1、 如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结 果，我们就不可能理解近 50 年来数学的目标，也不可能理解它的成 就。 海尔曼 外尔 故乡启蒙 在波浪滔 滔的地 中海上 ，有一 颗美 丽的珍珠 ，那就 是由希 腊移 民在西西 里岛上 建立的 城邦叙 拉古。 这 里气候宜 人，土 地肥沃 ，交 通便利， 经济相 当繁荣 。公元前 287 年 ，传奇般 的巨人 、古代 最伟 大的数学 家和物 理学家 阿基米 德，就 出 生在叙拉 古的一 个贵族 家庭 。 他的父亲 菲狄阿 斯是位 天文学 家，和 叙 拉古国王( 僭主) 希伦二 世有 点亲戚关 系。菲 狄阿斯 终生研 究日月 之 间的距
2、离 ，可惜 没有结 果。 阿基米德 8 岁上 学，除 了和许 多男孩 一 起受到严 格的体 育和智 育训 练以外， 还有个 专门的 奴仆照 料他的 生 活，向他 灌输当 时的思 想道 德观念。 阿基米 德默默 地听从 这个卑 微 的老师的 教导， 认真学 习荷 马史诗、 伊索寓 言和其 他的社 会伦理 著 作。 不过 ，他对 它们的 兴 趣似乎很 有限。 他时常 在石子 和沙盘 跟 前琢磨， 一站就 是半天 ；他 觉得在数 和形的 世界里 遨游要 有意思 得 多。小阿 基米德 也喜欢 在静 谧的夜晚 跟着爸 爸去观 察天象 。小星 星 向小家伙 不停地 眨眼， 遥远 的天穹传 来的信 息多么
3、神秘而 迷人啊! 到 海边去玩 也是快 活的。 眺 望无边的 大海， 使他心 旷神怡 。在沙 滩 上翻跟头 、竖蜻 蜒，累 了就 趴在松软 的沙土 上，看 着那热 闹繁忙 的 码头。各 式各样 的船只 、紧 张操作的 水手和 吃力负 重的搬 夫激起 小 阿基米德 一番又 一番的 思索 。 满载货物 的大船 为什么 不沉?船 上的风 帆 最好做成 什么形 状?这些 问题在今 天已经 不是难 题。可 是在阿 基 米德小时 候，要 回答它 们就 不简单了 。因为 当时不 但没有 坐标法 ， 也不懂微 积分， 就连浮 力定 律还是阿 基米德 长大以 后才发 现的。 人 类对自然 和社会 的认识 是逐
4、渐积累和 深化的 ；开拓 人类文 明的先 驱 者们要经 历一条 多么艰 难而 曲折的道 路!当然 ，小阿 基米德 并不是 没 有前人积 累的知 识可以 学 习。叙拉 古已经 不是一 片荒滩 。不过 ， 比起大海 彼岸的 亚历山 大城 ， 叙拉古的 文化毕 竟落后 得多。 没几 年功夫 ，阿基 米德以 优异成 绩 学完了叙 拉古学 生通常 学的 功课。他 不但熟 读经书 ，而且 注重实 际 。他看到 搬夫们 劳动艰 苦， 就设计了 杠杆滑 轮装置 ，以便 吊起沉 重 的货箱。 他虽然 没享有 “神 童”的殊 荣，却 得到过 国王的 青睐， 被 接到王宫 住了几 天。不 过阿 基米德对 王室的 享
5、乐兴 趣不大 ，总惦 记 着有机会 到亚历 山大城 去学 习。他看 到了一 些现象 ，可是 道理还 不 清楚。他 想到了 一些问 题， 答案却还 茫然。 年轻人 在百思 不得其 解 的时候， 多么需 要先行 者的 帮助啊! 专心 治学的 父亲病 倒，不 幸中年 谢 世。阿基 米德很 悲痛， 也日 益感到世 态炎凉 ，看到 了以前 所不知 道 的生活中 丑恶的 一面。 古希 腊的文明 光辉灿 烂，而 它的野 蛮也是 赤 裸裸的， 令人触 目惊心 。别 的且不说 ，在发 达的商 业中有 一大宗 是 奴隶买卖 。战争 中的俘 虏就 是奴隶。 那时候 的海盗， “越货 ”不杀 人 ，掳去卖 给奴隶 贩
6、子。 兵 匪一家， 无理可 讲。这 样的奴 隶市场 “ 货源”充 足，久 盛不衰 。 一天 ，阿基 米德路 过奴隶 市场。 闹 哄哄的吵 嚷声使 他不由 自主 地停住脚 步。只 见一个 满脸横 肉的奴 隶 贩子正揪 着一个 老人的 头发 在高声嚷 嚷：“ 红头发 不妨碍 他干活 。 再说这老 头还挺 有学问 ，在 亚历山大 城有点 名气呢!” “啊!” 阿基 米德怒 不可遏 ，抢上 前 去，厉声 呵斥奴 隶贩子 ： “你 别再折 磨他了! 你不知 道他是 个 老人吗!” 那欺 软怕硬 的家伙 松了手 。 一打听，那红发老人竟是萨摩斯的科农! 这位有名的科学家怎 么成了被拍卖的奴隶? 阿基米德顾
