入当 地的国民小学。可惜,这所小学相当落后,并不叫人羡慕。校舍破 旧不堪,讲课完全随教师的高兴。管理学校的是个名叫布特纳的老 师,他性情粗暴,动辄揪着小学生的耳朵罚站墙角。100 多名小学 生见到他,就像老鼠见了猫,吓得几乎连自己的名字都记不清了。可 是,就在这个使孩子胆战心惊的地方,高斯找到了幸运。 1787 年,小高斯刚满 10 岁。一天,神情严厉的布特纳夹着讲义 来上算术课。一上讲台,他背过身子在黑板上写下一串长长的算式: 81297+81495+81693

    10、+100899=? 后一数都比前一数大 198,一共 100 个数相加。一看这长长的式子, 学生们都害怕得低下了头,连大气也不敢出。学校的规矩是,第一 个算出答数的孩子把他的石板放在讲台上,第二个就放在第一个上 面,老师刚写完题目,小高斯轻轻地走上前来,把石板放在讲 台上说: “老师,放在这里啦。” 看到其余的孩子都在满头大汗地一个个数相加,老师根本不相 信,这个班上年纪最小的学生会创造出什么奇迹。 “谁不动脑子,想胡乱写一个数交差了事,可得当心!”布特纳 一边说,一边样子吓人地挥舞着他那硕大的拳头。 可是,小高斯沉静地坐在椅子上,对老师的警告毫不理会。下 课以后,布特纳把石板都看了一遍,在小

    11、高斯的石板上只有简单的 一个数。高斯在晚年的时候曾经提到,在班上的所有答案中只有他 是对的;不过他没有说明是怎样计算出来的。 高斯通向不朽光荣的大门从此打开。布特纳买来最好的算术书 送给小高斯。不费多少力气,小高斯把它们一览而过。 “他已经超过我,”布特纳不得不承认,“我没有更多东西可以 教他了。 ” 事情可能是这样。布特纳本人对这个孩子已经帮不了什么忙。 幸好,这位校长有个年轻的助手, 名叫约翰马丁巴蒂尔。他 的工作是教小学生写字和削鹅翎笔。巴蒂尔身材颀长,有一双和善 的大眼睛,对数学有特殊的爱好。小高斯很快和他结成形影不离的 好朋友。共同的志趣培育着年轻助手和 10 岁小学生之间的温暖友

    12、情。他们的真诚友谊一直保持到巴蒂尔去世。两位好朋友一起学习, 相互切磋。巴蒂尔买来的代数和分析书籍成了他们共同的课本。他 们冲破一道道障碍,解决一个个疑难。尤为可贵的是,现成的结论 已经不能使小高斯满足。他以批判的眼光对书上的结论逐个进行审 查,一连要问上几个“为什么” 。在这个基础上,他开始对数学大 师们的某些“证明”不客气地提出挑战。 一只勇敢的雏鹰,拍拍翅膀,振翅欲飞了! 良好的开端 “高斯!高斯!” 巴蒂尔从东头跑到西头,就是不见小高斯的踪影,等到他在大 树下找到正在看书的小伙伴,已经是汗流浃背,上气不接下气。巴 蒂尔今天特别兴奋,书店老板把他们盼望已久的欧拉著的代数的 完整介绍买到啦

    13、。这是公认的代数学的权威著作。看到巴蒂尔手 里高高举着的新书,小高斯高兴得连蹦带跳,一连在地上打了两个 滚。他们顾不上多说话,立刻如饥似渴地阅读起来。书一页页唰唰 地向后翻去,太阳不声不响地躲到山的后边。在看到“二项式定理” 的时候, 小高斯倏地站了起来。 注视着静静流去的河水, 他陷入沉思。 在中学代数里,我们知道, (1+x) 1(1+x) =1+x, 2 =1+2x+x 2 , 这就是所谓“二项式定理” ,其中 n 是正整数。如果 n 不是正整数, 右边就有无限多项,这时要使等式成立,x 和 n 必须有一定限制, 否则可能出现荒谬的结果。举例来说,假如 x=-2,n=-1,左边 就是(1

