1、1Using the research method of literature, means of observation, behavioral approach, conceptual analysis and the pattern of information-seeking of local and overseas were analyzed and compared, Basic pattern strategies of technology information-seeking浅谈高考数学之圆锥曲线与方程嘉兴市秀州中学 屠新跃一、课程标准中的圆锥曲线与方程1. 圆锥曲线（
2、1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想2. 曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想二、2009 年各地高考（理科）中的圆锥曲线与方程卷别 题号 题型 主要考查的知识点4 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线
3、的位置关系12 选择题 椭圆的几何性质及向量全国卷21 解答题 抛物线与圆的关系及导数的应用9 选择题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系11 选择题 双曲线的几何性质全国卷21 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量8 选择题 直线与抛物线的位置关系12 填空题 椭圆的定义及解三角形北京卷19 解答题 双曲线的定义、性质，与直线的位置关系及圆的切线9 选择题 抛物线的定义、几何性质天津卷21 解答题 椭圆的方程、几何性质，直线的方程、圆的方程15 填空题 双曲线的几何性质及解三角形重庆卷20 解答题 椭圆几何性质、直线与椭圆、轨迹方程及向量、不等式9 选择题 双曲线的几何性质及
4、向量浙江卷21 解答题 椭圆的方程、直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系13 填空题 抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系福建卷19 解答题 直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系3 选择题 双曲线的几何性质安徽卷20 解答题 直线与椭圆的位置关系及数列16 填空题 双曲线的几何性质辽宁卷20 解答题 椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系213 填空题 直线方程、椭圆方程及其几何性质江苏卷22 解答题 直线、抛物线方程、直线与抛物线关系、两点距离公式9 选择题 双曲线的几何性质、直线与抛物线的位置关系山东卷22 解答题 椭圆方程、直线与圆、直线与椭圆及函数与不等式11 填空题 椭圆的定义、方程、几何性
5、质广东卷19 解答题 直线与抛物线、直线与圆4 选择题 双曲线的几何性质、点到直线距离公式13 填空题 直线与抛物线的位置关系宁夏、海南卷20 解答题 椭圆的方程、性质、求轨迹方程12 填空题 双曲线的几何性质湖南卷20 解答题 求轨迹方程、直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系7 选择题 双曲线与椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系湖北卷20 解答题 抛物线的定义和几何性质、直线与抛物线的位置关系7 选择题 双曲线的几何性质及向量9 选择题 抛物线的定义与几何性质四川卷20 解答题 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系6 选择题 椭圆的定义及解直角三角形江西卷21 解答题 直线方程、圆方程、求轨
6、迹方程7 选择题 椭圆的方程与几何性质陕西卷21 解答题 双曲线的方程与几何性质及函数9 填空题 椭圆的定义、方程及向量上海卷21 解答题 双曲线的几何性质、直线方程及两平行线间的距离纵观 2009 年全国十九份各省、市的数学高考试题，对圆锥曲线与方程的考查，题量以一个填空或选择题，再加一个解答题（即 1 小 1 大）的有十六份，而 2 小 1 大的只有全国卷、和北京卷三份。考查的内容主要是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、图形及几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是相交和相切） ，或与向量、三角、函数、不等式等的结合，及求动点轨迹（方程）等。从解题方法上看，小题（选择题、
7、填空题）侧重于几何法，以形助数；大题（解答题）则重点考查坐标法，用方程来解决，以数助形；两者“相得益彰” ，也使得课标中指出的“体会数形结合的思想”得到了很好的体现。而小题与大题对内容的考查又是相互补充，即大题若是椭圆的问题，则小题必是双曲线或抛物线的问题了。三、浙江省考试说明（理科）中的圆锥曲线与方程（一）2010 年考试说明中的圆锥曲线与方程1. 圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（3）了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质（4）能解决直线与的椭
