1、文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 1福建省厦大附中 2014-2015 学年高二上学期第一次月考数学试卷（实验班）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）某中学有 2014-2015 学年高一学生 400 人，2014-2015 学年高二学生 300 人，2015 届高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从 2015 届高三抽取的人数应为（）A 40 B 48 C 50 D 802 （5 分）已知 f（x）=xln x，若 f（x 0）=2，则 x0等于（
2、）A e2 B e C D ln 23 （5 分）10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有（）A abc B bca C cab D cba4 （5 分）集合 A=2，3，B=1，2，3，从 A，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4 的概率是（）A B C D5 （5 分）函数 y= x2lnx 的单调递减区间为（）A （1，1 B （0，1 C 1，+） D （0，+）6 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 2A a
3、=6 B a=5 C a=4 D a=77 （5 分）等比数列a n中，a 1=2，a 8=4，f（x）=x（xa 1） （xa 2）（xa 8） ，f（x）为函数 f（x）的导函数，则 f（0）=（）A 0 B 26 C 29 D 2128 （5 分）在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于 的概率是（）A B C D9 （5 分）已知函数 y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A B C D10 （5 分）函数 f（x）=x 3+3x 在区间（a 212，a）上有最小值，则实数 a 的取值 范围是（
4、）A （1， ） B （1，2） C （1，2 D （1，4）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.11 （4 分）如图是 CBA 篮球联赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是12 （4 分）在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m=13 （4 分）将某班的 60 名学生编号为：01，02，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，且随机抽得的一个号码为 04，则剩下的四个号码依次是14 （4 分）曲线 y=x3+3x2+6x1 的
5、切线中，斜率最小的切线方程为15 （4 分）对于三次函数 f（x）=ax 3+bx2+cx+d（a0） ，给出定义：设 f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）=0 有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0） ）为函数 y=f（x）的“拐点” ，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数f（x）= x3 x2+3x ，请你根据上面探究结果，计算 + + =三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （16 分）求下列函数的导数：（1
6、）y=e xln x； （2）y=x（x 2+ + ；（3）y=xsin cos ； （4）y=（ +1） （ 1） 17 （12 分）现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答请列出基本事件结果，试求：（1）所取的 2 道题都是甲类题的概率；文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 4（2）所取的 2 道题不是同一类题的概率18 （12 分）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API 050 51100 101150 151200 2012050 251300 300级别 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度
7、污染对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0，50，（50，100， （100，150， （150，200，求直方图中 x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率（结果用分数表示已知57=78125，2 7=128， ，365=735）19 （1 2 分）某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日和生产产品件数 x（xN *）间的关系为 P= ，每生产一件正品盈利 4000元，每出现一件次品亏损 2000 元 （注：正品率=产品的正品件数
8、产品总件数100%） （）将日利润 y（元）表示成日产量 x（件）的函数；（）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值20 （14 分）已知 P（x，y）为函数 y=1+lnx 图象上一点，O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率 k=f（x） （）若函数 f（x）在区间（a，a+ ） （a0）上存在极值，求实数 a 的取值范围；（）如果对任意的 x1，x 2e 2，+） ，有|f（x 1）f（x 2）|m| |，求实数 m的取值范围文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 521 （14 分）已知函数 f（x）=ln（ax+1）+ 1（x0，a0） （）若 f（x）在 x=2 处取得