    14、-2) -11+2+2 ,等于-1;而右边则是 2 +2 3 就是说-1 等于“无穷大”。这当然是错误的。 + 高斯以前的数学家们,有的(例如欧拉)虽然已经注意到这种 奇怪而荒唐的现象,可惜他们并没有花功夫去研究它和解释它。甚 至可以说,他们的内心深处似乎不愿意去考虑这个问题:在无穷级 数的运算中应该施加些什么限制。他们陶醉在分析在应用中的辉煌 成就,热衷于扩大新的战果,而无暇顾及推理的严密性。老数学家 们所忽视的这个极端重要的问题,现在被这个 10 岁孩童紧紧抓住 了。小高斯发觉,可能导出“-1 等于无穷大”这一类荒谬结果的 证明,根本算不上是证明。必须把二项式定理适用的条件明确指出 来。尽

    15、管这项工作已经超出初等数学的范围,这位第一个认真对待 无穷大的学童坚持作出自己的证明。 无限过程的正确运用正是分析的精髓所在。现在,工作从一开 始就有良好的开端。高斯被公认为现代数学中第一个严格证明论者, 他对分析的严密性的要求逐渐影响整个数学。从高斯和同时代的柯 西、阿贝尔以及他们的后继者维尔斯特拉斯、戴德金等人以后,数学 的面貌同牛顿、欧拉和拉格朗日时代完全不同了。 在数学上,高斯不仅是严格证明论者,而且是无畏的革命者。他 以对二项式定理证明的那种批判精神,在 12 岁的时候就对统治了 2000多年的欧几里得几何是否是惟一的几何真理产生怀疑; 到16岁, 他已经清楚地看到非欧几何的曙光。这

    16、在当时,就像当年哥白尼提出 “日心说”一样,无疑是地地道道的“大逆不道”。一年以后,高斯 又开始对数论的某些证明进行彻底批判, 尽管前辈们对它们已经相当 满意。无懈可击的严密性加上前所未有的创造性,在高斯研究工作的 一开始就得到无与伦比的结合。 高斯的这种特点,无疑反映了他本人超凡的智慧。不过这也不 完全是从他个人头脑里凭空产生的。在他的工作中,我们可以清晰 地听到资本主义新时代脉搏的跳动。在高斯的青少年时代,蒸汽机 和纺织机震耳欲聋的轰鸣声不断从英吉利海峡彼岸传来,破坏了德 国田园牧歌式的谧静。新的机器和发明犹如雨后春笋,不断涌现。 机器日益精密,它们需要更为严密的理论。与此同时,从巴士底狱

    17、 升起法国大革命的冲天火光和英国工业革命遥相呼应。它摧毁了欧 洲的封建城堡,也焚烧了囚禁革命性科学思想的樊笼。批判旧世界 的呼声空前高涨。在这种形势下,深受法国启蒙思想熏陶的高斯提 出这样的问题就不足为怪了。既然千百年来被视作神圣的帝王统治 可以被推翻,为什么一向被奉若神明的欧几里得几何不容有丝毫怀 疑?因此,充满复杂的公式和各种符号的高斯的杰作和他同时代的 同胞歌德(17491832)和席勒(17591805)的光辉诗篇、贝多芬 (17701827)的不朽乐章、黑格尔(17701831)的辩证法一样,都 是在他们各自领域里最有力地表现出时代的精神。 喜从天降 夜幕徐徐降落,喧闹的国民小学已经

    18、鸦雀无声。在教室里看书 的小高斯收拾起书包回家。走出校门,他发觉外面比黑洞洞的教室 要亮不少,忍不住又把书取出,阅读起来。他在暮色下边走边看, 不知不觉来到斐迪南公爵的不伦瑞克宫的门口。正在花园散步的公 爵夫人十分惊奇:一个小孩子捧着一本厚厚的书竟看得这样入迷? 她叫住孩子,问他叫什么名字,看的是什么书。大大出乎这位贵妇 人的意料,小孩子看的竟是大学者欧拉的专著微分学原理! 公爵夫人把这事告诉了公爵。公爵曾听人说起过,不伦瑞克有个聪 明过人的孩子,不过当时他半信半疑,不大在意。这次听夫人一说, 果有其事,立刻决定第二天在宫殿亲自见见这个孩子。 公爵大人要召见一个普通园丁的儿子,这种新鲜事儿,以

