1、! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !“! 师 联 题 库 中 外 高 考 及 重 要 竞 赛 试 卷数 学 卷（!）数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧北 京 师 联 教 育 科 学 研 究 所 编学 苑 音 像 出 版 社责 任 编 辑 ： 许 飚封 面 设 计 ： 师 联 平 面 工 作 室中 外 高 考 及 重 要 竞 赛 试 卷数 学 卷 （ ）数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧北 京 师 联 教 育 科 学 研 究 所 编
2、学 苑 音 像 出 版 社 出 版 发 行（ ： 北 京 市 朝 阳 区 三 间 房 邮 局 号 信 箱 ） ： ： （ 带 ） （ 带 ） ： ： 北 京 市 社 科 印 刷 厂 印 刷 年 月 印 刷开 本 ： 印 张 ： 字 数 ： 千 字 本 书 碟 元本 书 如 有 印 刷 、 装 订 错 误 ， 请 与 本 社 联 系 调 换 中 外 高 考 及 重 要 竞 赛 试 卷 全 析 全 解 !出 版 说 明没 有 不 考 试 的 学 习没 有 不 解 题 的 考 试考 试 永 远 是 指 挥 棒解 题 是 课 堂 学 习 的 基 本 形 式课 堂 教 学 主 要 是 围 绕 解 决 问
3、 题 来 进 行 的 。 教 学 的 组 织 形 式 、 课 堂 调 控 、 课 堂 操 作 程 式 、 教 学 的设 计 、 课 堂 评 价 等 ， 最 后 都 要 围 绕 问 题 解 决 来 进 行 。 只 有 围 绕 解 决 问 题 的 思 路 来 进 行 课 堂 学 习 ， 才能 使 课 堂 教 学 过 程 达 到 最 优 化 。解 题 是 课 堂 学 习 的 主 要 内 容课 堂 学 习 的 目 的 ， 都 是 要 解 决 现 实 和 理 论 中 的 问 题 ， 尤 其 是 课 程 学 习 ， 是 学 习 与 讲 授 经 过 高 度提 炼 的 系 统 化 、 规 范 化 的 问 题
4、为 中 心 的 知 识 体 系 。 所 以 ， 课 堂 学 习 的 主 要 内 容 就 是 需 要 解 决 “ 不 懂 ”的 问 题 ， 问 题 解 决 是 教 与 学 的 主 要 内 容 。解 题 是 课 堂 学 习 的 存 在 目 的从 教 与 学 的 目 的 在 本 质 上 的 联 系 来 看 ， 不 管 是 教 还 是 学 ， 都 是 要 弄 懂 未 知 的 世 界 ， 也 就 是 说 ， 解决 旧 问 题 ， 提 出 新 问 题 ， 再 解 决 问 题 ， 再 提 出 新 问 题 ， 是 科 学 学 习 的 永 无 止 境 的 无 限 循 环 过 程 ， 除 此以 外 ， 课 堂 学
5、 习 不 可 能 有 其 它 目 的 。解 题 是 课 堂 学 习 的 兴 奋 中 心根 据 人 的 思 维 和 创 造 活 动 的 本 质 和 规 律 ， 人 的 学 习 和 创 造 只 有 面 对 问 题 的 时 候 ， 才 是 最 活 跃 、最 兴 奋 、 最 激 荡 、 最 能 闪 现 火 花 的 时 候 ， 创 造 就 是 在 激 烈 的 矛 盾 交 错 中 出 现 的 。 解 决 问 题 ， 使 人 的 思维 和 创 造 潜 能 得 以 充 分 发 挥 ， 以 问 题 解 决 的 形 式 激 励 人 的 思 维 活 动 和 创 造 才 能 是 最 为 有 效 的 。 所以 ， 抓
6、住 问 题 进 行 学 习 是 最 为 直 接 的 。 高 效 地 解 决 问 题 的 那 份 理 知 的 享 受 和 自 信 ， 是 使 每 个 学 习 者不 断 探 索 向 前 的 最 有 效 的 动 力 。所 以 ， 自 古 至 今 的 学 习 ， 尤 其 是 课 堂 学 习 中 ， 没 有 不 考 试 的 学 习 ， 没 有 不 解 题 的 考 试 ， 考 试 永 远是 指 挥 棒 。事 实 上 ， 我 们 的 每 届 考 生 和 长 期 组 织 指 导 考 试 的 毕 业 班 教 师 都 有 这 样 的 体 会 ： 尽 管 考 前 经 过 了精 心 的 准 备 ， 可 以 说 能 想
