1、智轩2010考研数学第1专题讲座-10个常用三角函数的泰勒展开 http:/bbs.qinjing.cc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 5 5 3 2 4 4 3 sin +o 0 3! cos 1 +o 0 2 2 tan + +o 0 3 15 1 cot 3 45 5 sec 1 o 0 2 24 1 7 csc 6 360 arcsin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x p p = - = - = + = - - + = + +
2、 + = + + + = L L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 +o 0 6 arccos +o 0 2 6 arctan +o 0 3 arccot + 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x p p + = - - = - = - + L智轩2010考研数学第2专题讲座-反函数的求导法则 http:/bbs.qinjing.cc 反函数的求导法则 一、反函数的第二基础与性质 , x y 存在一一映射的情况下，二者互为反函数 。反函数有两种表达方式： 不改变记号 若 ( ) x g y = 为
3、( ) y f x = 的 反 函 数 ， 在 某 些 场 合 ， 常 把 ( ) y f x = 的 反 函 数 记 为 ( ) 1 x f y - = 或 ( ) x g y = ， 没有改变记号的互为反函数 ( ) y f x = 和 ( ) 1 x f y - = 的曲线重合， 且原定义域和值域 不变。 改变记号 若 ( ) x g y = 为 ( ) y f x = 的 反 函 数 ， 在 某 些 场 合 ， 常 把 ( ) y f x = 的 反 函 数 记 为 ( ) 1 y f x - = 或 ( ) y g x = ， 此时已重新把x 视为自变量。 一般在纯粹需要求反函数时，
4、 需要改变记号。 改变记 号 后 ， 互 为 反 函 数 的 两 个 函 数 ( ) y f x = 和 ( ) ( ) 1 y g x f x - = = 的 曲 线 关 于 直 线 y x = 对 称 ， 且 原 定义域和值域互换。在反函数记号的使用中，一定要分清是否换变量了记号。 对偶性 ( ) y f x = 与 反 函 数 ( ) y g x = 的 定 义 域 与 值 域 具 有 对 偶 性 ， 即 ( ) y f x = 的 定 义 域 必 为 ( ) g x 的 值 域，而 ( ) y f x = 的值域必为 ( ) g x 的定义域，并且 ( ) ( ) ( ) ( ) (
5、) ( ) 1 g f x f g x f f x x - = = = 。 二、反函数的求导法则 2 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 ; dx d x d dx d d dy d dy d y dy dy dy dy dy dy dy dy dy dx dx dx dx dy dy dy dx dx dx dx dx dx = = = = - = - = - 【 例 题 】( ) 1 ( ) f x 为 单 调 的 二 阶 可 导 ， 其 反 函 数 为 ( ) x g y = ， 且 ( ) ( ) ( ) 1 2, 1 1; 1 2 f f f = = = ， 求 ( )
6、2 g 。 ( ) 2 ( ) f x 为单调 的二 阶可导 ， 其反 函数为 ( ) y g x = ， 且 ( ) ( ) ( ) 3, 1; 2 f a f a f a = = = ，求 ( ) 3 g 。 智轩2010考研数学第2专题讲座-反函数的求导法则 http:/bbs.qinjing.cc 解 ：( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 f dx d x d y d y g y g y g dy dy dy dx dx dy dy f dx dx dx = = = = - = - = - = - 。 (
7、) 2 这时， 由于反函数已经改变符号， 则上述反函数求导公式不能使用。 如果我们把反函数记号再 次交换还原， 则上述公式就可以用了。 本题，我们把 ( ) y g x = 改写成 ( ) x g y = 。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 dx g y f x g y dy dy f x dx = = = ，两边再次对x 求导，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 x f x g y f x g y y f x g y f x g y + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8、2 2 2 2 1 1 2 3 1 3 2 1 f a f x g y f a g f a g y g f x f a f a = - = - = - = - = - 。 智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 2010 数学3 专题-导数的经济学应用 一、 经济分析中常用的5大经济学函数 1）总成本函数 （Total Cost Function） Cx 在经营活动中的总成本（用字母 C表示）与产品的产量（用字母 x表示）密切相关，经过抽象简化， 可以看成仅是产量的函数，在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下，x为产品的产量