7、不得细问，当即用坚定的语气向 奴隶贩子 声明， 他决定 赎走科 农。 归途 中， 阿基米 德义愤 填膺 。 科农 ， 这位 对圆锥 曲线和 日食研 究 卓有 贡献的 大学者 ，竟同 几十块 钱一 头的牲 口一样 被买卖!这帮愚昧 贪婪的人 间败类 ，和吃 人的野 兽有什 么 两样! 回到 家里， 阿基米 德把他 对科学 的 热爱、 对师长的 尊敬和 对奴隶 的同情， 都倾注 到对科 农的慰 问和接 待 上了。 科 农是怎 样沦落 为奴隶 的呢?原 来 ，他在参 加亚历 山大城 天文 台一次 星座观 察的时 候， 在 地中海 遇 上了海盗 ， 被劫 到罗马 卖给奴 隶贩子 ， 又 辗转到 叙拉古
8、 的奴隶 市场 。 若不 是阿基 米德搭 救 ， 老人 的命运 就不堪 设想了 。 科 农十分 感激 阿基米德 ， 更 感快慰 的是 ， 他 发现阿 基米德 志趣高 尚， 勤奋好 学， 所问所答 ， 显 示出年 轻人思 维 敏捷活 跃， 见 解深刻 独到 。 还有 什么 比发现一 棵好苗 子更使 园丁高 兴呢?科 农决心 尽自己 力量好 好培养 阿 基米德。 阿基米 德和科 农邂 逅， 聆 听老人 教导， 消除了 思考中 的 许多疑团 ， 开阔 了眼界 ， 感到 十分兴 奋和愉 快。 他 想挽留 老人多 住 些日子 ， 可是科 农离家 的时间 已经不 短，怎 么忍心 让老人 和家人 久 久分离
9、?依 依惜别 的时候 ，科 农郑重 邀请阿 基米德 来年春 天到亚 历 山大城学 习。 这正是 阿基米 德 盼望已 久的事 ，他欣 然从命 。 渡海求学 春天 终于来 临了。 阿基米 德告别 母 亲和妻子 ，搭上 一艘开 往亚 历山大城 的航船 启程。 在一望 无际的 蔚 蓝的海面 上，白 色的海 鸥在 自由翱翔 。阿基 米德的 心随着 海鸥飞 向 那遥远的 学术圣 地亚历 山大 城。 虽然 是少有 风暴的 航海季 节，水 手 也精明老 练，但 是，没 有航 海罗盘， 又没有 导航海 图，漂 洋过海 毕 竟是很危 险的。 再说， 海盗 出没无常 ，防不 胜防。 只要远 处出现 船 只，大家 就
10、紧张 起来。 有一 回碰上的 倒不是 海盗， 而是船 头装着 巨 大的“乌 鸦座” 吊桥的 罗马 战船。 这时期罗 马人在 第一次 布匿战 争 中战胜迦 太基人 ， 控制 了西西 里等岛屿 。 叙拉 古就在 他们的 “保护 ” 之下。 骄 横的罗 马战船 驶到面 前， 摆 出宗主 国老爷 的架势 ， 把 叙拉古 人羞辱了 一番 。 这帮 家伙对 自 己的老百 姓尚且 耀武扬 威， 何 况对 “ 保 护国” 的 臣民。 阿基米 德深深 地感 到悲哀 ，自己 的祖国 比被揪 着头 发拍卖 的奴隶 的处境 好多少 呢? 科农老人 说得对 ， 叙拉 古不能 幻想罗 马 人的保护 ， 倒是 要提防 他们
11、的 骚扰。 他们造 出 “乌 鸦座 ” 吊桥 ， 不 就是 为了行凶 逞强 ， 掠夺侵 略吗? 叙拉古必 须有自 卫的准 备。 可是希 伦王 和他的大 臣们正 沉溺在 权力和 享乐之中 。叙拉 古的前 途实在 令人忧 虑 。 几天 以后， 驶近目 的地的 喜悦才 排 开罗马战 船引起 的不快 。 一天 清早，阿 基米德 终于在 东方的 晨曦中 看 到亚历山 大港口 有名的 灯塔 。 这座灯塔 是古代 西方七 大奇观 之一。 它 那几十层 楼高的 塔身巍 然屹 立在法罗 斯岛上 ，令人 肃然起 敬，也 强 烈地震撼 阿基米 德的心 。 亚历 山大是 古代最 大的城 市，街 道 宽阔，建 筑宏伟
12、。线条 粗犷 、 装饰华丽 的托勒 密王宫 和公共 庙坛雄 伟 壮观。 多么能 干的亚 历山大 人 啊! 不过 ，阿基 米德没 有心思 细细观 赏，直 奔他仰 慕已久 的博物 馆。 他在天文 台会见 了日夜 思念的 科农老 人 。 重逢 的兴奋 的欢愉 是可以 想 像的。 科农让 客人早 些休息 ， 以 消除旅 途的疲劳 。 可 是阿基 米德哪 里 睡得 着! 主人刚 离开， 他就悄 悄出 门，找到 不远处 的图 书馆。看 到那 丰富的收 藏， 阿 基米德 心花怒 放。 用木 棍把一张 张纸莎 草纸卷 起来的 一卷卷珍 贵的手 抄书 ， 堆满 了一列 列高 大的书架 。 打 开一卷 ， 是希腊