7、 到 的 都 想 到 了 ， 能 找 到 的 试 题 设 计 方 式 和 试 题 都 训 练 过 了 ， 各 种 各 样 的 解题 思 路 、 策 略 、 方 法 、 技 巧 都 准 备 了 ， 但 一 上 考 场 ， 面 对 试 卷 却 仍 然 感 到 新 鲜 、 兴 奋 、 刺 激 ， 甚 至 有 点 茫然 和 措 手 不 及 ， 而 绝 少 似 曾 相 识 感 ， 甚 至 重 复 感 ， 这 就 是 因 为 中 外 高 考 和 重 要 的 国 际 竞 赛 上 的 这 些试 题 ， 是 经 过 考 试 专 家 和 教 育 专 家 ， 按 照 试 题 本 身 的 内 在 规 律 和 要 求
8、进 行 严 肃 认 真 和 科 学 的 设 计 出来 的 ， 这 些 经 历 了 许 多 智 慧 的 头 脑 检 验 、 设 计 、 思 考 、 又 见 过 世 面 、 上 过 大 堂 ， 经 受 过 严 格 实 践 检 验 的试 题 ， 以 其 权 威 性 和 科 学 性 ， 即 使 多 少 年 以 后 来 做 ， 仍 然 感 到 新 鲜 、 精 致 、 巧 妙 ， 其 原 因 正 在 于 此 。!目 前 ， 社 会 上 见 到 的 “ ! !秘 卷 ” ，“ ! !中 学 绝 秘 ”“ ! !学 校 高 分 宝 库 ”“ ! !学 校 高 分 突 破 ” 等以 及 大 量 的 同 步 训
9、练 题 海 试 卷 ， 令 人 目 不 暇 接 ， 眼 花 缭 乱 ， 存 在 严 重 的 泛 滥 、 粗 糙 、 炒 作 、 混 乱 和 不 负责 任 的 粗 制 滥 造 的 问 题 ， 其 危 害 在 于 ：一 是 徒 然 增 加 学 生 的 训 练 量 和 教 师 的 教 学 工 作 量 ， 因 为 这 些 题 层 出 不 穷 ， 又 无 权 威 性 ， 师 生 怵于 顾 此 失 彼 ， 挂 卜 一 漏 万 ， 只 好 尽 其 所 及 ， 尽 量 搜 索 以 资 训 练 ， 以 侥 幸 上 场 时 能 如 期 而 遇 ；二 是 这 些 题 卷 本 来 自 个 别 学 校 、 个 别 教
10、师 的 教 学 实 践 ， 甚 至 是 平 时 的 教 学 练 习 ， 没 有 权 威 性 ， 也没 经 过 科 学 的 设 计 ， 因 而 也 不 典 型 ；三 是 大 量 试 题 是 个 别 教 师 ， 甚 至 不 是 教 师 的 人 ， 仅 仅 为 了 出 卷 的 经 济 利 益 ， 从 市 场 上 大 量 的 试卷 中 东 拼 西 凑 ， 剪 刀 加 浆 糊 拼 传 而 来 ； 更 有 甚 者 ， 怕 出 版 者 看 出 破 绽 ， 小 视 作 者 ， 故 意 将 题 的 来 处 隐没 ， 改 头 换 面 ， 更 改 参 数 、 条 件 ， 使 试 题 本 身 的 交 度 、 信 度
11、、 难 度 完 全 失 真 ， 失 去 了 其 训 练 价 值 。 用 这种 试 题 训 练 学 生 ， 就 相 当 于 用 篮 球 去 训 练 排 球 队 员 ， 表 面 上 看 似 乎 无 碍 ， 甚 至 认 为 增 加 了 训 练 难 度 ，实 际 上 场 时 则 犯 规 的 多 。北 京 师 联 教 育 科 学 研 究 所 组 织 大 批 专 家 及 一 线 师 编 辑 本 书 ， 就 是 要 为 高 考 解 题 及 教 学 树 立 一个 权 威 ， 建 立 一 个 严 肃 和 科 学 的 样 本 和 题 库 。 主 要 做 了 以 下 几 方 面 的 工 作 ：“# 对 国 内 外