9、 x为产品的销 售量。 01 Cx C Cx 其中： 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等， 0 C 1 Cx 表示可变成本，如购买原材料、 动力费等等。 平均成本： 1 0 Cx Cx C Cx x xx 2）总收入（或称总收益）函数 R x （用字母 R 表示） （Total Receipt Function） R Rx 当产品的单价（price）为p， x为销售量时 , Rxpx Rx px Rx x 即平均收益函数3）总利润函数 L x （用字母 L 表示） （Total Gain Function） L Lx Rx Cx t x tx 为国家征税率， 为产量。 0 Lx 称为：
10、收支平衡 4）需求函数 （用字母 表示） （Demand Function） d Q d Q max0, 00 , dd d d QQp Qab pa b a Qp b 在线形情况下： 称为最大销售价格。5）供给函数 （用字母 表示） （Supply Function） S Q s Q1智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 00, 0- , ss s sd QQp Qcd pcd ac QQab pcd pp bd 在线性情况下： 称为均衡价格。6）复利公式 设银行存款的年利率为 ，开始存钱为 ，则t年后， r 0 T年复
11、利公式： 0 1 t Tt T r 月复利公式： 12 0 1 12 t r Tt T 连续复利公式（即：按天、时或更少的时间） ： 00 lim 1 nt rt n r Tt T Te n 如果当初的 没有存入银行，则当初的 相当于现在的值： 0 T 0 T 0 rt Tt Te 二、边际与边际分析 在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率平均变化率就 是函数增量与自变量增量之比，函数 在 ) (x f y ) , ( 0 0 x x x 内的平均变化率为 x y ，如我们常用到年 产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等瞬时变化率就是函数对自变
12、量的导数， 即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限： ) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 0 x f x x f x x f x 在经济学中，一个经济函数 的导数 ) (x f ) (x f 称为该函数的边际函数 在点 处的导数 称为 在点 ) (x f 0 x x ) ( 0 x f ) (x f 0 x x 处的变化率，也称为 在点 ) (x f 0 x x 处的边际函数值它表示 ) (x f 在点 现设 是一个可导的经济函数，于是当 0 x x 处的变化速度 ) (x f y x 很小时 x x f x x x f x f x x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 由于
13、产品的最小单位是 1，故，当 或 1 x 1 x 时，分别给出 或 ) ( ) ( ) 1 ( x f x f x f ) ( ) 1 ( ) ( x f x f x f 因此边际函数值 的经济意义是：经济函数 在点 ) ( 0 x f ) (x f 0 x x 处，当自变量 x再增加 1个单位时，因 变量 或近似于经济函数值 与 y 的改变量的近似值， ) ( 0 x f ) 1 ( 0 x f 之差但在应用问题中解释边际函数2智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为
14、 1，不存在小数 【例 1】 设函数 ，试求 2 x y y 在 时的边际函数值 5 x 解 因为 ， 所以 x y 2 . 10 5 x y 该值表明： 当 5 x 时， x改变一个单位(增加或减少一个单位)， 约改变 10 个单位(增加或减少 10 个单位) y 下面介绍经济学中常用的三个边际概念 2.1 边际成本 Cx 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或 费用总额它由固定成本和可变成本两部分组成 平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本 边际成本是总成本的变化率 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数