13、自然哲学 家德谟 克利特 的几何 著作； 再 看一卷 ， 是欧多 克斯的 天文学 说。 啊!这些 大卷就 是欧几 里得的 几 何 原本! 阿基 米德看 着看着 ， 很快入了 神，周 围的事 物和时 光的流 逝 ，他全然 不知觉 了。 天色 已经暗 下来， 图书馆 里的读 者 走光了。 一位年 轻人热 情地 过来和阿 基米德 打招呼 。他竟 然毫无 反 应。年轻 人搭着 他的双 肩， 摇了两下 。阿基 米德才 缓缓抬 起头来 。 两人默默 地审视 着对方 。 “厄 拉多塞 ，”年 轻人爽 快地自 我 介绍。 “阿 基米德 ，刚从 叙拉古 来。” 厄拉 多塞听 了大喜 过望： “你 原来就 是科农
14、 老师多 次谈起 的 阿基米德!” 说着 和阿基 米德 紧紧拥抱 起来。 对于 好学而 热情奔 放的厄 拉多塞 ， 阿基米德 也衷心 喜爱。 两人 一见如故 ，从此 结成终 生的挚 友。 在科 农和厄 拉多塞 两位师 友的帮 助 和关怀下 ，阿基 米德开 始了 紧张而愉 快的留 学生活 。 古希腊群星璀璨 古希 腊独特 的经济 、政治 状况和 地 理环境， 使它在 文明史 上享 有不朽的 地位。 古希腊 繁荣的 科学艺 术 对西方文 化发展 影响巨 大， 在近代数 学奠基 中起着 决定的 作用。 古 希腊一批 杰出人 物功绩 辉煌 ， 名垂千古 。 阿基 米德置 身于学 术的殿 堂，在 璀 璨
15、群星光 照之下 潜心研 究， 学到了丰 富的知 识。更 重要的 是，他 博 采众长， 形成自 己的见 解、 方法和风 格。 “希 腊数学 鼻祖” 泰勒斯( 约前 624约前 547) 把几何从 测量 经验提高 为演绎 科学， 建立了 初等几 何 的一些定 理。阿 基米德 很赞 赏泰勒斯 把自己 的理论 付诸实 践：利 用 相似形概 念，测 算金字 塔高 度以及航 船和海 岸的距 离，研 究航海 技 术和贸易 经济。 泰勒斯 提出 “万物皆 为水” ， 表明他 摆脱了 宗教神 灵 观念，断 定自然 界有它 固有 的物质组 成，是 人类可 以认识 的。 科农 的同乡 ，和释 迦牟尼 、孔子 同 时
16、代的毕 达哥拉 斯(前 572 前 497)提出 “万物皆 数也” 。这听 起来 似乎过于 玄妙； 可是仔 细一 想，其中 的确蕴 涵着某 种真理 。放眼 五 彩缤纷的 世界， 哪一样 离得 开数呢?浑 圆的天 体沿着 几何轨 迹运行 。 琴弦的长 度和音 调的高 低 有一定的 比例关 系。变 幻不息 的宇宙 是 和谐的。 大自然 遵循数 学的 规律。年 轻的阿 基米德 深深地 感动了 。 毕达哥拉 斯学派 又从自 然实 体中抽象 出数和 形。正 整数不 一定是 小 石子，直 线也不 总是拉 直的 绳索。这 种抽象 使人类 对数学 认识发 生 重大飞跃 。数学 的力量 不正 在于它的 抽象性
17、吗? 毕达 哥拉斯 学派最 负盛名 的数学 成 就是首先 证明了 毕达哥 拉斯 定理： “直 角三角 形斜边 平方等 于两直 角 边平方的 和。” 这个 事实早在 1000 多年前 巴比伦 人 已经知道 。在毕 达哥拉 斯以 前 600 多年，中 国数学 家也指 出过“ 勾 三股四弦 五”的 关系。 在 中国，这 个定理 称为“ 勾股定 理” 。古 代 证明这个 定理不 容易。 据 说，毕达 哥拉斯 学派证 明它以 后，宰了 100 头牛，大 摆筵席 ，庆祝 这一人类 智慧的 伟大胜 利。从 勾股定 理 ，他们很 快发现 存在无 公度 的两线段 ，也就 是发现 了无理 数。他 们 还掌握了 黄
18、金分 割作图 和二 次方程的 图解法 ，并且 知道存在 5 种 正 多面体。 毕达哥 拉斯讲 学备 受欢迎。 当时明 令禁止 女子听 讲，可 是 常常有女 子不惜 犯禁前 来参 加。 看到 毕达哥 拉斯学 派的巨 大成就 ， 阿基米德 不禁发 出赞叹 。可 是科农老 人说： “毕 达哥拉 斯后来 在克罗 顿创立 学 园，遭到 反对派 袭击。 学园 被焚毁， 毕达哥 拉斯逃 到米太 旁顿。 但 是，他仍 旧没有 能逃脱 政敌 的追击， 公元前 497 年 在米太 旁顿被 害 。” 科农 的话引 起阿基 米德一 阵叹息 ， 他久久沉 默不语 。他联 想到 大哲学家 苏格拉 底(前 469 一前 3
19、99)， 因为政见 为统治 者所不 容， 被 迫在狱中 服毒自 杀。科 学家常 常天真 地 想逃离政 治，搞 纯粹的 学术 研究。可 是，他 们什么 时候脱 离过现 实 的政治社 会而生 活在真 空中 呢? 苏格 拉底的 大弟子 柏拉图(前 428 一前347)在自 己学园门 口立 着一块牌 子： “不 懂数学 者免进 。 ”并 且 认为， “神 永远按 几何规 律 办事。 ”这 使阿基 米德高 兴。他 尤其赞 同 柏拉图在 数学研 究中明 确 规定术语 的含义 ，指明 推理依 据的主 张 。没有“ 定义” 和“公 理” ， 一切命题 的确难 说清楚 。 阿基 米德久 闻亚里 士多德 大名，