12、近 几 十 年 的 高 考 及 国 际 上 的 重 要 竞 赛 试 卷 进 行 搜 索 陈 列 和 解 析 ， 并 附 标 准 参 考 答案 及 评 分 标 准 。$# 对 近 二 十 年 国 内 外 高 考 及 国 际 重 要 竞 赛 试 题 ， 根 据 当 年 考 试 的 具 体 情 况 ， 进 行 评 价 、 分 析 、解 答 ， 包 括 解 题 的 思 路 、 原 则 、 策 略 、 方 法 、 技 巧 、 失 误 等 。%# 重 点 对 近 十 年 内 尤 其 是 近 年 国 内 外 高 考 及 国 际 重 要 竞 赛 试 卷 ， 除 解 析 答 案 评 分 标 准 ， 介 绍解 题
13、 思 路 与 方 法 外 ， 尤 其 从 考 试 科 学 的 角 度 ， 对 其 难 度 、 效 度 、 信 度 、 进 行 分 析 、 解 答 、 并 分 析 具 体 试题 的 设 计 思 想 思 路 ， 考 查 的 知 识 范 围 、 目 的 、 能 力 和 智 力 因 素 、 非 智 力 因 素 以 及 当 年 一 线 教 师 的 反映 、 失 误 及 国 家 考 试 中 心 等 权 威 部 门 的 评 价 等 。以 上 工 作 使 本 书 具 有 毋 庸 置 疑 的 全 面 性 、 完 整 性 、 科 学 性 、 严 肃 性 和 实 用 性 ， 作 为 应 对 高 考 教 学和 训 练
14、 的 工 作 用 书 ， 相 信 本 书 能 成 为 工 作 在 高 考 一 线 的 教 师 和 准 备 进 场 学 生 的 得 力 助 手 。 尤 其 是其 中 大 量 的 国 外 试 题 ， 其 设 计 之 精 巧 ， 试 卷 之 精 练 、 简 洁 清 新 和 灵 致 ， 给 我 们 留 下 了 深 刻 的 印 象 ， 这对 于 中 国 教 育 在 逐 步 开 放 中 ， 了 解 国 外 的 教 学 考 试 及 学 生 学 习 的 情 况 ， 促 进 素 质 教 育 中 的 考 试 工 作的 改 进 ， 都 有 更 直 接 的 参 考 和 操 作 意 义 。$目 录高 考 数 学 解 答
15、 题 的 思 维 策 略 及 应 试 技 巧 （ !） 高 考 题 型 及 解 题 策 略 （ “） 数 学 解 题 要 处 理 好 八 种 辩 证 关 系 （ #） 解 答 高 考 数 学 题 十 戒 （ $） 高 考 数 学 选 择 题 的 解 题 思 路 、 常 用 方 法 与 技 巧 （ %） 数 学 竞 赛 中 参 数 范 围 问 题 的 求 解 方 法 （ !年 全 国 高 考 题 ）证 明 ： 在 （ (，“-） 内 作 # :+$的 图 象 ， 如 图(（ $， (） ， *（ $-， (） ， 过 (、 *作 (+、 *,垂 直 于 $轴 ， 分 别 交 于 ,（ $-， )
16、（ $-） ） ， +（ $， )（ $） ） 过 线段 (*的 中 点 -（$7 $-， (） 作 $轴 的 垂 线 ， 分别 交 函 数 图 象 及 线 段 ,+ 于 .（$7 $-，)（$7 $-） ） 和 /（$7 $-，)（ $） 7 )（ $-）-） ，则 有 -/ #$- )（ $） 7 )（ $-） ， -. #)（$7 $-） ， 显 然 -/ -.% 故 原 式 成 立 %6% 换 元 引 参 ， 桥 梁 过 渡通 过 换 元 或 引 参 ， 以 新 变 量 或 参 数 为 桥 梁 ，借 助 它 们 之 间 的 关 系 ， 可 使 问 题 便 于 求 解 %例 . 对 所
17、有 实 数 $， 不 等 式 $-)*+-;（ “ 7$）“7-$)*+-“ 7$7)*+-（ “ 7$）-;“- (恒成 立 ， 求 “的 取 值 范 围 % （ .9年 全 国 高 考 题 ）此 题 按 常 规 思 路 去 解 比 较 繁 杂 % 若 用 新 变数 （ “ 7$）“# “, “-#,-（ “, *4 ,%081即 5%)（ (）%081上 述 错 误 的 起 因 是 错 用 性 质 * +， , 1#* 4 , + 4 11正 确 方 法 是 ： 40A!得0%, 4 *%51$“.$得 2%*%(12%8*%081%?(且 %!“） 的 单 调 性 比 较 !9 # 8（