15、设总成本函数 ，Q为产量，则平均成本函数为 ) (Q C C Q Q C Q C C ) ( ) ( ， 生产 个单位产品时的边际成本函数为 Q) (Q C C ) ( 0 Q C 称为当产量为 时的边际成本西方经济学家对它的解释是：当生产 个单位产品前最后 增加的那个单位产品所花费的成本或生产 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本这两种理 解均算正确，我们一般使用后一种说法 【例 2】 已知生产某产品 Q件的成本为 (元)，试求： (1)边际成本函数； (2)产量为 1000 件时的边际成本，并解释其经济意义； (3)产量为多少件时，平均成本最小？ 解 (1)边际成本函数： (2)产量
16、为 1000 件时的边际成本： 0 Q 0 Q 0 Q 2 001 . 0 40 9000 Q Q C Q C 002 . 0 40 . 60 1000 002 . 0 40 ) 1000 ( C 它表示当产量为 1000 件时，再生产 1 件产品需要的成本为 60元； (3)平均成本： 3智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc Q Q Q C C 001 . 0 40 9000 ， 001 . 0 9000 2 Q C ， 令 C 0，得 Q = 3000(件)由于 C 0，故当产量为 3000件时平均成本最小 【例 3】
17、 某工厂生产Q个单位产品的总成本 为产量Q 的函数 C 2 1200 1 1100 ) ( Q Q C C ， 求：(1)生产900 个单位时的总成本和平均成本； (2)生产 900个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率； (3)生产 900个单位时的边际成本； 解 (1)生产900 个单位时的总成本为 1775 900 1200 1 1100 ) 900 ( 2 C C 平均成本为 97 . 1 900 1775 900 ) 900 ( C (2)生产 900个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为 58 . 1 100 1775 1933 900 1000 ) 900
18、( ) 1000 ( C C Q C (3)生产 900个单位时的边际成本为 5 . 1 600 1 1200 1 1100 ) 900 ( 900 900 2 Q Q Q Q C 2.2 边际收益 R x 和边际利润 L x 总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单 位产品所得到的收入，即单位商品的售价 p 边际收益为总收益的变化率 总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数 设 为价格， （有时也用 P Q x表示，但要注意 与 完全不同！ ）为销售量，则总收益函数为： Q , ds QQP Q Q R R ) ( 若需求函数为 ，则总收益函数为
19、) (Q P P ) ( ) ( Q P Q Q R R ， 4智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 故平均收益函数为 ) ( ) ( ) ( ) ( Q P Q Q QP Q Q R Q R R ， 即价格 可视作从需求量(这里需求量即为销售量)Q上获得的平均收益边际收益为 ) (Q P) ( ) ( ) ) ( ( ) ( Q P Q P Q Q P Q Q R R ) ( 0 Q R 的经济意义为： ) ( 0 Q R 表示销售量为 个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品 时收益的改变量 0 Q 由经济学知
20、识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为 ，则总利润函数为 L) ( ) ( ) ( Q C Q R Q L L (其中Q为商品量) 那么边际利润函数为 ) ( ) ( ) ( Q C Q R Q L L 它的经济意义是： 表示销售量为 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量 【例 4】 设某产品的需求函数为： ) ( 0 Q L 0 Q 5 20 Q P ， 其中 为价格， 为销售量，当销售量为 15 个单位时，求总收益、平均收益与边际收益； 解 因为需求函数为 P Q 5 20 Q P ，则总收益函数为： 5 20 ) ( ) ( 2 Q Q Q P Q Q R R ， 故销售量为 1
21、5 个单位时，有 总收益 255 5 15 15 20 ) 15 ( 2 R ， 平均收益 17 ) ( ) ( ) ( ) 15 ( 15 15 15 Q Q Q Q P Q Q QP Q Q R R ， 边际收益 14 15 5 2 20 ) ( 15 Q Q R R 【例5 】 某工厂生产一批产品的固定成本为 2000 元，每增产一吨产品成本增加 50 元，设该产品的市场 需求规律为 Q = 1100 10P(P 为价格)，产销平衡，试求： (1)产量为 100 吨时的边际利润； (2)产量为多少吨时利润最大？ 5智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）htt