9、极值，求 a 的值；（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1 且 b0，函数 g（x）= bx3bx，若对于x 1（0，1） ，总存在x2（0，1）使得 f（x 1）=g（x 2） ，求实数 b 的取值范围福建省厦大附中 2014-2015 学年高二上学期第一次月考数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）某中学有 2014-2015 学年高一学生 400 人，2014-2015 学年高二学生 300 人，2015 届高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级
10、中抽取 120 人进行体能测试，则从 2015 届高三抽取的人数应为（）A 40 B 48 C 50 D 80考点： 分层抽样方法 专题： 计算题分析： 先求出各年级学生数的比例，再根据比例确定 2015 届高三年级应抽取的学生数解答： 解：各年级学生数的比例为 400：300：500=4：3：5，则从 2015 届高三抽取的人数应为： =50 人故选 C点评： 本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数属基本题2 （5 分）已知 f（x）=xln x，若 f（x 0）=2，则 x0等于（）A e2 B e C D ln 2考点： 导
11、数的运算 专题： 导数的概念及应用分析： 先对函数进行求导，然后根据 f（x 0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案解答： 解：f（x）=xln x， （x0）f（x）=lnx+1，f（x 0）=2，f（x 0）=lnx 0+1=2，解得 x0=e，x 0的值等于 e文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 6故选：B点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题3 （5 分）10 名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有（
12、）A abc B bca C cab D cba考点： 众数、中位数、平均数 专题： 概率与统计分析： 先由已知条件分别求出平均数 a，中位数 b，众数 c，由此能求出结果解答： 解：由已知得：a= （15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7；b= =15；c=17，cba故选：D点评： 本题考查平均数为，中位数，众数的求法，是基础题，解题时要认真审题4 （5 分）集合 A=2，3，B=1，2，3，从 A，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4 的概率是（）A B C D考点： 古典概型及其概率计算公式 专题： 概率与统计分析： 由分步计数原理可得总的方法种数为
13、 23=6，由列举法可得符合条件的有 2 种，由古典概型的概率公式可得答案解答： 解：从 A，B 中各取任意一个数共有 23=6 种分法，而两数之和为 4 的有：（2，2） ， （3，1）两种方法，故所求的概率为： = 故选 C点评： 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题5 （5 分）函数 y= x2lnx 的单调递减区间为（）A （1，1 B （0，1 C 1，+） D （0，+）考点： 利用导数研究函数的单调性 专题： 计算题文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 7分析： 由 y= x2lnx 得 y= ，由 y0 即可求得函数 y= x2lnx 的单调递减区间解答： 解：y= x2lnx
14、 的定义域为（0，+） ，y= ，由 y0 得：0x1，函数 y= x2lnx 的单调递减区间为（0，1故选：B点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题6 （5 分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（）A a=6 B a=5 C a=4 D a=7考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的 k，S 的值，当有 S= ，k=5 时，应该满足条件 ka，退出循环输出 S 的值为 ，故 a 的值应为 4解答： 解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件 ka，有 S=1+ ，k=2；文档来源：弘毅教育园丁网
15、数学第一站 8不满足条件 ka，有 S=1+ + ，k=3；不满足条件 ka，有 S=1+ + + ，k=4；不满足条件 ka，有 S=1+ + + + = ，k=5；此时，应该满足条件 ka，退出循环输出 S 的值为 故 a 的值应为 4故选：C点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查7 （5 分）等比数列a n中，a 1=2，a 8=4，f（x）=x（xa 1） （xa 2）（xa 8） ，f（x）为函数 f（x）的导函数，则 f（0）=（）A 0 B 26 C 29 D 212考点： 等比数列的通项公式；导数的乘法与除法法则 专题： 计算题分析： 对函数进行求导发现 f（