20、但 是还没有 读过他 的著作 ， 只从亚历 山大城 的学友 言谈中 有所了 解 。亚里士 多德最 有价值 的贡 献是创立 逻辑学 。在认 识自然 过程中 ， 严密的演 绎推理 是必不 可少 的。亚里 士多德 把前人 的成果 规范化 、 系统化， 建立起 形式逻 辑体 系，影响 极其深 远。一 直到 19 世纪以 前 ，人们还 没有发 现它的 不 足。不过 对于在 西方学 术界被 认为具 有 至高无上 权威的 亚里士 多德 的世界体 系，阿 基米德 是存疑 的。他 认 为，亚里 士多德 的以地 球为 中心的宇 宙观不 如当时 亚历山 大城另 一 位学者阿 利斯塔 克的日 心学 说有道理 。后来
21、，阿基 米德不 顾亚里 士 多德的威 望有多 高，向 人们 介绍了阿 利斯塔 克的日 心说， 终于产 生 了一定的 影响， 以至于 在 1000 多年以 后，哥白 尼(14731543)建 立新的日 心说的 时候还 能 感受到它 。 比起 这些哲 学家来 ，欧多 克斯更 引 起阿基米 德的关 注。在 欧多 克斯的许 多创造 中，阿 基米德 特别推 崇 “穷竭法” 。这是 一种寻 求 图形面积 和体积 的有效 方法。 比如， 相 继作圆内 接正多 边形， 使内 接正多边 形边数 无限增 加，它 就可以 “ 穷竭”圆 的面积 。他认 为求 积问题在 生产和 生活中 有很大 的实际 意 义，所以 对
22、“穷 竭法” 的研 究特别认 真细致 。他兴 奋地告 诉厄拉 多 塞：欧多 克斯证 明了两 圆面 积比等于 半径平 方比， 两球体 积比等 于 半径立方 比；德 谟克利 特发 现棱锥或 圆锥的 体积等 于同底 同高的 棱 柱或圆柱 体积的 13 ，而证 明却 是欧多 克斯作 出的。 听了以 后， 厄拉多 塞不禁 大声地 赞叹： “真是神明一 样的人 啊!” 被亚 历山大 城莘莘 学子视 为神明 的 ，是鼎鼎 大名的 欧几里 得。 大家敬重 这位先 师，绝 不只是 因为他 是 先王托勒 密一世 召请来 的学 界领袖， 科农老 人的老 师，而 是因为 每 个人都从 他那不 朽的传 世之 作几何 原
23、本(Elements，简 称原 本 )中得到 了宝贵 的教益 。 他回覆国 王询问 学习捷 径的名 言“几 何 学中无御 道”， 使他成 为科 学和民主 的精神 领袖， 鼓舞着 后来人 继 续前进。 阿基 米德虽 然对 几何原 本13 篇 中前面许 多篇的 内容已 经比 较熟悉， 他仍然 从头读 起，而 对论述 不 可公度量 的分类 、立体 几何 和“穷竭 法”等 后面诸 篇研究 得更加 细 致。从十 几个简 单的公 设和 公理出发 ，通过 演绎推 理，建 立了 467 个命题。 这个宏 伟的理 论体 系， 虽 然还不 能说已 经锤炼 得天衣 无缝 ， 却也 严密得 难以质 疑 。 看到 演绎
24、科学 这样辉 煌的胜 利，使 阿基米 德 对未来的 科学探 索充满 信心 。 新的高峰 师承 希腊群 英，借 力于亚 历山大 博 物馆这块 学术圣 地，阿 基米 德学业有 了长足 进步。 生活充 实紧张 ， 时光似乎 流逝得 也更快 。转 瞬 3 年过去了。 从叙拉 古传来 亲人催 归 的信息。 阿基米 德捆好 一卷 卷纸莎草 纸手稿 ，和科 农、厄 拉多塞 等 师友依依 惜别。 回到 叙拉古 ，阿基 米德继 续刻苦 研 究，并且 克服种 种困难 ，和 厄拉多塞 等亚历 山大城 的学友 保持联 系 。阿基米 德研究 的捷报 频频 传到亚历 山大城 ，再慢 慢扩大 到整个 古 希腊。他 在力学
25、上的成 就， 使他的声 誉凌驾 于先哲 之上。 他的几 何 著作成为 希腊数 学的顶 峰。 他的数学 创造， 使他和 数学家 欧几里 得 齐名。阿 基米德 成为古 代科 学家的光 辉代表 。 当然 ，阿基 米德是 经过艰 苦卓绝 的 劳动，付 出毕生 心血， 才获 得辉煌成 就的。 且不说 当时已 有的知 识 是多么贫 乏，单 单考虑 到没 有印度人 创造的 阿拉伯 数码和 韦达发 展 的字母代 数，那 时数学 研 究的艰难 实在是 后人所 难以想 像的。 然 而阿基米 德有坚 强的信 念： 作为了解 未知的 手段， 数学威 力巨大 。 从经验归 纳出少 数公理 ，通 过演绎推 理，可 以得到