22、p:/bbs.qinjing.cc 解 由于 , 10 110 Q P 故总收入为 10 110 2 Q Q PQ R ， 总成本为 Q C 50 2000 ， 故总利润为 2000 10 60 2 Q Q C R L (1)边际利润为 5 60 Q L 当产量为 100 吨时，边际利润为 40 5 100 60 ) 100 ( L (元) (2)令 得 Q = 300(吨)由于 0 L 0 L ，故当产量为 300 吨时，利润最大 同样，还有边际需求 和边际供给 d Qp s Qp ，一共 5 个边际函数。 三、 弹性与弹性分析 前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率在实际
23、问题中，有时仅知道函数 的改变量 及绝对改变率 是不够的例如，设有 A 和 B 两种商品，其单价分别为 10 元 和 100 元同时提价 1 元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为 10%和 1%前者是后者 的 10 倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性它定量地反映了 一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时， 因变量变动的百分数 ) (x f y y ) (x f 定义 设函数 在点 ) (x f y x处可导，且 () 0 yfx 函数的相对改变量 y y 与自变量的相对改 变量 x x 之比
24、当 时的极限 0 x ) ( ) ( lim 0 x f x f x y y x x x y y x 称为函数 在点 处的弹性，记作 0 x x yx ) (x f y x ，即 6智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc ) ( ) ( x f x f x yx 由定义知，当 % 1 x x 时， % yx y y 可见，函数 ) (x f y 的弹性具有下述意义：函数 ) (x f y 在点 处的弹性 0 x 0 x x yx 表示在点 处当 0 x x 改变 1%时，函数 ) (x f y 在 的水平上近似改变 ) (
25、0 x f % 0 x x yx 在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字 由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位无关这使得弹性概念在经济 中具有广泛应用例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量 单位的限制 函数在点 x的弹性 yx 反映了 对 ) (x f x的变化反映的强烈程度或灵敏度 yx 的表达式可改写为 yx dy dx y x 边际函数 平均函数 ， 故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比 3.1 需求弹性 d Qp d Qp 在经济学中常用到需求弹性 （指需求弹性对价格） ，它也是经济类考生必考的重点
26、内容 “需 求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量设 表示商品价格， 表 示需求量函数，那么需求函数： P d Q () d Qf P 定义需求弹性 d Qp （注意它与基本的弹性定义差一个符号，这仅仅是需求弹性的特点） d d Qp d dQ p Qd p 一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小因此，一般需求函数 是单调减少 函数， ) (P f Q 0 d dQ dp ，而 0 d d Qp d dQ p Qd p ，这就是为什么加上一个负号的原 符合教育部对 经济类考生的命题规范的，所以，读者切忌乱改上诉定义及其有关符号。需求弹性是刻划商品价格变动
27、时需求变动的强弱 因，这也是7智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 在解题时，我们要常常用到下列形式： 1) 2) 3) 1 1 d d d dd dQ p d d Qp d Qp d ddd dd d Q p dQ p pdQ Q dp Q p Qp RQ d p d R Qp R Qp dQp Qd p p d Q Qd p Qd p Qd p 3.2 弹性分析（指需求弹性 d Qp 的分析） 1） 1 d Qp ，称为高弹性，降价或提价使总收益没有明显影响； 2） 1 d Qp ，称为单位弹性，降价可使总收益增加，提
28、价可使总收益减少； 2） 1 d Qp ，称为低弹性，降价可使总收益减少，提价可使总收益增加。 【例6】 设某商品需求函数为 5 P e Q ，求： (1)需求弹性函数； (2) ， ， 时的需求弹性, 并说明其经济意义. 3 P 5 P 6 P 解 (1)由已知有 5 5 1 P e Q ，则 5 5 1 . 55 P QP P PP e e 3 (3) 0.6. 5 QP (2) 5 (5) 1. 5 QP 6 (6) 1.2. 5 QP (5) 1 QP ，说明当 时，价格上升 1%，需求量则下降 1%可见此时价格与需求变动的幅度相 同； 5 P (3) 0.6 QP ，说明当 时，价格