16、0）中，含有 x 的项的值均为 0，而常数项为a1a2a3a8 ，由此求得 f（0）的值解答： 解：考虑到求导中 f（0） ，常数项为 a1a2a3a8 ，再由含有 x 项均取 0，可得：f（0）=a 1a2a3a8=（a 1a8） 4=212故选 D点评： 本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题8 （5 分）在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于 的概率是（）A B C D考点： 几何概型 专题： 计算题分析： 首先分析题目求PBC 的面积大于 的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分
17、析出基本的事件空间与事件的几何度量是线段的长度，再根据几何关系求解出它们的比例即可解答： 解：记事件 A=PBC 的面积大于 ，基本事件空间是线段 AB 的长度， （如图）因为 ，则有 ；化简记得到： ，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 9因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 ；所以，事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度，因为 AP= ，所以PBC 的面积大于 的概率= 故选 C点评： 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、三角形的面积等基础知识，考查化归与转化思想属于基础题一般地，在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A， 则事件 A
18、发生的概率为：P（A）= 9 （5 分）已知函数 y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A B C D考点： 函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项解答： 解：由导数的图象可得，导函数 f（x）的值在1，0上的逐渐增大，故函数 f（x）在1，0上增长速度逐渐变大，故函数 f（x）的图象是下凹型的导函数 f（x）的值在0，1上的逐渐减小，故函数 f（x）在0，1上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选 B文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 10点评： 本题主要考查函数的单
19、调性和导数的关系，属于基础题10 （5 分）函数 f（x）=x 3+3x 在区间（a 212，a）上有最小值，则实数 a 的取值范围是（）A （1， ） B （1，2） C （1，2 D （1，4）考点： 利用导数求闭区间上函数的最值 专题： 函数的性质及应用分析： 求函数 f（x）=x 3+3x 的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a 212，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a 212，a）的元素，由此可以得到关于参数 a 的等式，解之求得实数 a 的取值范围解答： 解：解：由题 f（x）=33x 2，令 f（x）0 解得1x1；令 f（x）0 解得 x1 或 x1由此
20、得函数在（，1）上是减函数，在（1，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，f（0）=0，函数 f（x）=x 3+3x 在 R 上的图象大体如下：故函数在 x=1 处取到极小值2，判断知此极小值必是区间（a 212，a）上的最小值a 2121a，解得1a ，又当 x=2 时，f（2）=2，故有 a2综上知 a（1，2 故选：C点评： 本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.11 （4 分）如图是 CBA 篮球联
21、赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是甲文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 11考点： 茎叶图 专题： 图表型分析： 本题考查的知识点是茎叶图，根据茎叶图我们可得甲的得分数据和乙的得分数据，然后分别代入平均数计算公式，易计算出甲乙两名运动员的平均得到，比较平均数后即可得到答案解答： 解：从茎叶图上可得甲得分：8，10，15，16，22，23，25，26，27，3 2，平均值为 20.4；乙得分：8，12，14，17，18，19，21，27，28，29，平均值为 19.3，平均得分高的运动员是甲故答案为：甲点评： 根据新 2015 届高考服务于新教材的原则，作为新
22、教材的新增内容“茎叶”图是新 2015 届高考的重要考点，希望大家熟练掌握12 （4 分）在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则 m=3考点： 几何概型 专题： 概率与统计分析： 画出数轴，利用 x 满足|x|m 的概率为 ，直接求出 m的值即可解答： 解：如图区间长度是 6，区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，所以 m=3故答案为：3点评： 本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键13 （4 分）将某班的 60 名学生编号为：01，02，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，且随机抽得的一个号码为 04，则剩下的四
23、个号码依次是 16、28、40、52考点： 系统抽样方法 专题： 计算题分析： 根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可解答： 解：用系统抽样抽出的 5 个学生的号码从小到大成等差数列，随机抽得的一个号码为 04则剩下的四个号码依次是 16、28、40、52故答案为：16、28、40、52文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 12点评： 系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法14 （4 分）曲线 y=x3+3x2+6x1 的切线中，斜率最小的切