26、 丰硕的 成果， 乃 至建立宏 伟的体 系。殴 几里 得几何就 是一个 极好的 例证。 许多人 不 远千里到 亚历山 大城来 对它 顶礼膜拜 是不奇 怪的。 只是把 前人的 成 果接受下 来还不 够；阿 基米 德明白， 更重要 的是创 造。比 如，只 知 道圆面积 正比于 半径平 方是 不够的。 怎样确 定比例 系数， 算出圆 面 积呢?反复 琢磨以 后，阿 基 米德想出 了一个 巧妙的 方法。 他证明 了 一个圆面 积等于 一个直 角三 角形的面 积，这 个直角 三角形 的底等 于 圆周长， 相应的 高等于 圆的 半径。为 了求得 圆周长 ，他用 边数越 来 越多的内 接和外 切正多 边形
27、的周长来 逼近它 。这也 是穷竭 法的精 神 。在作了 96 边形 之后， 他终 于求得圆 周率的 近似值 。用后 世的记 法 就是： 接着他把 这个结 果写成 圆 的测定 一 文。 在 西方常 称为阿 基米德 数 的圆周率 是个 基本常 数，它 的研究 在 理论上和 应用上 都有重 要意 义。700 年以 后，中 国伟大 数学家 祖冲 之算出一 个更精 确的 值： 阿基 米德不 但解决 了圆面 积计算 问 题，而且 找到了 已知三 边求 三角形面 积的方 法，后 人把它 写成： 并且称它 为希罗 公式(阿 基米德 在天之 灵 对这个误 会恐怕 不会很 介 意，因为 他关心 的是求 积的实 用
28、价值 ， 而不是个 人的声 望)。球 的 面积和体 积计算 ，特别 引起阿 基米德 的 注意。在 研究过 程中， 阿基 米德发现 ，球的 外切圆 柱的体 积和表 面 积，球的 体积和 表面积 ，它 们的对应 的比都是 3 ：2。啊 ，多么 巧! 他十分欣 赏这个 结果， 甚至 希望将来 在他的 墓碑上 刻出这 个定理 。 阿基米德 在他有 名的 论球 和圆柱 一文中 把“两 点之间 的连线 中 以直线为 最短” 作为第 一公 理，论证 了球的 面积等 于它的 大圆面 积 的 4 倍等。 学习 欧几里 得的 二次曲 线 ，使 阿 基米德对 圆锥曲 线产生 浓 厚兴趣。 不久， 他得到 了椭圆 的
29、面积 公 式。用后 世的记 法，当 椭圆 长半轴和 短半轴 分别为 a 和 b 时，面 积 S= ab 功夫 下得越 深，本 领越发 高超。 最 为后人称 道的是 他对抛 物线 弓形的研 究。阿 基米德 把平面 图形看 做 由有重量 的直线 组成的 平板 ， 直线的重 量和它 的长度 成正比 。这样 ， 图形的面 积就要 适合杠 杆定 律确定的 平衡条 件。他 用这种 独创的 力 学方法求 得抛物 线弓形 的面 积。不过 ，他认 为这不 算严格 的几何证 明。他 再施展 拿手的 穷竭法， 用一系 列三角 形的和 去逼近抛 物线弓 形的面 积(如 右图) ， 这些 三角形 面积构 成一个公 比
30、为 14 的等比数 列 。 最后 ，他 用间接法论证了抛物线弓形面积就等于第一个三角形面积的 4 3 倍； 这 第一个三 角形是 以弓形 的弦的 两 端为两个 顶点， 过弦的 中点作 抛物线对 称轴的 平行线 ， 平行 线和抛 物 线的交点 就是第 三个顶 点。 这 个证明成 为穷竭 法的光 辉典范， 在 许多 书上被复 述。 如果 不用积 分法， 即使在 20 世 纪，解 答这个 问题也 不大 容易。在 给出提 示以后 ，它被 作为难题 ，出现 在 1965 年 我国高 等学 校入学统 一考试 数学试 题的最 后。 阿基 米德把 力学方 法的探 求和穷 竭 法、 间 接法证明 都记录 在 抛
31、 物线面积 的求法 一书 中。 他用力 学方 法还发现 了有关 球台和 其他旋 转面的一 些定理 。 他认 为这是 发现几 何 定理有效 而新颖 的方法 ， 专门 写了方 法一 文来介 绍。他 写信给 厄 拉多塞说 ： “我 相信这 个方法 会对数 学起不 小 的作用 。 一旦这 个方法 确 立之后， 有些人 ， 或者 是我的 同时代 人 ， 或者是 我的后 继者， 就会利 用这个方 法发现 一些我 所没有 想到的 定 理。 ” 为了 纪念和 厄拉多 塞的友 谊，阿 基 米德在 方法 一文前 题字，把它献给 这位终 生的至 交。 接着 ，阿基 米德又 致力于 等速螺 线 的数学研 究。后 世的