    19、前谁 也没有听说过。约翰听到公爵的传唤,默坐一旁,闷着头一个劲儿 抽烟,不知道明天等待着的是祸是福。妈妈左叮咛右嘱咐,生怕儿 子在这样重大的场面出什么差错。其实,这完全是过虑。别看高斯 小小年纪,谈吐举止却是端庄持重,宛如一个极有教养的大人。第 二天,小高斯穿一身从箱底翻出来的稍嫌肥大的新衣服,拘谨地跟 在魁伟的巴蒂尔后面,来到宫殿。公爵一见孩子长得眉清目秀,已 经有几分喜欢。 “你是约翰的儿子?”公爵问。 “是,大人。” “听说你读过很多书?” “”高斯含羞地低下头,不知怎样回答才好。 “你能告诉我 1234 5678 等于多少?”斐迪南特意准备了两道 算题想当面考考孩子。 一听到计算,小高

    20、斯一双大眼睛立刻明亮起来: “7006652。 ” “那么 1357997531 呢?” 公爵夫人和周围的人还在思索刚才的答案,只听得小高斯清楚 说出它的结果: “1324373449。 ” 多次获得过军功勋章、素以骁勇善战著称的斐迪南公爵难得在 当面夸奖一个人。今天在这个小孩子面前,他不由得连连点头。在 自己的领地里有这样一位神童,他感到自豪。其余的人更是个个瞪 大眼睛,惊奇得说不出一句话。 “你想不想上大学?” “是的,大人。”小高斯完全清楚,自己的家里穷,上不起大 学。爸爸几次和自己提起过,要学好手艺,准备将来继承他的“事 业” 。所以他不愿多想上大学的事。只有一次,小高斯跟妈妈谈起 自

    21、己的心愿:要是将来有一天,即使不能像牛顿、欧拉那样上大学 念书,只要能在大学图书馆里找一个差使,到了晚上,在里面想看 什么书有什么书,就心满意足啦。妈妈听着听着,不觉一阵心酸, 一把将他搂在怀里噙着泪说: “好孩子,妈一定给你想办法。 ”不过 小高斯心里明白,要上大学图书馆实际上也希望渺茫。为了不让妈 妈伤心,后来他再也不提这件事了。这时,他只听到公爵微笑着说: “好,我来帮助你。” 小高斯高兴得心怦怦直跳。意想不到的幸运降临到他的头上!公 爵答应,从现在起由他负担一切费用,直到高斯大学毕业。 诞生在 18 世纪末叶的德国,对高斯来说算是幸运。当时,英国 工业革命的熊熊烈火已经烧到欧洲大陆,海

    22、洋上一艘艘喷着浓烟的 炮舰趾高气扬,横冲直撞;商店橱窗里堆满争奇斗艳的花布; 统治阶级中一切有识之士第一次看到科学技术的无比威力。为了战 争和享乐的需要,他们开始关心教育和科学的发展。小城镇办起了 国民小学;学术赞助人成为时髦的头衔。科学走出宫廷和贵族的沙 龙得到空前的发展。数量众多的学者从各阶级、各阶层涌现出来。 默默无闻的园丁的儿子才有可能受到公爵大人的青睐。要是时间稍 稍提前 100 年,情况就截然不同。那时知识只属于有闲的贵族集团, 知识分子寥若晨星。一个普通劳动人民的儿子高斯,纵然有天 大的才华,恐怕也难逃园丁或泥瓦匠的命运了。 错失良机 高斯深深懂得,上学的机会来之不易。母亲的期望

    23、,老师的鼓 励,公爵的器重,激励他更加勤奋刻苦地学习。 13 岁那年,高斯考入大学预科学校,着重进修古代语言。他在 语言学方面显示出来的才能使老师和同学赞叹不已。他很快精通拉 丁语和希伯来语,并且对语言学发生浓厚的兴趣。后来,他用优美 的拉丁文写下许多不朽的名著。法国革命和拿破仑失败以后,欧洲 出现民族主义的浪潮。科学家纷纷使用本国文字来写论文,他后期 的著作也改用德文了。 1792 年初,15 岁的高斯进卡罗琳学院学习,掌握了欧拉和拉格 朗日的著作,特别是精通了牛顿的自然哲学的数学原理 。从少 年时代起,他就十分敬重牛顿。在他的著作中,对欧拉、拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德等人都有极高的评价,

    24、但是对牛顿,高斯认为他 “至高无上” 。在古代数学家中,他最推崇阿基米德。只有一点他感 到遗憾:为什么阿基米德在计算沙粒的时候不发明十进位或相当的 计数制呢?他认为,不然的话,今天的科学将远远超过现有的成就。 1795 年秋,高斯提着一只破旧的小皮箱,离开卡罗琳学院来到 格丁根大学。10 月的格丁根秋高气爽。位于德国中部的这座幽静小 城沐浴在金色阳光下,显得分外妩媚迷人,仿佛在热情欢迎这位远 道而来的年轻大学生。后来除去短时间的离开,高斯在这里工作、 生活直到生命的最后一刻。由于他和后继者的杰出工作,遐迩闻名 的格丁根学派从此崛起。格丁根成了举世瞩目的学术中心。这时候, 高斯虽然是个学生,但是