18、“#）$是 减 函 数 ，又“15#1:（“#）#15（“#）“1， 排 除/!选 0!例 1 函 数 # 8 $% ,-; !)， ; .-; !“.#; ,.; !“， 于 是 /,.!（*)） 2BC !“.*故 选 （ ,） +例 “A 已 知 过 球 面 上 .、 0、 -三 点 的 截 面 和 球.“$数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧心 !的 距 离 等 于 球 半 径 的 一 半 ， 且 “#! #$! $“!“，则 球 面 面 积 是 （ ） #（ $）% “$要 使 其 前 # 项 和 最 大 ， 当 且 仅 当!# “，!#2%;“$得 # /
19、%!+#$-%数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧这 实 质 是 对 !作 估 值 !继 续 进 行 近 似 计 算“#$%&“()*!*)(%+，从 而 ! & *“!即 前 *“项 的 和 的 值 最 大 ， 有“*“&#*, #*“%-*“& .-（ “/*)%#$%）!*“()!这 里 保 留 了 “位 有 效 数 字 ， 全 是 准 确 值 !若 先 求 和 ， 对 “!作 估 值 也 可 以 ， 但 稍 微 麻烦 !例 0 （ *+“年 第 （ *)） 题 ） 已 知 球 面 上 $， %， &三点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 等 于 球 半 径
20、的 一 半 ， 且 $% &%& & &$ & %， 则 球 面 面 积 是 （ ）（ 1）*2+!（ 3）0)!（ 4） “!（ 5）2“+!解 先 算 出 球 的 半 径 ， 然 后 求 球 面 积 是选 择 题 的 “ 小 题 大 做 ” ， 其 实 对 作 估 值 即 可 排除 三 个 选 择 支 !由 于 不 小 于“$%&的 外 接 圆 半 径#% )，故 得 “ & “!$“!（#% )）%&*2)! 但 （ 1） ，（ 3） ，（ 4） 的 值 都 小 于*2)!， 故 选 （ 5） !通 过 估 值 而 求 解 叫 做 解 选 择 题 的 “ 特 征 分析 法 ” ， 它 将
21、 估 算 素 质 升 华 为 解 题 能 力 ， 是 估 算功 能 的 一 个 新 开 发 !高 考 数 学 数 列 、 极 限 、 数 学 归 纳 法的 内 容 与 题 型 结 构数 列 、 极 限 、 数 学 归 纳 法 是 中 学 数 学 的 重点 内 容 ， 也 是 历 年 会 考 、 高 考 的 重 点 !其 主 要 内容 ：（ *） 数 列 、 等 差 数 列 及 其 通 项 公 式 ， 前 !项和 的 公 式 、 等 比 数 列 及 其 通 项 公 式 、 前 !项 和 的公 式 ；（ %） 数 列 的 极 限 及 其 四 则 运 算 ；（ )） 数 学归 纳 法 及 其 应 用
22、 (通 常 考 试 要 求 ：（ *） 理 解 数 列 的 有 关 概 念 ， 了 解 递 推 公 式是 给 出 数 列 的 一 种 方 法 ， 并 能 根 据 递 推 公 式 写出 数 列 的 前 6项 ；（ %） 掌 握 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 概 念 、 通项 公 式 ， 前 !项 和 的 公 式 ， 并 能 够 运 用 这 些 知 识解 决 一 些 问 题 ；（ )） 了 解 数 列 极 限 的 意 义 ， 掌 握 极 限 的 四则 运 算 法 则 ， 会 求 公 比 的 绝 对 值 小 于 *的 无 穷等 比 数 列 前 !项 和 的 极 限 ；（ “） 了 解 数
