1、- 1 -2015 年甘肃省嘉峪关一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）已知集合 A=x| 2，则 RA=（ ）A （ ，+） B （， ） C （，1（ ，+） D （，1）（ ，+）【考点】： 补集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出集合 A，利用补集进行求解【解析】： 解：A=x| 2=x| 2= 0=x|1x ，则 RA=x|x 或 x1，故选：C【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础2 （5 分
2、）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a5=8，S 3=6，则 a9=（ ）A 8 B 12 C 16 D 24【考点】： 等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由给出的等差数列的第 5 项和前 3 项和代入通项公式及前 n 项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求 a9【解析】： 解：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，则 ，解得：a 1=0，d=2，所以 a9=a1+8d=0+82=16故选 C【点评】： 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了计算能力，此题属基础题3 （5 分）已知函数 f（x）为
3、奇函数，且当 x0 时， ，则 f（1）=（ ）A 2 B 0 C 1 D 2【考点】： 函数的值- 2 -【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用奇函数的性质，f（1）=f（1） ，即可求得答案【解析】： 解：函数 f（x）为奇函数，x0 时，f（x）=x 2+ ，f（1）=f（1）=2，故选 A【点评】： 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题4 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 45，且| |=1，|2 |= ，则| |=（ ）A B 2 C 3 D 4【考点】： 平面向量数量积的运算；向量的模【专题】： 平面向量及应用【分析】： 将|2 |= 平方，然后将夹角与| |=1
4、 代入，得到| |的方程，解方程可得【解析】： 解：因为向量 ， 的夹角为 45，且| |=1，|2 |= ，所以 4 24 + 2=10，即| |22 | |6=0，解得| |=3 或| |= （舍） 故选：C【点评】： 本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想5 （5 分）设 a，b 为两条直线， 为两个平面，则下列结论成立的是（ ）A 若 a，b，且 ab，则 B 若 a，b，且 ab，则 C 若 a，b，则 ab D 若 a，b，则 ab【考点】： 平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 证明题【分析】： A 选项可由两
5、个平面中的两条直线平行不能得出两平面平行；B 选项可由两个平面中的两条直线垂直不能得得出两平面垂直；C 选项可由一个直线与一个平面平行，则与这个平面中的直线的位置关系是平行或异面D 选项可由垂直于同一平面的两条直线平行【解析】： 解：A 选项不正确，两个平面中的两条直线平行不能得出两平面平行；B 选项不正确，两个平面中的两条直线垂直不能得得出两平面垂直；C 选项不正确，一个直线与一个平面平行，则与这个平面中的直线的位置关系是平行或异面；D 选项正确，垂直于同一平面的两条直线平行；故选 D【点评】： 本题考查平面与平面之间的位置关系，主要考查空间想像能力以及熟练运用线面间的相关理论进行判断的能力
6、6 （5 分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）- 3 -A y=sin（x+ ） B y=sin（2x ） C y=cos（4x ） D y=cos（2x ）【考点】： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据题意，设出 y=sin（x+） ，利用函数图象求出 与 ，得出函数解析式，从而选出正确的答案【解析】： 解：根据题意，设 y=sin（x+） ，（ ， ） ； = （ ）= ，解得 T=，= =2；又 x= 时，y=sin（2 +）=1， += ，解得 = ；y=sin（2x+ ） ，即 y=cos=cos（ 2x）=cos
7、（2x ） 故选：D【点评】： 本题考查了利用函数的图象求三角函数解析式的问题，是基础题目7 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）设某几何体的三视图如图（单位 m）：则它的体积是（ ）- 4 -A 4m 3 B 8m 3 C 4 m3 D 8 m3【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为 3+1=4m，底面的高，即为三视图的宽 3m，故底面面积 S= 34=6m2，棱锥的高
8、即为三视图的高，故 h=2m，故棱锥的体积 V= Sh=4m3，故选：A【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的面积为（ ）A B C D 2【考点】： 二元一次不等式（组）与平面区域【专题】： 数形结合【分析】： 画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积【解析】： 解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意 M（2，3） ，N（ ） ，P（0，1） ，Q（0，1）不等式组 所表示的平面区域的面积为： =-
9、5 -故选 B【点评】： 本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题9 （5 分）已知向量 =（m，1n） ， =（1，2） ，其中 m0，n0，若 ，则 + 的最小值是（ ）A 2 B 3+2 C 4 D 3+【考点】： 基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 根据向量平行，建立 m，n 的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论【解析】： 解：向量 =（m，1n） ， =（1，2） ，若 ，则 2m（1n）=0，即 2m+n=1， + =（ + ） （2m+n）=3+ ，当且仅当 ，即 n= ，即 m=1 ，n=
10、时取等号故最小值为 3+2 ，故选：B【点评】： 本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出 m，n 的关系是解决本题的关键10 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）在锐角ABC 中，若 A=2B，则 的范围是（ ）A （ ， ） B （ ，2） C （0，2） D （ ，2）【考点】： 三角形中的几何计算【专题】： 解三角形【分析】： 利用正弦定理列出关系式，将 A=2B 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为 2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形 ABC 为锐角三角形，求出 B 的范围，进而确定出 cosB 的范围，即可得出所求式子的范围- 6 -【解析】