    25、在数学上已经取得一系列的重要成就,特 别是对数论中的二次互反律, 他第一个作出严格的证明。这是他 经过无数次失败才挖掘出来的一颗无比瑰丽的“算术的珍宝” 。在 本书第六章有关欧拉的工作中,我们已介绍过,仅仅发现这个定理 就是个了不起的成就。欧拉发现过这个定理,但是他没有证明。他 只是举几个例子作为验证。勒让德在 1785 年独立宣布了这一定理, 并且先后给出两个证明。可惜他的证明不完备,因为他回避了一些 重要的难点。这个被认为是 18 世纪数论中最重要的定理,使多少大 名鼎鼎的数学家束手无策,却被当时尚不知名的高斯迎刃而解。 1795 年,他不仅独立发现这个定理,并且第一个作出严格的证明。 在

    26、证明中,他表现了惊人的技巧。他把数学归纳法运用得如此出神 入化,以致凡是见过这证明的数学家无不拍案叫绝。鉴于它的宝贵 和重要,高斯称二次互反律是“黄金定理” 。对于这样重要的定理, 有一个证明还不能使他满足。他反复思考多年,先后给出 6 个不同 的证明。今天我们知道的证明已经有 50 个左右。对某一定理给予各 种不同的证明是高斯研究上的一大特点。他认为“绝不能以为”获 得一个证明以后“研究便告结束,或把寻找另外的证明当作多余的 奢侈品” 。因为, “有时候,你一开始未能得到一个最简单、最美妙 的证明,但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中 去。这是我们继续研究的动力,并且最能使我们

    27、有所发现。 ” 发表这一重大发现无疑会使他一举成名,默默无闻的穷大学生 一夜之间将成为举世闻名的大数学家。面对荣誉的诱惑,高斯没有 动心。他小心翼翼地把这颗珍宝和其他发现一起关进他褐色的小皮 箱。他还没有作出抉择,究竟是数学还是语言学作为自己终身的事 业,因为他在语言学方面同样有浓厚的兴趣和非凡的才能。 错失一次成名的良机,他并不感到惋惜。 转 折 点 高斯穿过铺着鹅卵石的马路来到小食品铺买面包的时候,他并 没有发觉,今年格丁根的春天来得特别早。一连下了两场春雨,大 地已经披上绿色的新装。他整天关在小房间里埋头工作。为节省时 间,他一次买足一个星期的面包。大家都好奇地揣测着这位仍不合 时宜地穿

    28、着黑色冬季长袍的青年到底在研究什么。直到距离高斯 19 岁生日正好差一个月1796 年 3 月 30日人们才惊喜地得知, 这位格丁根大学生用直尺圆规作出了一个正十七边形!这真称得上 是数学史上最惊人的发现。 用直尺圆规作正多边形是历史遗留下来的一个“老大难”问 题。在古希腊时代,几何学家们认为,要使概念简单明确,不互相 矛盾,必须证明它是存在的。在欧几里得几何的公设里承认直线和 圆存在。由于它们分别由直尺和圆规作出,因此古典几何学家们认 为,从“严密性”出发,任何图形只有当它能用直尺圆规作出的时 候才能得到承认。这种古怪的见解,可说是古希腊奴隶社会的产物。 在当时,角斗士要在角斗场上手刃对手来

    29、求得生存;而那些身上抹 着香料油的贵族和奴隶主们是在同对手的辩论中来赢得地位和声誉 的。辩论术成为一门重要的学问。为了使自己的演说无懈可击,逻 辑的严密性受到极大的重视。几何学当然不能不受到这股思潮的影 响。虽然几何学起源于生产,古希腊的学者对于几何在逻辑上的 “完美性”比它在生产上的应用更感兴趣。欧几里得使用尺规可以 作正三角形,可以作正四边形、正五边形、正十五边形,以及通过 反复二等分这些正多边形的边所得的一系列正多边形。例如由正三 角形通过二等分边可以得到正六边形,再得到正十二边形,等等。 自然就会提出这样的问题:能不能用尺规作正七边形、正九边形、 正十一边形、正十三边形、正十七边形或正