23、学 归 纳 法 的 原 理 ， 并 能 用 数 学归 纳 法 证 明 一 些 简 单 问 题 (高 考 的 核 心 要 求 是 考 基 础 知 识 ， 考 能 力 (例 * （ *+“全 国 高 考 题 ） 设 #! 是 正 数 组 成 的数 列 ， 其 前 !项 和 为 “!， 并 且 对 于 所 有 的 自 然 数 !， #!与 %的 等 差 中 项 等 于 “!与 %的 等 比 中 项 !（!） 写 出 数 列 #! 的 前 )项 ；（“） 求 数 列 #! 的 通 项 公 式 （ 写 出 推 证 过 程 ） ；（#） 令 (!&*%#!,*#!,#!#!,( )*（ !%)） ， 求#
24、78!&9（ (*, (%, (), (!/ !） !本 题 考 查 等 差 数 列 、 等 比 数 列 、 数 列 极 限 等基 础 知 识 (例 % （ *+*“ 三 南 ” 高 考 题 ） 设 等 差 数 列 #! 的公 差 是 *， 如 果 它 的 前 !项 和 “!&/ !%， 那 么 ：（ 1） #!& %!/*， * &/%（ 3） #!& %!/*， * & %（ 4） #!&/%!,*， * &/%（ 5） #!&/%!,*， * & %!该 题 考 查 公 差 的 概 念 及 #!与 “!的 关 系 !例 ) （ *+) 全 国 高 考 题 ） 已 知 数 列0 *% )%
25、，0 %)% :%， ，0!（ %!/*）%（ %!,*）%， ， “!为 其 前 !项 和 ，计 算 得 ： “*&0+， “%&%“%:， “)&“0“+， “&00*， 观 察 上述 结 果 ， 推 测 出 计 算 “!的 公 式 ， 并 用 数 学 归 纳 法 加 以证 明 (本 题 考 查 观 察 、 分 析 、 归 纳 的 能 力 和 数 学 归 纳 法 (例 “ （ *+广 东 高 考 题 ） 已 知 数 列 #! 的 前 !项和 的 公 式 是 “!&!*%（ %!%, !） !（ *） 求 证 #! 是 等 差 数 列 ， 并 求 出 它 的 首 项 和 公%中 外 高 考
26、及 重 要 竞 赛 试 卷 全 析 全 解差 ；（ !） 记 !“ #$%#“ #$%#“& #$%#“&!， 求 证 ： 对 任 何自 然 数 “， 都 有 !“!(（ )）“)*该 题 考 查 数 列 和 三 角 函 数 的 基 础 知 识 ， 以及 运 算 能 力 和 综 合 分 析 能 力 *例 + （ ,(,上 海 高 考 题 ） 已 知 等 比 数 列 #“ 的首 项 #- .， 公 比 $ -)且 $“.， 设 数 列 !“ 的 通项 !“ #“&#“&!（ “#%） ， 数 列 #“ 、 !“ 的 前 “项的 和 分 别 记 为 &“、 “， 试 比 较 &“与 “的 大 小
27、*本 题 考 查 等 比 数 列 和 分 类 讨 论 思 想 方 法 *根 据 近 几 年 全 国 、 上 海 、 广 东 、“ 三 南 ” 高 考题 来 看 ， 预 测 以 后 的 高 考 内 容 ， 通 项 公 式 和 前 “项 和 公 式 ， 递 推 公 式 仍 是 考 查 重 点 ； 也 可 能 把 数列 、 极 限 、 数 学 归 纳 法 等 内 容 组 成 一 个 大 题 目 ，或 者 将 数 列 、 极 限 等 有 关 基 础 知 识 与 参 数 、 不 等式 、 对 数 、 三 角 等 知 识 综 合 进 行 考 查 *为 了 拉 开考 生 得 分 的 距 离 ， 考 查 考
28、生 的 能 力 ， 为 高 校 选 拔高 质 量 的 新 生 ， 近 几 年 探 索 性 、 开 放 性 试 题 、 应用 题 ， 异 军 突 起 ， 方 兴 未 艾 *更 应 值 得 注 意 的 是,/年 高 考 题 中 有 八 道 题 是 前 几 年 高 考 题 和 书本 题 改 编 而 成 的 *因 此 ， 注 重 书 本 上 典 型 例 、 习题 和 近 几 年 高 考 题 ， 无 疑 是 高 考 复 习 的 重 要 举措 *下 面 我 们 对 一 些 重 点 题 型 结 构 进 行 分 析 研究 *首 先 对 上 述 例 +进 行 分 析 和 解 答 *考 查 的目 的 前 面 已