11、： 解：A=2B，根据正弦定理 = 得： = =2cosB，A+B+C=180，3B+C=180，即 C=1803B，C 为锐角，30B60，又 0A=2B90，30B45， cosB ，即 2cosB ，则 的取值范围是（ ， ） 故选：A【点评】： 本题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键11 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上，AB平面BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形若 AB=2，则球 O 的表面积为（ ）A 4 B 12 C 16 D 32【考点】： 球的体积和表面积【
12、专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【解析】： 解：取 CD 的中点 E，连结 AE，BE，在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，BCD 是边长为 3 的等边三角形RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形，BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心，BE= ，BG= ，R=2四面体 ABCD 外接球的表面积为：4R 2=16故选：C【点评】： 本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键- 7 -12 （5 分）设函数 f
13、（x）是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，且当 x时，f（x）=（ ）x1，若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A （ ，2） B （ ，2） C 【考点】： 函数的周期性；函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由已知中 f（x）是定义在 R 上的偶函数，对于任意的 xR，都有 f（x2）=f（2+x） ，我们可以得到函数 f（x）是一个周期函数，且周期为 4，则不难画出函数 f（x）在区间（2，6上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方
14、程 f（x）log ax+2=0 恰有 3 个不同的实数解，转化为函数 f（x）的与函数 y=log ax+2的图象恰有 3个不同的交点，数形结合即可得到实数 a 的取值范围【解析】： 解：设 x，则x，f（x）=（ ） x 1=2 x1，f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x）=f（x）=2 x1对任意 xR，都有 f（x）=f（x+4） ，当 x时， （x4），f（x）=f（x4）=x x4 1；当 x时， （x4），f（x）=f（x4）=2 x4 1若在区间（2，6内关于 x 的方程 f（x）log a（x+2）=0（a1）恰有三个不同的实数根，函数 y=f（x）与函数 y=loga（
15、x+2）在区间（2，6上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是 ，解得： a2，即 a2，因此所求的 a 的取值范围为（ ，2） 故选：B【点评】： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题- 8 -二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分） （理） +2 【考点】： 定积分【专题】： 计算题【分析】： 根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可【解析】： 解： （x+sinx） =
16、 +1（ 1）=+2，故答案为 +2【点评】： 此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数14 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）设命题 p：2x 23x+10，命题 q：x 2（2a+1）x+a（a+1）0，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 集合【分析】： 利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解析】： 解：由 2x23x+10 得 x1，即 p： x1，由 x2（2a+1）x+a（a+1）0 得（xa） （xa1）0，即 a
17、xa+1，即 q：axa+1，若 q 是 p 的必要不充分条件，则 ，即 ，即 0a ，故答案为： 【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础15 （5 分） （2015嘉峪关校级三模）已知函数 f（x）=xsinx+cosx，给出如命题：f（x）是偶函数；f（x）在 上单调递减，在 上单调递增；函数 f（x）在上有 3 个零点；当 x0 时，f（x）x 2+1 恒成立；其中正确的命题序号是 【考点】： 命题的真假判断与应用- 9 -【专题】： 简易逻辑【分析】： 利用偶函数的定义判断；利用导数求解，导数大于 0 求增区间，导数小
18、于 0 求减区间；研究极值、端点处的函数值的符号；转化为 f（x）（x 2+1）0 恒成立，因此只需求左边函数的最大值小于 0 即可【解析】： 解：对于，显然定义域为 R，f（x）=xsin（x）+cos（x）=xsinx+cosx=f（x） 所以函数为偶函数，所以为真命题；对于，f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，当 x时，f（x）0，此时函数为增函数，故为假命题；对于，令 f（x）=0，所以 ，做出 y= 及 y=tanx 在上的图象可知，它们在上只有两个交点，所以原函数在有两个零点，故为假命题；对于，要使当 x0 时，f（x）x 2+1 恒成立，只需当 x0 时，f（x）
19、x 210 恒成立，即 y=xsinx+cosxx 210 恒成立，而 y=xcosx2x=（cosx2）x 显然小于等于 0 恒成立，所以该函数在上的最大值【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： （1）当 时可得 tanx= ，可得 2cos2xsin2x= ，化为切函数，代值计算可得；（2）由向量和三角函数的知识可得 f（x）= sin（2x+ ） ，由 x 的范围可得【解析】： 解：（1）当 时，sinx= cosx，tanx= = ，- 10 -2cos 2xsin2x= = = ；（2）f（x）=（ + ）= + =sinxcosx +cos2x+1=
20、sin2x + +1= sin2x+ cos2x= sin（2x+ ） ，x，2x+ ，sin（2x+ ），当 sin（2x+ ）= 时，f（x）=（ + ） 取最大值 【点评】： 本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC=3acosBccosB（）求 cosB 的值；（）若 ，且 ，求 a 和 c 的值【考点】： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】： 计算题；转化思想【分析】： （1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=32RsinAcosB2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可（2）由向量数量积的定义可得 accosB=2，结合已知及余弦定理可得 a2+b2=12，再根据完全平方式易得 a=c= 【解析】： 解：（I）由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinCcosB，故 sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB，可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin（B+C）=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB又 sinA0，