    30、十九边形呢?如果能够, 怎样作法?在中学里,我们遇到过用尺规来作某个图形的问题,因 此,用尺规作一个正十七边形,似乎并没有什么了不起。然而,历 史上多少著名的学者,为了回答这个问题,作过种种尝试,倾注了 无数的心血。结果都无一例外地失败了。 前人的失败,对于意志薄弱的人无疑是退却的最好借口,但是 对于高斯,却只有激起他不可遏止的热情。不过要获得成功,光凭 热情不够,还需要有扎扎实实的工作。他认真总结前人失败的记录, 发现他们大都采用的是几何的方法。想用这种方法来解决问题,就 像瞎子摸鱼瞎碰!高斯意识到,要摸鱼,首先要弄清哪些地方 有鱼;在没有鱼的地方去摸鱼,当然白费气力。这时候他仍在研究 数论

    31、问题。通过反复尝试,他意外地发现,解决这个难题的线索可 以在代数里找到。他巧妙地将尺规作图的几何问题化为一个代数方 程,然后通过这个方程的整数解来确定哪些正多边形可以由尺规作 出。这就解决了“哪里有鱼”的问题。在这里高斯创造了把问题由 一个领域(几何学)转移到另一个领域(代数学)来解决的第一个杰出 的例子。高斯在后来的研究中多次采用这类方法。他证明了:使用尺 规所能作出的边数为奇数的正多边形, 它的边数必定是费马素数或不 同费马素数的乘积。这就是说,可以用尺规作出边数是 3,5,17, 257, 65537, 或者边数是它们的乘积的正多边形, 但是不能作正七、 九、十一、十三或十九边形。因此对

    32、那些不可能用尺规作出的正多边 形,人们就无须再虚掷时光。谁会想到抽象的费马数同几何竞有这样 有趣的联系!根据这条线索,高斯最后成功地用尺规作出了正十七边 形。这样,困扰了几何学家达 2000 多年之久的大难题终于由这位年 仅 19 岁的德国青年给出完满的解答。如图的正十七边形的完整作法只需要一页篇幅;正 257 边形的尺规作图就要占用 80 页纸张;而后 来数学家盖尔美斯按照高斯方法作出的正 65537 边形的手稿要占据 整整一只手提箱!这份手稿至今仍保存在格丁根大学的图书馆里。 这次成功使高斯大为振奋。他甚至希望,将来在自己的墓碑上 能刻上正十七边形的图案。他决心把毕生精力奉献给数学科学。语

    33、 言学遗憾地失去一位天才的大师,不过研究古代语言仍是他终身的 嗜好。为永远纪念这一非凡成就,在高斯逝世以后,人们为他建起 一尊以正十七棱柱作底座的纪念像,庄严地耸立在他风景如画的故 乡不伦瑞克。 宁少毋滥 成就和赞誉没有使高斯陶醉。他怀着不可遏止的热情乘胜前进。 新的奇妙的数学思想像春潮般滚滚而来,使他应接不暇。小房间的 灯光彻夜通明。为了不让那些朦胧的、稍纵即逝的灵感跑掉,他通 宵达旦地进行计算和论证。胜利的欢悦把疲劳冲刷得一干二净。不 过道路并不平坦。在攀登的时候,每前进一步都要付出代价。现在 他又遇到障碍。度过了多少个不眠之夜,草稿纸足足塞满好几个纸 篓,问题仍找不到线索。解决似乎已经无

    34、望。不过,他不是个轻易 认输的人。一旦认定了目标,他就一定要坚持到底。这时候,时间 好像“冻结” ,空间也已经“凝固” 。不知道自己白天吃的是什么, 不记得晚上是否有过片刻安眠。他仔细审查每一步过程,核定每一 个结论,分析每一次失败,这一天终于来到!蓦然间奇迹出现, 整个问题的解清晰地呈现在眼前。他欣喜若狂。他取出一个小本子, 小心地把它记载下来: EYPHKA! num=+ 时间是 1796 年 7 月 10 日凌晨。这就不禁使人想起当年阿基米德在 洗澡的时候突然发现浮力定律,兴奋得从浴缸一跃而起,在大街上 一边狂奔一边高喊“找到了!找到了!” 的狂喜心情。高斯在这里以同样的喜悦找到了费马提