29、讲 过 ， 下 面 作 分 析 *解 例 +要 注 意 对 $的 值 进 行 两 次 分 类 讨论 ， 才 能 比 较 &“与 “的 大 小 *解 法 一0 !“ #“& #“&!“ #“（ $!& $）1 “（ $!& $） &“*当 $ -.时 ， 0#-.， #“ #$“)-.，1 &“- .；当 ) 2 $ 2 .时 ，0 #- .， ) $ - .， ) $“- .，1 &“#（ ) $“）) $- .*故 当 $ -)且 $“.时 总 有 &“- .*由 “) &“ &“（ $!& $ )）&“ $&!+&( )!$ )!+)( )!得 ：（!） 当 ) 2 $ 2!+)!，且 $
30、“.时 ， &“- “；（“） 当 $ “!+)!时 ， &“ “；（#） 当 $ -!+)!时 ， &“2 “*解 法 二0 !“ #“& #“&!“ #（ & $） $“!“&!“ $， $“.， “#%，1 数 列 !“ 也 是 等 比 数 列 *$当 $ “ 时 ， &“ “#， “ !“#，0 “#%， #- .， 1&“2 “*%当 $ -)且 $“时 ，“) &“#（ & $） $（ ) $“）) $)#（ ) $“）) $“#（ ) $“）（ $!& $ )）) $“#（ ) $“）（ $ &!+&!）（ $ )!+)!）) $*0 在 ) 2 $ 2 时 ， ) $“- .，
31、 ) $- .，在 $ - 时 ， ) $“2 .， ) $ 2 .，又 #- . 1#（ ) $“）) $- .*于 是 ，（!） 当 ) 2 $ 2!+)!且 $“.时 ， &“- “；（“） 当 $ “!+)!时 ， &“ “；（#） 当 $ -!+)!时 ， &“2 “*例 3 已 知 数 列 #“ 满 足 #“!， (“!$数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧!“!（ !“）（ “） 求 “!， “#， “$， “%；（ !） 猜 想 该 数 列 的 通 项 公 式 ， 并 用 数 学 归 纳 法 证 明你 的 结 论 &分 析 本 题 目 的 考 查 数
32、列 有 关 知 识 和 分析 、 探 索 、 归 纳 的 能 力 ， 以 及 数 学 归 纳 法 的 证 题方 法 &解 （ “） #“ “ #!(“!“!(“!#“!， )“!“*“!+#,#! “- “! #( “# #!“#( “#.“#)“#“!“#+$&同 理 求 得 “$“!/“$+%，“*“#/“%+*， ；（ !） 猜 想 “!“!（ ! -“）&（!） ! “时 ， “ !“!， 成 立（“） 假 设 ! $ 时 结 论 成 立 ， 即 “$“$（ $ -“）则 当 ! $-“时 ， 由 #$ “-“!- - “$ #$-“( “$-“（ $ -“）!“$-“( “$-“（
33、$!-!$） “$-“，又 #$ $! “$ -“， )（ $!- !$） “$-“$ -“， )“$-“（ $ -“）（ $ -!）,即 当 ! $ -“时 ， 结 论 成 立 &由 （!） 、（“） 可 知 ， 对 任 意 !“%， “!“!（ ! -“）均 成 立 ， 即 为 数 列 “! 的 通 项 公 式 &例 0 某 厂 “11“年 生 产 彩 色 电 视 机 “/万 台 ， 计 划今 后 每 年 的 产 量 平 均 比 前 一 年 增 加 “&*万 台 ， 问 到 !/年 底 这 个 厂 共 产 电 视 机 多 少 万 台 ？评 析 和 解 答 考 查 等 差 数 列 有 关 知