32、青 少年 在学习解 析几何 的时候 ，知道 这种“ 阿 基米德螺 线”在 特定的 极坐 标系的方 程为=a +0 没有拦住 他求出 螺线弧 所围的 面积。 在 论螺线 中 ， 阿基 米德证 明 了螺 线P=a 的第一圈 和初始 线所围 面积为 4/3 。 阿 基米德 那 时候还不 知道极 坐标 ， 但是 这 3 a 2“天 上的星 星有多 少?”阿 基米德 小 时候也和 许多孩 子一样 想到 ；他还求 出了 过 螺 线上任一 点的切 线。阿基 米德螺 线在后 来的机械 设计中 有广泛 应 用，促进 了自动 化技术 的发展 。 过这个问 题。后 来，他 懂得许 多星星 和 地球一样 ，它们 本身
33、不 发光 ， 也是由沙 土组成 的。他 结合对 很大数 目 的记法研 究，探 讨宇宙 间沙 粒数目的 问题。 在沙 粒的计 算一 文 中，阿基 米德提 出一个 特大 数字的记 数方案 ，表明 可以把 数写得 大 到不受限 制的思 想，实 质上 是无限的 概念。 在这篇 文章中 还表明 了 把同底的 幂相乘 化为指 数相 加的思想 ，这种 认识促 进了 16 世纪英 国 数学家纳 皮尔(15501617) 对数的发 明。 阿基 米德的 作品总 是把数 学研究 和 自然探索 联系在 一起， 这个 特点在几 何和力 学中尤 其鲜明 。它们 当 之无愧地 被奉为 古代数 学和 物理学的 经典。 阿基
34、米德取 得的成 就是空 前的。 他 付出的劳 动，他 的钻研 精神 ， 也远非常 人可比 。人们 通常用 “入迷 ” 来形容一 个人热 爱和专 注于 一项活动 ，用这 两个字 来形容 阿基米 德 的研究情 景是最 恰当不 过了 。 在海边， 他无心 观赏大 海和日 出；他 把 沙滩当纸 ，用木 棍或手 指作 笔，来探 索自然 的奥秘 。他坐 在篝火 前 ，把灰扒 出来， 在上面 算算 画画，没 有留意 用来取 暖的火 已经熄 灭 。每次洗 完澡， 他不急 着穿 衣，而忙 着用手 指在自 己抹了 橄榄油 的 皮肤上打 起草稿 来。他 完全 沉浸在不 断的自 然探索 中了。 对于 阿基米 德，数
35、学研究 是认识 和 改造自然 的强有 力的工 具， 也是一种 享受， 一种对 美好理 想的追 求 。在离别 亚历山 大城以 后， 数学研究 还寄托 着他对 师友们 的思念 。 有一次， 他想出 了一道 有趣 的“分牛 问题” ， 把它献 给厄拉 多塞。 这 道有名的 “阿基 米德分 牛 问题”一 直流传 下来， 后人还 把它改 写 成韵文形 式，显 得格外 优 美。它被 20 世纪 德国数 学家海 因里希 德里收进 他那著 名的习 题集 数学的 凯旋 理论物理的缘起 阿基 米德不 愿意也 不可能 徜徉在 纯 粹数学的 园地之 中。他 不可 避免地要 为生活 中的实 际问题 备受折 磨 和困扰，
36、 同时也 就在生 活中 得到升华 。 一天 ，阿基 米德正 在家中 思索物 体 平衡问题 ，忽然 希伦王 召他 进宫，要 他设法 解决造 船工地 上发生 的 麻烦。原 来，希 伦王为 了和 外国的大 航船媲 美，下 令建造 了一艘 富 丽堂皇的 大游船 。不知 是因 为船太重 还是别 的什么 缘故， 竞没法 使 船下水。 有人建 议快请 大学 者阿基米 德来解 决这个 困难， 别让外 国 人看笑话 。 阿基 米德到 工地一 看，船 是仿照 迦 太基人的 五层橹 船造的 ，真 是大得惊 人。船 底的垫 木都撤 了，船 却 没有滑下 去。工 头们愁 眉不 展地陪着 阿基米 德观察 ，还不 时地诉
37、说 着他们的 委屈。 希伦王 不但 当众斥责 了他们 ，还声 言问题 不解决 就 要问罪。 阿基米 德一边 安慰 他们，一 边询问 他们对 下水方 案的意 见 。经过两 天思考 ，阿基 米德 拟就了拖 船下水 的方案 ：一面 用一套 巨 大的滑轮 装置拖 曳，一 面用 一组杠杆 撬起船 身，在 船底放 置滚木 。 工匠们一 听阿基 米德有 了好 办法，立 刻按照 他的吩 咐准备 起来。 希 伦王也选 择好黄 道吉日 ，邀 请叙拉古 的显贵 和外宾 前来参 加大游 船 下水仪式 。 这一 天，海 岸高处 挤满了 看热闹 的 人。虽然 在盛夏 的骄阳 下闷 热异常， 大家仍 然兴致 很高。 众人的