    35、出的一个困难定理的证明:每个正整数是 3 个三角数之和。 高斯的小册子毫不显眼,淡黄色的封面,只有薄薄的 19 页,里 面涂满各种奇怪的符号,记录着从 1796 年 3 月 30 日到 1814 年 7 月 9 日这段时间里他的 146 项研究成果。因为这本日记只供本人使用, 所以每一条往往只写三言两语,十分简短。有的条目简单得甚至连 专家也摸不着头脑。比如在 1796 年 10 月 11 日,日记里有这样一 条: Vicimus GEGAN 而在 1799 年 4 月 8 日只简单记着 由于高斯总是一个人单独工作,因此他花了几星期以至几个月呕心 沥血研究的结晶就成为人们进行种种猜测的永不枯竭

    36、的源泉。幸好 除了上述两条,日记中其余 144 条的内容倒是清楚的。 实在令人遗憾,这样重要的日记高斯竟始终珍藏着没有公开, 直到 1898 年高斯逝世后 43 年才在科学界流传。那一年格 丁根皇家学会为进行研究,向高斯的孙子借来这本日记,它的影印 件后来刊登在高斯全集第十卷上。 高斯日记的内容一披露,轰动了整个科学界。人们第一次了解 到,有许多重大成果高斯实际上早就发现,而公开发表得很晚;有 的甚至在生前根本没有发表!有关椭圆函数双周期性的内容一直到 日记发表的时候人们才知道,以致这个重大成果在日记里整整沉睡 了 100 年! 1797 年 3 月 19 日的一条清楚表明,高斯已经发现这个

    37、成果;后来又有一条,说明高斯还进一步认识到一般情况下的双周期 性。这个问题后来经过雅可比和阿贝尔独立研究发展,才成为 19 世 纪函数论的核心。类似的例子不胜枚举。 这样大量的重大发现在日记里竟被埋没好几十年以至一个世纪! 面对这一不可思议的事实,数学家们无不大为震惊。如果及时发表 这些内容,无疑会给高斯带来空前的荣誉,因为日记中的任何一项 无不是世界第一流的成果。如果考虑到这时候的高斯还在靠斐迪南 公爵的有限津贴来维持最低限度的生活,就更加使人费解了。尤其 可惜的是,要是高斯把他所知道的都及时公开,就可免得后来的数 学家们在许多重要领域长期地在黑暗中苦苦摸索。数学史将大大改 写。有的数学家估

    38、计,数学可能要比现在先进半个世纪甚至更多。 雅可比和阿贝尔就可以在高斯终止的地方起步,而不必耗费精力去 重新发掘高斯早在他们出生以前就已经知道的内容;非欧几何的创 立也可以足足提前半个世纪。罗巴切夫斯基和鲍耶就不必把他们 的才智用在高斯早已经解决的问题上。是的,假如高斯了解今天数 学家们的心情,他大概会后悔:真不该无情地把自己的日记锁起来! 为什么会出现这种现象?有人说这是因为高斯的处女作算术 研究曾经遭到法国科学院的粗暴拒绝。这个不应得的羞辱深深刺 伤他的自尊心。从此他下决心,凡是拿出去发表的作品,从内容到 形式必须让任何人挑不出毛病。可是,事实并不是这样。1935 年, 法国科学院的工作人

    39、员为核实这个事关重大的指责,对该院的文件 记录作了一次详尽的调查,调查表明, 算术研究从来没有寄交 法国科学院,当然更谈不上被它拒绝了。 其实,高斯对成果采取这样慎重的态度,完全是出于他对工作 极端严格的要求。在小时候,他喜欢看父亲和舅舅干活。他们的工 作是那样的兢兢业业,一丝不苟。每一枝鲜花,每一块锦缎,都称 得上是艺术的佳品。后来他不止一次看到,他所崇拜的伟大先驱阿 基米德和牛顿是怎样地对他们自己的作品精雕细刻,精益求精,在 严密的一环扣一环的综合论证中深深掩盖着自己内心的激情。他决 心遵循他们的榜样。因此,他只发表经过千锤百炼的杰作,不允许 有任何缺陷或漏洞。他要求严格的完美,哪怕多一字

    40、或减一字都会 有损于它的形象。这是件珍品:纯真,完美,朴实无华,有说服力 而且要不留斧凿的痕迹。他认为一座宫殿只有把最后的脚手架拆除 以后才成为宫殿。正是基于这种信念,他不愿公开自己的日记。因 为按照他的标准,有些条目的内容还没有完全成熟。他恪守自己的 格言: “宁少毋滥” 。 这实在令人惋惜。从艺术形式来看,这样的数学瑰宝固然精美 绝伦,可是,在数学研究中,思想和方法常常比由此发展而成的定 理重要得多。一个杰出的思想可以引申到新的领域产生出意想不到 的结果。现在,由于到达终点的所有足迹已经被抹掉,他的许多重 要思想只有经过后继者另行发掘才得重见天日。正如雅可比所说: “高斯的证明被冻结得硬邦