34、 识 &十 年 的 产 量 组 成 以 “ “/， & “&*的 等差 数 列 &#“/“/+“&*-“/（ “/(“）!+“&*（ 万台 ） &（ 注 ： 这 类 题 可 改 为 选 择 题 或 填 空 题 ） &例 . 设 “! “# ! - !# # - -!（ !-“# ） ， 证 明 不 等 式!（ !-“）!2 “!2（ !-“）!对 所 有 正 整 数 !都 成 立 &分 析 考 查 数 列 基 础 知 识 ， 我 们 可 构 造 数列 使 问 题 获 得 巧 解 &解 构 造 数 列 ! 、 (! ， 其 中 ! “!(“!（ ! -“） ， (! “!(“!（ ! -“）!则
35、“ “(“+!#!(“ 3 /，(“ “(（ “-“）!#!(! 2 /,!-“(! “!-“(“!-“!（ !-“） (“!（ !-“）（ ! -!） （ ! -“）（ ! -!# ） (（ ! -“） 3 /,(!-“(! “!-“(“!-“!（ !-“）!(“!（ !-!）! （ ! -“）（ ! -!# ） (“!（ ! -#）(“!（ ! -# !( ! -# “） 2 /，)!-“3 !， (!-“2 (!，)!3 !(“3 3 “3 /，(!2 (!(“2 2 (“2 /所 以“!（ ! -“） 2 “!2“!（ ! -“）!,例 1 （ “1.1全 国 高 考 题 ） 是 否
36、存 在 常 数 “、 )、 *使 得 等 式 “ !- ! #!- - !（ ! - “）!（ !-“）“!（ “!-)!-*） 对 一 切 自 然 数 !都 成 立 ？ 并 证明 你 的 结 论 ,分 析 本 题 考 查 数 列 求 和 ， 用 特 定 系 数法 、 数 学 归 纳 法 解 决 问 题 的 能 力 ,（ “） 可 令 !为一 些 特 殊 数 值 （ 比 如 ! “， !， #） 建 立 含 “、 )、 *的 三 元 一 次 方 程 组 ， 求 出 “、 )、 *， 然 后 用 数 学 归!$中 外 高 考 及 重 要 竞 赛 试 卷 全 析 全 解纳 法 进 行 证 明 !（
37、 “） 可 用 递 推 法 、 或 基 本 公 式 求 和 !（ #） 可 进 行 破 项 求 和 !解 法 一 假 设 存 在 !、 “、 #使 题 设 的 等 式成 立 $令 $ % &、 “、 #分 别 得 ：! “ # % “(，(! “ # % (，)! #“ # %*+$（ &）（ “）（ #）解 得 ! % #， “ % &， # % &+!所 以 ， 对 $ % &， “， #下 面 等 式 成 立 ：& “ #“ $（ $ &）%$（ $ &）&“（ #$“&$ &+）记 %$% & “ #“ $（ $ &）“假 定 $ % &时 上 式 成 立 ， 即%&%&（ & &）&
38、“（ #&“& &+）那 么 $ % & &时 ， %&% %&（ & &）（ & “）“%&（ & &）&“（ #&“& &+） （ & &）（ & “）“%&（ & &）&“（ & “）（ #& ,） （ & &）（ & “）“%&“（ & &）（ & “）（ #&“,& &“& “(）%&“（ & &）（ & “） #（ & &）“&（ & &） &+也 就 是 说 ， 等 式 对 $ % & &也 成 立 !综 上 所 述 ， 当 ! % #， “ % &， # % &+时 ， 题设 的 等 式 对 一 切 自 然 数 $成 立 $解 法 二 利 用 （ &）#-&#%#&“#&两 端
39、 作 和 得 公 式 ：!$&%&“%&.$（ $&）（ “$&）（ 这 正 是 代 数 下 册 封 面 公 式 ） ， 再 利 用 （ & &）(- &(% (&#.&“(& &两 端 求 和 可 得!$&%&#%$（ $ &）“!/%$%!$&%&（ &）“%!$&%&（ &#“&“&）%$（ $ &）&“（ #$“&$ &+）解 法 三 可 进 行 破 项 !&% &（ & &）“% &（ & &）（ & “-&）% &（ & &）（ & “） - &（ & &）%&( &（ & &）（ & “）（ & #） -（ & -&） &（ &）（ &“） -&# &（ &）（ &“） -（ &