38、 目 光都盯着 阿基米 德和协 助他 的工匠。 开始了! 一大排 杠杆撬 起了船 身 ，一根根 圆木垫 在船底 下。 几大车圆 木垫完 以后， 阿基米 德把壮 工 组成 10 队，分赴 大船两 侧的 滑轮组。 看，阿 基米德 举起手 臂。大 家 都屏住了 气。只 见他手 臂一 挥，壮工 们一齐 用力扳 动长长 的手柄 。 奇迹发生 了!伴随 着愈来 愈 响的圆木 滚动的 隆隆声 ，大船 像一座 巍 峨的宫殿 那样， 徐徐地 滑人 了地中海 的怀抱! 啊， 阿基米 德，阿 基米德! 人民向 你 欢呼，人 民为你 骄傲!希 伦王也随 着群众 的欢呼 声高喊 ： “阿 基米德 了不起! 英雄!” 阿
39、基 米德虽 然事先 估计船 能够下 水 ，但是， 当他看 到那庞 然大 物果真动 了起来 ，在一 刹那间 ，科学 的 威力创造 的奇迹 ，这样 活生 生的，以 波澜壮 阔的场 面和排 山倒海 的 气势呈现 在他的 面前， 他仍 然感到非 常激动。 在长 期思索 和多次 实验的 基础上 ， 阿基米德 接连写 出了 论平 面板的平 衡或平 面的重 心 、 论杠杆 和论重 心等 著作。 论 平面板的 平衡或 平面的 重心 一直流 传 下来，在 书中他 提出了 著名 的杠杆原 理。对 于力学 中这个 简单而 又 重要的原 理，他 有一句 形象 生动的名 言： “如 果给我 立脚的 地方， 我可以 把
40、地球撬起 来!” 阿 基米德 并不知 道，在 他以前 200 多年，中国 的墨 经上 已经载 有这个 原理。 在 论 平面板 的 平衡或平 面的重 心 中 ， 阿基 米德仿 照 几何原 本 建立了 静力学 体系， 并且给 出一些 图形的 重 心的确 定方法 。 大船 下水没 有费阿 基米德 多大力 气 ；希伦王 新的麻 烦可难 为了 阿基米 德。 希 伦王为 了炫耀 自己的 富 贵， 让 工匠做了 一顶纯 金的王 冠。 他戴上 纤巧悦 目的王 冠， 得意非 凡。 可 是工匠 在领赏 的时候 神 色异常 ，希伦 王不觉 起了疑 心：“那家伙 落了我 的金子 没有 ?” 大 臣们合计 了半天 ，
41、谁 也解不 开这个 疑案 。 于是 ， 阿基米 德又被 召进 宫来， 要他在 不损坏 王冠的 前提下 ， 查 明金冠是 不是掺 了假 。 阿基 米德一听 ， 意识 到这是 个棘手 的难题 。 当时人们 还没有 密度和 比重 这些概念 ， 只是 朦胧地 觉得同 样大小 的 铁块比木 块重些 。 阿基 米仔细地比较 以后明 确了 ， 同样 体积的 金块 比银块重 。 这 样 ， 如果 能算 出王冠 的体积 ， 和相 等重量 的金块 的 体积比较 ， 就可 以知道 金冠是 不是掺 了银。 问题似 乎又回 到他熟 悉 的体积计 算问题 。 他觉 得有希 望了 。 但是 王冠的 形状实 在太复 杂。 他
42、给出许 多种几 何分析 ， 都 得 不出精 确的结 果。 当然 ， 把王 冠砸碎 ， 马上 可以得 到希伦 王所要 的 答案 。 国王 不许这 样做 ； 阿基 米德也 不愿意这 样做 。 这个 问题关 系 到他所 偏爱的 复杂形 体的体 积计算 。 老实说 ， 问题 愈复杂 ， 研究起 来愈有 意思 。 阿基 米德夜 以继日 地冥 思苦想 ， 试验 各种测 算 。 为了 做完一 次测算 ， 常 常废寝 忘食 。 家里 人为他的 健康十 分担忧 ， 不 得 不强制 他睡眠 、进食 以至沐 浴。 那 天， 阿 基米德 又被 “ 拽” 进澡 堂。 服侍 他的小 伙子想 让这位 大学者 洗好澡， 特地
43、准 备了满满 一澡 盆热水。 对 小伙子 热情的 招呼， 阿基米 德报以 微微一 笑。 他 看着热 气 腾腾的洗 澡水， 精神恍 惚地坐 了进去 。尽管 动作缓 慢，水 还是溢 了 出来。随 着身体 浸没得 愈多 ， 溢出的 水也愈 多。 阿基米 德看着 不断 流出的水 愣住了 。 突 然 ， 他眼 睛一亮 。啊， 有啦， 有啦!他 蓦地从 浴 盆里一跃 而起， 顾不得 穿戴 完毕就 往家跑 ， 小伙 子想阻 拦也来 不 及。 路 人都吃惊 地看着 这个着 魔似飞 奔的学 者，只 见他一 边跑一 边 呼喊： “ , !” 这句 希腊话 的意思 就是： “找 到啦， 找到啦!” 原来 ，不论 形