    41、邦的,人们必须先把它融化开来。 ”他的 不少传大著作只有经过专家们的详尽解释才能为一般人所了解和接 受。 另外我们还不应忘记贯穿在整个 18 世纪的数学家之间的激烈争 论。他们各持己见,互相指责,由于缺乏严格的论证,在争论中又 产生种种错误。为了证明自己的论点,他们往往求助于讽刺挖苦和 自吹自擂。这类争论给高斯留下深刻的印象。他出身虽然贫微,却 和他的双亲一样,自尊心极强。他极端厌恶和鄙视强词夺理和文过 饰非。他担心日记中的内容发表出来会招致无休止的意气用事的争 论,对于这类“争论” ,他无意奉陪。 个人的荣誉他毫不计较,过于坚硬的成果别人是否容易消化, 他无心顾及。他把莎士比亚悲剧李尔王中的

    42、一段格言工工整整 地写在自己在肖像下面: “大自然,您是我的女神,我一生的效劳都服从于您的规律。” 这句名言再好不过地概括高斯献身科学的光辉的一生。 灵感仅赐福于有心之人 在格丁根大学学习的 3 年(1795 年 10月到 1798 年 9 月),是 高斯一生中成果最丰富的时期。公爵的资助使他不必为生活操心。 他身披灰色罩袍,戴一顶无檐的小帽,关起门来潜心研究。一项数 论方面的传大工作在夜以继日地紧张进行。到大学毕业,具有历史 意义的巨著算术研究实际上已经完成。那一年高斯在不伦瑞克 过了一个秋天,偶尔到黑尔姆斯泰特走一趟,因为黑尔姆斯泰特大 学有一座藏书丰富的图书馆,他在那里对著作作最后润色。

    43、黑尔姆 斯泰特大学已经耳闻高斯的大名,图书馆的管理人员和著名数学家 帕夫(17651825)热烈欢迎他的光临。高斯就住在帕夫教授的家 里,并且成为他们家的好友。殷勤好客的主人为照顾好这位拼命用 功的青年的健康,特意为他准备好丰盛的菜肴,每天黄昏还拉着他 出去散步。 历史悠久的黑尔姆斯泰特大学依山傍水,景色宜人。暗红色的 校舍镶嵌在浓密的绿树丛中,一派庄严肃穆的气氛。他们漫步在蜿 蜒的河岸上,迎面扑来野花的芳香,沁人心脾。帕夫像老朋友一样, 向高斯畅谈他最新的研究和遇到的困难。教授坦率和善的性格深深 博得高斯的喜爱和敬重。他聆听着教授精湛的见解,不时点头称是, 偶尔插上一两句切中要害的评论。可惜

    44、谦虚的年轻人一句没有提到 自己在数论中所取得的重大进展。这本来可以使教授得到同样的收 获,甚至是更大的收获。 “晚上休息得好吗?”教授关切地问道。 “嗯,很好。” “年轻人,你可别瞒我。我半夜醒来,看到你房间的灯还亮着 呢。 ” 教授对客人不分昼夜地工作早有意见,想乘机提出他的忠告: “搞研究不是一朝一夕的事,要顾惜自己的身体。”帕夫正说 得起劲,忽然发觉旁边并没有人跟着,不禁吃了一惊。回头一看, 他见到高斯正对着远处农舍闪烁的灯火出神,赶忙过去问个究竟。 不料年轻人对他的招呼毫无反应!过了好一会儿高斯渐渐“苏醒”, 看到站在旁边不知所措的教授,才想起刚才发生的事情。原来这几 天高斯正被费马的

    45、一个命题搞得寝食不安。他用通常的方法去证明 都碰了壁。这个问题一直萦绕在他的脑际。在散步的时候,高斯猛 然发现,为什么不利用分析的方法来证明呢?虽然这种方法一般并 不是用来处理像整数这样一类离散的现象。他愈想愈觉得有理,不 知不觉停下脚步,把教授撇在一边。 后来有人问起高斯成功的秘诀,高斯以其特有的谦逊回答道: “如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我 的发现。 ” 好像是为了证明自己的结论,有一次他指着算术研究第 636 页上的一个问题动情地说: “别人都说我是天才,别信它!你看这个问题只占短短几行, 却使我整整花了 4 年时间。4 年来我几乎没有一个星期不在考虑它 的符号问题