40、-&） &（ & &） 两 端 作 和 得 ：%$%!$&%&!&%&(!$&%& &（ &）（ &“）（ &#） -（ & -&） &（ & &）（ & “） -&#!$&%& &（ & &）（ & “） -（ & -&） &（ & &） % %&“$（ $ &）（ #$“&$ &+） !例 &+ 设 数 列 !&， !“， ， !$， 的 前 $项 的 和%$与 !$的 关 系 是 %$%- “!$&-&（ & “）$， 其 中 “是与 $无 关 的 常 数 ， 且 “-&!（ &） 求 !$与 !$-&的 关 系 式 （ $#“） ；（ “） 写 出 用 $和 “表 示 !$的 表 达
41、式 ；（ #） 当 + 0 “ 0 &时 ， 求 123$4%$!分 析 本 题 考 查 数 列 的 通 项 与 和 的 求 法 、通 项 与 和 之 间 的 关 系 ， 123$%4$% +（ 5 5 0 &） !（ &） 可 由 !$% %$-%$-&（ $ 6&） 得 !$的 递推 式 ；（ “） 由 %&% !&和 （ &） 中 的 递 推 式 经 过 迭 代求 解 !解 （ &） 7 !$% %$- %$-&，/ !$%“!$-& “%“（ & “）$&（ $#“） !（ “） 7 %&% !&，/ !&%“（ & “）“由 （ &） 得 ：!$%“& “& “!$-“（ & “）
42、$ “（ & “）$&%“&( )“!$-“ “（ & “）$&%#“&数 学 高 考 试 题 解 题 思 路 策 略 方 法 技 巧!“( )!#!“ !“#$%“!（ !“ !）#$ !“! “ !#（ !“ !）#“!&!“( )!%“#$%“! “ !#“ !%（ !“ !）#“!& &!“( )!#$! “!“! “ !#“ “ !#$!（ !“ !）#“!，“#&#“! $ !#“!（ !$ !）（ !“ !）#“ !（ ! & !） ，（ !） ，（ %） $#&$ !#“ !#“#!$ !“( )!#“!“ ! $!“( )!#， 当 ( ) ! ) !时 ， *+,#“-$#
43、& !.例 ! 设 数 列 “# 为 等 差 数 列 ， 求 证 ：“#!$“#“#%$“#/“ “#$!$“#&#$!（ “#!$ “#） 0分 析 本 题 考 查 等 差 数 列 知 识 ， 配 凑 法 证题 的 技 巧 0 设 公 差 ， 进 行 因 式 分 解 变 成 等 差 数列 求 和 0证 明 设 等 差 数 列 “# 的 公 差 为 %， 则左 端 &（ “!$“#）（ “!“#） “（ “%$“/）（ “%“ “/） “ “（ “#$!$“#） （ “#$!“#） &$%（ “!“#“%“/“ “#$!“#） &$%“!“ “#1# &$ #%（ “!“ “#） ，又 2“#
44、& “!“（ # $!） %，% &“#$ “# $!代 入 上 式 得 ：左 端 &# $!（ “#!$ “#） 0所 以 原 恒 等 式 成 立 0图 !例 !# 如 图 !， 在 以 边 长 为 “!的 正 方 形&!(!)!中 ， 依 次 作 无 限 多 个 内 接 正 方 形&#(#)#， &%(%)%， ， &#(#)#， 使#!&#&#&%& &#&#“!#“!&!， 设 它 们 的 边长 依 次 为 “#、 “%、 ， “#0（ !） 用 “!、!表 示 “#， 并 进 行 证 明 ；（ #） 求 *+,#“-（ “!“ “#“ “ “#） 0分 析 本 题 考 查 数 列 通 项 公 式 ， 数 学 归 纳法 ， 无 穷 递 缩 等 比 数 列 的 极 限 0 利 用 几 何 知 识是 具 体 计 算 “!， “#， “% 去 归 纳 、 猜 想 通 项 公式 ， 用 数 学 归 纳 法 证 0解 （ !） 易