29、上涨 1%，需求只减少 0.6%，此时需求变动的幅度小于价格变 动的幅度； 3 P (6) 1.2 QP ，说明当 时，价格上涨 1%，需求减少1.2%此时需求变动的幅度大于价格变动 的幅度 6 P8智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 弹性的四则运算： (1) 加法性质： 设 与 于 ) ( 1 x f ) ( 2 x f x处的弹性为 x f 1 与 x f 2 ，则 ) ( ) ( 2 1 x f x f 在 x处的弹性为 12 12 12 () () () () fxf yx fx fx fx fx x 证明 12
30、 y( )( ) fxfx 按弹性定义有 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 x f x f x f x f x y x y yx ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 1 1 1 x f x f x f x f x x f x f x f x x f ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 x f x f x f x f x f x f 推论 设 在 ) (x f i x处的弹性为 ) , , 2 , 1 ( n i x f i ，则 在 n i i x f y 1 ) ( x处的弹性为 n i i n i x f i
31、 yx x f x f i 1 1 ) ( ) ( (2)设 ) ( 1 x f 与 于 ) ( 2 x f x ，则 ) ( ) ( 2 1 x f x f y 在 x 处的弹性为 x f 1 与 x f 2 处的弹性为 x f x f yx 2 1 证明 按弹性定义有 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 x f x f x x f x f x f x f y x y yx ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 x f x x f x f x x f x f x f 2 1 即函数的乘积的弹性等于各自弹性的和 (2) 乘法性质： 设 与 于 ，则
32、 ) ( ) ( 2 1 x f x f y ) ( 1 x f ) ( 2 x f x 在 x 处的弹性为 x f 1 与 x f 2 处的弹性为 9智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc x f x f yx 2 1 即函数的商的弹性等于分子的弹性减去分母的弹性该公式请读者自证 【例7】 某商品需求函数为 2 10 P Q ，求： (1)需求价格弹性函数； (2)当 时的需求价格弹性； 3 P (3)在 时，若价格上涨 ，其总收益是增加，还是减少？它将变化百分之几？ 3 P % 1 解 (1)按弹性定义有 1 22 10
33、 2 QP PP Q P QP 0 P (2)当 时的需求价格弹性为 3 P 3 3 17 QP P 0.18 (3)由于总收益 2 10 2 P P PQ R ， 于是总收益的价格弹性函数 2 2(10 ) (10 ) 20 10 2 RP dR P P P P P dP R P P ， 从而在 时，总收益的价格弹性 3 P 82 . 0 20 ) 10 ( 2 3 3 P P RP P P 故在 时，若价格上涨 ，需求仅减少 3 P % 1 0 0 18 . 0 , 总收益将增加, 总收益约增加 % 82 . 0 10智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）ht
34、tp:/bbs.qinjing.cc 【边际与弹性分析专题精华 13 个模拟题与解析 2010】 1. 某种产品每台售价 100 元，成本 60 元。商家为扩大销售量，决定凡购买量超过 100 台以上部分，按 每台降价 1%出售（例如：若销售量为 101 台，销售量比 100 台多出一台，于是多售出的一台售价为 99 元；若销售量为 102 台，多售出二台，多售出的二台，每台售价为 98 元，以此类推） 。但每台最 低售价为 75 元。商家最大供应量为 150 台，并且都能售完。问销售量为多少时，商家所获利润最大？ 解：设销售量为 x，每台售价为 P(x)。总成本为C(x)=60x （x 取正
35、整数） 由于价格不低于 75 元，即 ( ) 100 ( 100) 1 75 Px x 当 P(x)=75 元时，x=125（台） 总收益函数 2 100 0 100 ( ) ( 100) 1( 100) 10000 100 125 75( 100) 10000 150 100 0 100 100 ( 100) 100 125 75 2500 150 100 125 125 xx Rx x x x xx xx xx x xx 利润函数 2 40 0 100 ( ) ( ) ( ) 40 ( 100) 100 125 15 2500 125 150 40 0 100 ( ) 40 2 200 1