24、线方程为 3xy2=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率 专题： 计算题分析： 已知曲线 y=x3+3x2+6x1，对其进行求导，根据斜率与导数的关系进行求解；解答： 解：曲线 y=x3+3x2+6x1，y=3x2+6x+6=3（x+1） 2+33当 x=1 时，y min=3，此时斜率最小，即 k=3当 x=1 时，y=5此切线过点（1，5）切线方程为 y+5=3（x+1） ，即 3xy2=0，故答案为 3xy2=0；点评： 此题主要利用导数研究曲线上的某点切线方程，此题是一道基础题，还考查直线的斜率；15 （4 分）对于三次函数 f（x）=ax 3+bx2+cx+d（a0）
25、 ，给出定义：设 f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）=0 有实数解 x0，则称点（x 0，f（x 0） ）为函数 y=f（x）的“拐点” ，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数f（x）= x3 x2+3x ，请你根据上面探究结果，计算 + + =2013考点： 导数的运算 专题： 导数的综合应用分析： 求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于 0 求出 x的值，可得 f（1x）+f（x）=2，从而得到 + + +解答： 解：由 f（x）= x3 x2
26、+3x ，得 f（x）=x 2x+3，f=2x1，由 2x1=0 得 ， ，f（x）的对称中心为 ，f（1x）+f（x）=2，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 13 = ， + + + =2013故答案为：2013点评： 本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （16 分）求下列函数的导数：（1）y=e xln x； （2）y=x（x 2+ + ；（3）y=xsin cos ； （4）y=（ +1） （ 1） 考点： 导数的运算 专题： 导数的概念及应用分析：
27、 （1）利用导数的四则运算法则：f（x）g（x）=f（x）g（x）+f（x）g（x） ；（2）先化简解析式，再利用和的导数运算法则求出值；（3）利用三角函数的二倍角公式先化简解析式，再利用和的导数运算法则求出值；（4）利用平方差公式化简，再利用和的导数运算法则求出值；解答： 解：（1）y=（e x）lnx+e x（lnx）= ，（2）y=x（x 2+ + = ，y=3x 22x 3（3）y=xsin cos =x sinx， ，（4）y=（ +1） （ 1）= =点评： 本题考查导数的运算法则；基本初等函数的导数公式；求导数时注意先化简解析式，属于一道基础题文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站
28、1417 （12 分）现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答请列出基本事件结果，试求：（1） 所取的 2 道题都是甲类题的概率；（2）所取的 2 道题不是同一类题的概率考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 专题： 概率与统计分析： （1）将题目进行编号，列举选题德尔所有基本事件，找出所取的两道题都是甲类题的基本事件，利用古典概型计算即可；（2）找出所取的两道题不是同一类题的基本事件，利用古典概型计算结果解答： 解：将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4；将 2 道乙类题依次编号为 a，b任取2 道题，基本事件为：1，2，1，3，
29、1，4，1，a，1，b，2，3，2，4，2，a，2，b，3，4，3，a，3，b，4，a，4，b，a，b，共 15 个，而且这些基本事件出现是等可能的（1）用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共 6 个，P（A）= =（2）用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1，a，1，b，2，a，2，b，3，a，3，b，4，a，4，b，共 8 个，P（B）= 点评： 本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题18 （12 分）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：API 0
30、50 51100 101150 151200 2012050 251300 300级别 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0，50，（50，100， （100，150， （150，200，求直方图中 x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 15（结果用分数表示已知57=78125，2 7=128， ，365=735）考点： 频率分布直方图 专题： 概率与统计分析： （1）根
31、据所有矩形的面积和为 1，建立等量关系，解之即可；（2）空气质量分别为良和轻微污染，在频率直方图中在第二组和第三组，求出这两组的频率分别再乘以 365 即可求出所求；（3）先求出该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率，然后根据对立事件的概率和为 1 求出气质量不为良且不为轻微污染的概率，根据概率公式即可求出一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率解答： 解：（1）由图可知 x=150，解得 ；（2）一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为： ，；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为点