44、状多 么复杂 的物体 ， 浸入水中 ，它排 开水的 体积 总等于 浸入水 中的体 积。 排 出的水 的 体积是好 算的。 这样不 就可以 知道王冠 的体积 了吗? 希伦 王听明 白阿基 米德说 明以后 ， 拿出和王 冠同等 重量的 金块 。 阿基米德 拿来一 只瓦罐 和两个 盘子。 两 次把瓦罐 装满水 ，分别 把王 冠和金块 放进去 ，把溢 出的水 盛在不 同 的盘子里 。结果 发现王 冠比 金块排出 的水多 。这说 明王冠 体积比 等 重的金块 体积大 。因此 阿基 米德断定 ，金冠 中一定 掺了假 。在事 实 面前，承 制王冠 的工匠 只得 低头认罪 。 王冠 掺假问 题的解 决，使 阿
45、基米 德 获得了确 定复杂 形体体 积的 “非数学 ”方法 ，并且 实质上 得到了 物 质“比重 ”的概 念。阿 基米 德没有就 此止步 。他把 物体浸 入水中 现 象的分析 和过去 重船漂 浮原 因的探索 联系起 来。终 于发现 了一条 普 遍规律： 物体 在流体 中受到 的浮力 等于它 所 排开的同 体积的 流体的 重量 。 这就 是著名 的阿基 米德定 律。这 是 一个定量 的精确 关系， 被人 们称誉为 理论物 理的第 一律。 这样 ，阿基 米德不 但透彻 地解释 了 重船不沉 的道理 ，还能 科学 地计算出 船只安 全的载 重量。 回到王 冠 问题，阿 基米德 还可以 通过 比较王冠
46、 和金块 浸没在 水中各 自的失 重 ，来确定 王冠是 不是掺 了假 。 阿基 米德把 他开创 的流体 静力学 研 究结果写 入另一 卷名著 论 浮 体 中 。 在书中 ， 阿 基米德 有条不 紊地 证明了阿 基米德 定律。 即使经 过了 2000 多年， 今天的 物理学 家仍然 认 为他的证 明是完 全正确 的。 保卫叙拉古 希伦 王不仅 由于阿 基米德 解决了 他 的王冠难 题感到 高兴， 更因 为发现他 的学者 具有非 凡本领 而欣喜 。 阿基米德 的确非 同寻常 ；一 般人办不 到的事 情，他 都圆满 地一一 完 成了。怪 不得连 亚历山 大城 的学者们 都那样 佩服他 ，经常 来信向
47、 他 请教。希 伦王知 道技术 发明 在战争中 的作用 。在第 一次布 匿战争 中 ，罗马海 军因为 制造了 “乌 鸦座”吊 桥，搞 接舷战 ，发挥 他们的 步 兵优势， 战胜了 迦太基 的强 大的海军 。他知 道，夹 在好斗 的罗马 人 和迦太基 人之间 ，他的 城邦 随时都有 被侵袭 的危险 。在享 乐的喧 闹 停止以后 ，他不 免暗暗 发愁 。 于是，他 再一次 把他的 “智多 星”请 来 ，要阿基 米德为 叙拉古 设计 防御的武 器。 怎样 为保卫 叙拉古 出力， 阿基米 德 早有考虑 。他知 道罗马 元老 院和迦太 基政治 寡头同 样贪婪 和互相 仇 视。他们 欺骗自 己的民 众，
48、进行无休 止的劳 民伤财 的战争 。第一 次 布匿战争 打了近 30 年。 统治 者丝毫不 为百姓 生命财 产受损 失而内 疚 ，却更滋 长了掠 夺的欲 望， 疯狂地宣 传复仇 思想。 战争随 时可能 爆 发。叙拉 古夹在 中间， 形势 岌岌可危 。阿基 米德决 心竭尽 自己的 智 慧和力量 保卫叙 拉古。 紧张 的设计 工作开 始了。 图样一 张 张画出来 。一种 新奇的 威力 巨大的投 石装置 的图样 完成了 。保卫 叙 拉古免遭 外敌掳 掠的决 心， 以及阿基 米德设 计的新 奇巧妙 ，大大 激 发了工匠 们的劳 动热情 。新 武器以前 所未有 的速度 生产出 来。希 伦 王命令他 的臣
49、民 们把武 器保 养好 ， 并且挑 选出一 批批青 壮年进 行 训练， 使他们熟 练掌握 武器使 用的技 能，随 时准备 对付外 敌入侵 。 老希 伦王没 有等到 第二次 布匿战 争 爆发就死 了。 公元前 218 年， 罗马人 违约干 涉他们 势力范 围以外 的 事务， 迦太基 统帅汉 尼拔立 即 越过阿 尔卑斯 山，从 北面侵 入意大 利 ，所向披 靡。公 元前 216 年， 坎尼一 役完全 摧毁了 瓦罗率 领的一 支 罗马军队 。 在 罗马人 连吃败 仗 的形势 下， 意 大利南 部和西 西里岛 一 些城邦纷 纷脱离 罗马， 归附汉 尼拔 。 长期苦 于罗马 横征暴 敛的叙 拉 古贵族 ， 也怂恿 年轻的 国王希 罗尼木 斯脱离 罗马， 和 迦太基结 盟。 这 招致罗马 军团的 大规模 进攻。 罗马人 并没有 一直溃 败下去 。 庞 大的 罗马军队 缓慢而 成功地 封锁和 围困迦 太基人 ， 同时 攻击叙 拉古这 个 影响最大 的城邦 ， 以遏 止属地 叛离的 势头。 罗 马名将 马塞卢 斯从海 陆两路 围 攻叙拉古 。面对 强大的 敌人 ， 叙拉古上 下都把 希望寄 托在阿 基米德 的 “机