    46、。 ” 这使人想起牛顿。当问到他怎样取得超过所有先辈的成就的时 候,牛顿的答案同样简单: “因为时时刻刻想到它们。” 真是英雄所见略同。正因为深知自己为每一点滴的成就曾经倾 注了多少心血,高斯知道怎样评价别人的工作。他根本不相信所谓 牛顿和苹果的故事。他认为,这纯系无稽之谈。要不是牛顿在万有 引力问题上已经有长期的酝酿和深入持久的思考,即使苹果落到他 的头上也绝不会产生什么灵感。俗话说得好:灵感仅赐福于有心之 人啊。 披荆斩棘 金黄的黑尔姆斯泰特的秋天是丰收的季节。高斯满载着数论研 究的丰硕成果同帕夫依依惜别,启程返回格丁根。坐在颠簸的马车 里,眺望着一望无垠金色的田野,他的心已经飞向未来的战

    47、场。在 临别前夕,帕夫恳切地向他提议,希望他在黑尔姆斯泰特大学完成 博士学位研究工作并且以代数学基本定理的证明作为课题。这是怎 么回事?每个中学生都知道,在古典代数中,方程是主要研究对象, 而解方程首先要搞清这个方程究竟有几个根。早在 100 多年前,数 学家从大量实例中认识到,如果把复根也算上,那么一个 n 次方程 刚好有 n 个根。这个命题就是所谓代数学基本定理。可是十分遗憾, 这样一个带有根本重要性的定理到这时还没有一个令人满意的证明。 这不是数学家们的疏忽,忘记了这项工作,只因为它的难度远远超 过人们的想像。达朗贝尔花了九牛二虎之力,试图给出一个证明, 最后以失败告终;帕夫本人也作过认

    48、真的尝试,结果同样不妙。教 授一眼看中了高斯。他发觉这位不折不挠、才气横溢的青年才是挑 起这副重担的真正人选。他没有顾虑自己的面子,直率地谈出自己 的见解。高斯虽然不能接受对自己的恭维,不过,教授的建议的确 符合他的心意。一个问题要不是十分重要而又异常困难,就甭想吸 引高斯的注意。因此,他欣然接受这场挑战。 可是,战斗刚刚打响,意想不到的困难接踵而至。格丁根大学 毕业以后,斐迪南公爵在不伦瑞克所承诺的义务即告完成。今后就 得独立谋生。按理说,像高斯这样的高材生,应该不难在格丁根大 学找到一个适当的工作。可是,寻找工作用不上数学的逻辑推理, 需要的倒是找靠山,拉关系,或至少会低声下气地去求情。这

    49、些条 件高斯一条也不具备。他不愿去自讨没趣。他想收几个学生当私人 教师。可是,这也不容易。高斯的讲课和他的著作一样字斟句酌, 言简意赅,他不重复在他看来浅显易懂的道理,这使得一般学生远 远跟不上他敏捷的思路。因此,尽管高斯在格丁根已经颇有名望, 但是所收的学生寥寥无几。时断时续的学费收入仅够他购买每天需 要的面包和纸张,至多还允许他偶尔喝上一杯咖啡。本来指望算 术研究能够早日出版,可是由于出版商财政困难,迟迟不能付 印。房租已经拖欠好几个月。房东梅兹太太投来的不信任目光使高 斯忐忑不安。只有在研究的时候才得以摆脱烦恼,这时候他又才思 横溢,充满信心。可惜,这样的时间愈来愈少。梅兹太太故意的大 声咳嗽和拉开门缝来探头探脑,大大干扰高斯的思考。辛苦的工作, 营养不良再加上心情烦恼,终于使他病倒。躺在咯吱作响的床上, 面对斑驳的墙壁,他饥肠辘辘,但是脑子里仍在思考博士论文的细 节。他放不下在黑尔姆斯泰特接受的挑战。有时候已经坠人昏睡之 中,还听见他在喃喃自语: “为什么?为什么?”在致斐迪南公 爵的信中,高斯从来不提自己生活的窘况。不过,这个消息还是传 到公爵的耳朵。这大概是好心的巴蒂尔给公爵报的信。斐迪南再一

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