32、评： 本题考查频率分布直方图的相关知识，以及概率问题等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为 1，对立事件的概率和为 1，属于中档题19 （12 分）某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日和生产产品件数 x（xN *）间的关系为 P= ，每生产一件正品盈利 4000元，每出现一件次品亏损 2000 元 （注：正品率=产品的正品件数产品总件数100%） （）将日利润 y（元）表示成日产量 x（件）的函数；（）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的表示方法 专题
33、： 应用题分析： （1）根据题中正品率和盈利情况可得到关系式y=4000 x2000（1 ）x，整理后可得到答案文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 16（2）对（1）中函数进行求导数，令导函数等于 0 求出 x 的值，并求出 y0、y0的 x 的范围，进而可得到答案解答： 解：（1）y=4000 x2000（1 ）x=3600x所求的函数关系是 y= +3600x（xN *，1x40） （）由上知，y=36004x 2，令 y=0，解得 x=30当 1x30 时，y0；当 30x40 时，y0函数 y= （xN *，1x40）在1，30）上是单调递增函数，在（30，40上是单调递减函数当 x=
34、30 时，函数 y （xN *，1x40）取最大值，最大值为303+360030=72000（元） 该厂的日产量为 30 件时，日利润最大，其最大值为 72000 元点评： 本题主要考查根据已知条件列函数关系式、根据导数的正负判断函数的单调性问题属基础题20 （ 14 分）已知 P（x，y）为函数 y=1+lnx 图象上一点，O 为坐标原点，记直线 OP 的斜率 k=f（x） （）若函数 f（x）在区间（a，a+ ） （a0）上存在极值，求实数 a 的取值范围；（）如果对任意的 x1，x 2e 2，+） ，有|f（x 1）f（x 2）|m| |，求实数 m的取值范围考点： 利用导数研究函数的极
35、值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 导数的综合应用分析： （I）由斜率计算公式可得 f（x）= ，再利用函数在区间（a，a+ ）（a0）上存在极值时与参数的关系即可得出；（II）由（I）可知：函数 f（x）在e 2，+）单调递减，不妨设 ，则|f（x 1）f（x 2）|m| |，f（x 2）f（x 1） |m 函数 F（x）=f（x ） 在e 2，+）单调递减，再利用导数研究其单调性即可解答： 解：（I）k=f（x）= ，f（x）= ，当 0x1 时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 1x 时，f（x）0，函数f（x）单调递减文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 17故 f（x）在
36、 x=1 处取得极大值 1函数 f（x）在区间（a，a+ ） （a0）上存在极值， ，解得 ，实数 a 的取值范围是 （II）由（I）可知：函数 f（x）在e 2，+）单调递减，不妨设 ，则|f（x 1）f（x 2）|m| |f（x 2）f（x 1） |m 函数 F（x）=f（x ） 在 xe 2，+）单调递减F（x）= ，xe 2，+） F（x）= 0 在 xe 2，+）恒成立，mlnx 在 xe 2，+）上恒成立，m2点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题21 （14 分）已知函数
37、 f（x）=ln（ax+1）+ 1（x0，a0） （）若 f（x）在 x=2 处取得极值，求 a 的值；（）求 f（x）的单调区间；（）若 a=1 且 b0，函数 g（x）= bx3bx，若对于x 1（0，1） ，总存在x2（0，1）使得 f（x 1）=g（x 2） ，求实数 b 的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： （I）由 f（x）求导函数 f（x） ，f（x）在 x=2 处取得极值，得 f（2）=0，求出 a 的值；（II）对 f（x）的导函数 f（x） ，讨论 f（x）0 时，函数是增函数，f（x）0时，函数是
38、减函数；得 f（x）的单调区间；（）a=1 时，求出 f（x）在（0，1）上的值域 A；b0 时，g（x）在（0，1）上的值域B；由题意 AB；从而求出 b 的取值范围文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 18解答： 解：（I）f（x）=ln（ax+1）+ 1，f（x）= =由 f（x）在 x=2 处取得极值，得 f（2）=0，即 5a2=0， ；（II）f（x）= （其中 a0，且 x0） ，若 a2，x0 时，得 f（x）0即 f（x）在0，+）上是增函数，若 0a2 时，令 f（x）=0，有 x= ，或 x= （舍去） x （0， ） （ +）f（x） 0 +f（x） 减函数 增函数f（x）的单调减区间是（0， ） ，单调增区间是 （ ，+） ，（）当 a=1 时，由（2）得 f（x）在（0，1）上是减函数，ln2f（x）1，即 f（x）的值域 A=（ln2，1） ；g（x）= bx3bx，g（x）=bx 2b=b（x1） （x+1） ，且 b0，x（0，1）时g（x）0；g（x）在（0，1）上是增函数g（x）的值域 B=（0， b） ；由任取 x1（0，1） ，存在 x2（0，1） ，使得 f（x 1）=g（x 2） ，AB；即 b1，b ；b 的取值范围是b|b 点评： 本题考查了利用导函数研究函数的单调性与极值的问题，以及函数的值域问题，是较难的题目