36、00 125 15 125 150 xx Lx Rx Cx x x x xx x Lx x x x 于是 x=120时，L(x)取得极大值 L（120）=4400（元） 又 L （150）=15 150+2500=4750（元） 令 =0 得驻点 x=120（台） () Lx 120 ()| 2 0 x Lx 11智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 当销售量为 150 台时所获利润最大。 2. 设某种商品的社会需求量 () Qfp （ p 为商品的价格） ， 其弹性 2 2 2 (0 ) E 256 dd p E p ，
37、 当 p =10 时， Q=156。一个工厂生产这种商品，其日总成本函数 C（Q） =4Q+2000，求该厂日产量 Q为多少时， 总利润最大。 解：由 2 22 22 256 256 d ppd Qp EQ d QpQp p 于是 2 2 2 256 (256 ) p dp p QC e C p 令 得 又由 时 10 p 156 1 QC 故 2 256 Qp 利润 22 ( ) ( ) ( ) (256 ) 4(256 ) 200 Lp RQ CQ p p p 32 4 256 4 256 2000 ppp 2 ( ) 3 8 256. Lp p p 2 ()0 3 8 2 5 60 Lp
38、 p p 32 10.7 3 p （负数舍去） 故 p=10.7时，利润最大，此时 3. 设某企业生产一种产品，其成本 10.7 (10.7) ( 6 8) | 0 p Lp 2 256 142.2( ) 单位 Qp 32 2 ( ) 16 100 1000, 3 CQ Q Q Q 平均收益 1 () ( 0 , 2 4 0 ) 2 RQ a b Q a b ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 41 19 p E 时，取得最大利 润。求取得最大利润时，产品的产量及常数 a与 b 的值。 解：收益函数 2 1 () () 2 R Q QR Q aQ bQ 当取得最大利润时，边际收益等于边际成
39、本。 即 , MRM CM RRab Q 于是： 2 44 ( ) 2 32 100 CQ Q Q 2 16 28 0 QQ 12智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 得 12 2, 14. QQ 又 22 22 0, 4 32 dR dC bQ dQ dQ 22 14 14 22 22 22 22 |0|5 6 3 2 2 | 0 | 8 32 24 0 QQ QQ dR dC b dQ dQ dR dC b dQ dQ 4 0当 Q=14 时， 22 2 dR dC dQ dQ 2 ，企业利润取得极大值 由于 1 ()
40、 ( 1 ) MR R Q P Ep 1 44 (1 ), 82. 41 19 解得 PP 又由于 () 1 4 于是当 时 RQ P Q 1 82 14 2 44 14 ab ab 解方程组得 38 , 120. 7 ba 当 Q=2 时得 b=38 不满足 0b24 条件，因而舍去 利润函数 () () () LQ RQ CQ 232 23 2 19 2 120 16 100 1000 73 93 2 20 1000. 73 186 ()2 0 2 7 QQQQQ QQQ LQ Q Q 5 ()0 , 1 4 , ( ) 7 得驻点 舍去 LQ Q Q 令 又 故产量 Q=14时企业取得最
41、大利润。 0 lim ( ) 1000 (0) Q LQ L 0 lim ( ) Q LQ 13智轩 2010 考研数学第 3专题讲座-导数的经济学应用（数学 3）http:/bbs.qinjing.cc 3. 自动生产线上加工的零件的内径 X（mm）服从正态分布 (, 1 ) N ，内径小于 10或大于 12mm的为不 合格品，其余为合格品。每件产品的成本为 10 元，内径小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工 费 5 元。全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20 元。问零件的平均内径 取何值时，销售一 个零件的平均销售利润最大？ 解：每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件
42、的内径 X（mm）有如下关系： 5, 10, ()1 0 , 1 0 1 2 , 10, 12. 若 若 若 X LLX X X 平均利润为 10 10 12 5 10 10 12 10 (12 ) (10 ) 5 (10 ) 101 (12 ) 20 (12 ) 5 (10 ) 10, E L P X PX PX 其中 () x 是标准正态分布函数， () () x x 标准正态密度。因此，有 22 22 (12 ) (10 ) 22 (12 ) (10 ) 22 22 () 20 (12 ) 5 (10 ) 0, 20 5 0, 22 4; (12 ) (10 ) 2 ln 4; 11 ln 2. dEL x d ee ee 即当 0 11 ln 2 10.31mm 时，平均利润最大。 4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小，费用分别为 x（万 元）及 y（万元） 。产品的产量 3125 500 49 x y Q x y ，其利润是产量 Q 的 1 5 再扣除工资福利费及培训 费。