8、圆、抛物线位置关系等问题（5）理解数形结合的思想（6）了解圆锥曲线的简单应用32. 曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系（二）与 2009 年考试说明的比较1. 对圆锥曲线与方程的内容，2009、2010 这两年考试说明的条目数量没有变化，其中圆锥曲线（1） （2） （5） （6）与曲线与方程的要求完全相同。2. 在 2009 年考试说明中的（3） 、 （4）两条是这样的：（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（4）能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题对照 2010 年考试说明可以发现：（3）中改变为“，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解
9、它的简单几何性质” ，将去年的“了解” 、 “知道” ，提升到今年的“掌握” 、 “理解” ，可谓意味深远。而对于（4） ，把去年考试说明“坐标法”三个字删掉了。3. 由以上分析，可以推测：双曲线的考查要求较去年会有提高，要适当加深此内容的复习，当然不大可能出现在大题，应还是会在小题中，但难度定会加大，极有可能作为选择或填空题中的压轴题；至于没有了“坐标法”这三个字，不应理解为要丢掉坐标法这个解析几何的“灵魂” ，而是要兼顾几何图形、几何性质、几何直观及平面几何等的知识。四、部分试题分析（一） 双曲线部分例 1. (2009 湖南卷理) 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边
10、形中，有一个内角为 ，则双曲线 C 的离心率为 06解：虚轴的一个端点、一个焦点及原点组成直角三角形，且一个内角是 ，两直角边分03别是 ，得 tan30bc， cb，所以 2ab，离心率, 26ace例 2.（2009 辽宁卷理）已知 F 是双曲线214xy的左焦点， (1,4)AP是双曲线右支上的动点，则 PA的最小值为 解：右焦点为 ，由定义得 ，而 ，)0,4(/ 42/aP5/F两式相加得 ，当且仅当 三点共线时取到最小值为9F/,FA9点评：前两题考查的是双曲线的定义与离心率，但主要借助平面几何的知 识例 3.（2009 全国卷理）设双曲线21xyab的渐近线与抛物线)0,(b相切
11、，则该双曲线的离心率等于( C )12xy（A） 3 （B）2 （C） 5 （D） 6 4解法 1：设切点 0(,)Pxy，则切线的斜率为 0|2xy.由题意有 02yx又20yx得: 2 201,1()5bbeaa解法 2：双曲线 2byx的一条渐近线为 xaby,由方程组 21byxa,消去 y 得210bxa有唯一解,= 2()40a, 2,22()5cbea点评：通过双曲线渐近线和离心率，考 查直线与抛物线相切的情形，可用两种常规方法解决（二） 椭圆、抛物线例 4：（2009 浙江卷理）已知椭圆 的右顶点为 A（1,0） ，过)0(1:21baxyC的焦点且垂直长轴的弦长为 11C（）
12、求椭圆 的方程；（解略：椭圆 ： ） 1 1142xy（）设点 P 在抛物线 上， 在点 P 处的)(:22RhxyC2C切线与 交于点 M，N当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 的最小1 h值不妨换个角度思考（）由于 ，设 ， 显然 ，点 P 处切线的斜率 ， P 处切线方程：xy2 ),(2htP0t tk2，线段 AP 中点的横坐标是 ，问题转化为探求 与 的关系t)( 21th设点 ， ，则 ，由已知 M、N 既在椭圆,1yxM),(2yxN12xyktx121上，又在点 P 处的切线上，得： ， ， 4142y， ；将，得htxty21)( htxty222)(，
13、 ，)(41122 )()(1212ykxyxPNMO5，这就要求式子 与 、 的关系；+得：)(2)1(41yt12yht，再代入上式得：thtxy 2)(22 ，求这个函数的值域，先要求 的取值范围，即寻求关于 的一个不等量关)(th t系根据 MN 的中点 E 必须在椭圆内，由上得 E ，则 E 点满足：)1,2(t，代入得： ， ，设42yx 4)1)21(2tt 4)1(2(tt，则 ，由 得 ，又因为tu1uh0u55u， 求得 ，则 ，所以 的最小值为 2t 2511hh1点评：处理解析几何题，只有在 “计算”上的功夫还不够。而要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切
14、入点，要随 时调用函数、不等式等的知识。例 5. （ 2009 广 东 卷 理 ） 已知曲线 2:Cyx与直线 :20ly交于两点(,)Axy和 (,)Bxy，且 ABx记曲线 在点 A和点 B之间那一段 L与线段 AB所围成的平面区域（含边界）为 D设点 (,)Pst是 L上的任一点，且点 P与点 和点 均不重合（1）若点 Q是线段 的中点，试求线段 Q的中点 M的轨迹方程； （2）若曲线 22251:40Gxaya与 D有公共点，试求 a的最小值解：（1）联立 与 x得 ,BAx，则 A中点 )25,1(Q，设线段PQ的中点 M坐标为 ),(y，则 2,tys，即 ,ytxs，又点在曲线
15、C上， 2)152x，可得 81x，又点 P是 L上的任一点，且不与点 A和点 B重合，则 ，即 45，中点 M的轨迹方程为812xy（ 4x）.（2）曲线 22251: 0Gaya，即圆 E： 9)()(x，其圆心坐标为 xyoxAxBD6)2,(aE，半径 57r，由图可知，当 20a时，曲线 2251:4Gxy与点 D有公共点；当 0时，要使曲线 251:40xy与点 有公共点，只需圆心E到直线 :20lxy的距离 7| aad，得 052a，则 的最小值为 57.点评：解析几何的第一要义是用方程讨论曲线。另一方面，要充分利用图形已知的几何特征与性质，适度加强几何直观。才是合理运用“数形结合”思想的本质。
