1、1雅礼中学高三月考数学试题（理科）考试时间：120 分钟 满分：150 分一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1、若集合 ， ，则集合 等于（ D ）1234A， ， ， 2781,349BC， ， ， ， ()ABCA. B. C. D. ,2781,342、复数 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于（ A ）iz31iz1212zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3、若向量 ， ，则 等于（ B ）()，a(3,4)b=()ab+A. B. 20 (10,3)C. D.54 8,244、若 ，且 ，则 等
2、于（A ）3tansincot0sinA. B. 5 35C. D. 45、已知命题 .01,:;25sin,: 2 xRxqxRxp 都 有命 题使， 都 有命 题使 都 有命 题使 ， 都 有命 题使 给出下列结论：命题“ ”是真命题 命题“ ”是假命题qp命题“ ”是真命题 命题“ ”是假命题其中正确的是（ B ）A B C D6. 分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道. 要求 4 名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）A. 种 B. 种 34 31AC. 种 D. 种23A43C7、设 F1， F2是椭圆
3、 16492yx的两个焦点， P 是椭圆上的点，且 3:4:21PF，则 2FP的面2积为 （ D ）A4 B 24 C 2 D 6 8、若 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ B ）nx)1(A10 B20 C30 D1209、数列 满足 ，则 的整数部分是（ ）Bna2113,()nnaN122014maaA. 0 B. 1 C. 2 D. 310、在平面直角坐标系中， ,1,AxyBxyxy则 所表示的区域的面积为（ ）D121212,PxyAA6 B C D618二填空题：共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11、 如图， 的两条弦 ， 相交于圆内一点
4、 ，若 ， ，则该OADPAB2,8,4PCOP圆的半径长为 答案： 2412、曲线 ： （ 为参数）上的点到曲线 ： （ 为参数）上的点的最短1Ccosinxy 2C12xty离为 答案：113、设 ，且 ，则 的最小值为 ,Rxy0xy2219xy答案：1614、计算 d240的结果是 答案： 15、已知 是函数 图像上的点， 是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点 作直线，,3PkyxQQ31000.0250.0150.010.005908070605040使其与双曲线 只有一个公共点，且与 轴、 轴分别交于点 ，另一条直线 与kyxxyCD、362yx轴、 轴分别交于点 。xAB、则
5、（1） 为坐标原点，三角形 的面积为 OOCD（2）四边形 面积的最小值为 答案：（1）12 （2）4816、已知数列 共有 9 项，其中， ，且对每个 ，均有 。na19a1,2.8i12,ia（1）记 ，则 的最小值为 39218.SS（2）数列 的个数为 na答案：（1）6；（2）491解析：令 ，则对每个符合条件的数列 ，满足条件：18iibna，且8191iiab12,8ibi反之，由符合上述条件的八项数列 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列 。n na记符合条件的数列 的个数为 ，显然， 中有 个 ， 个 ， 个 ，且nbN18ib2k1k284k1的所有可能取值为 。k0,12
6、（1）对于三种情况，易知当 时， 取到最小值 ；kS6（2） 248691NC三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、 （本题满分 12 分） 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 名学生，将其成绩（均为整数）分成六段 ，60 50,4， 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：60,510,9() 求第四小组的频率；() 从成绩是 分以上（包括 分）的学生中选两人，求这两人的成绩在 内的人数的分布77 8,9)列及期望.4【解】 （）因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率： .4 分41(0.25.10.5)10.3
7、f()设人数为 ，xx 0 1 2P 361Ex= 12 分652118. (本小题满分 12 分)已知函数 的最小正周期为 ,当 时，函数)0(2sin)si(3( mxxxf 3,0x的最小值为 0.)f()求函数 的表达式；)f()在 中，若 的值.ABC ACBf sin),cos(si,1)(2 求且 【解】 （） 2 分16i2)c(sin3( mxxxxf 依题意函数 .3,) 解 得即的 最 小 正 周 期 为所以 4 分.1)632si(mxf 、 6.1)632sin()( .0,1)32sin(5,0 xf x（） .1)32sin(,CC2225,.863636,sin
8、cos(),15cosin0, .105101,s.22RtABBA 、 、19、 （本题满分 12 分） 如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ，且 。ABCDPABCDPB, 2A（）求证： 平面 ； 5（）若 为线段 的中点， 为 中点.求点 到平面 的距离.FBCEPDEAF19 （）证明：底面 为正方形，ABCD ，又 ，P 平面 ， . 3 分同理 ， 5 分ACD 平面 6 分PB（）解：建立如图的空间直角坐标系 ，xyzA则 . 、)0(A、)2(0)P 为 中点，FBC ).1(、同理， 0E设 为平面 的一个法向量，n),(cbaAF则 ， 又 ，(0,1)AP
9、),012(2.bca令 则 .,1,2得 10 分n() PAB C DEF yx zFE DCABP6又 ),02(AD点 到平面 的距离 . 12 分EF43ADn20、 （本题满分 13 分） 容器 内装有 6 升质量分数为 20%的盐水溶液，容器 内装有 4 升质量分数为 5%的盐水溶液，先将 内ABA的盐水倒 1 升进入 内，再将 内的盐水倒 1 升进入 内，称为一次操作；这样反复操作 次， 容B n,B器内的盐水的质量分数分别为 ，,nab（I）问至少操作多少次， 两容器内的盐水浓度之差小于 1%？（取 lg2=0.3010，lg3=0.4771）A（）求 的表达式。nab、解：
10、（1） ； 2 分509)12(6,5)20145(11 ； 4 分304)(6,111 nnnn bababa的等比数列，2),(321 qnnn 是，7.52lg310log100321 ba，故至少操作 7 次； 7 分7（2） 9 分nnnnn bb )3(10,4)(105111 )( 123121 nn bb 11 分927()(,0035n而 13 分117()().325nnnab21、 （本题满分 13 分） 设直线 :(1)0lykx与椭圆 223(0)xya相交于 两个不同的点，与 轴相交于点 ，,ABxC记 为坐标原点.O（I）证明：2.3ak；（）若 OABCA求,的
11、面积取得最大值时的椭圆方程【解】 （1）证明：由 (1)ykx得 1.yk7将 1xyk代入 223xya消去 x得236()0. 3 分由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点得 224(1)3,ak整理得 23(1)ak，即2.3k5 分（2）解：设 ).,(,21yxBA由，得 1226yk C而点 0, (,)(,)xxy得 12y代入上式，得 226.3ky 8 分于是， OAB 的面积 | 221OCS 29|3.2k-10 分其中，上式取等号的条件是 3,k即 . 11 分由 226.3ky可得 2y将 ,及 2,y这两组值分别代入，均可解出 215.a OAB 的面积取得最大值的椭
12、圆方程是 2315.xy-13 分22、 （本题满分 13 分） 已知函数 21ln, 0fxgxab（I）若 时，函数 在其定义域上是增函数，求 的取值范围；2ahfgxb（II）在（I）的结论下，设函数 ，求函数 的最小值；2,ln2ex（III）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 ，过线段 的中点 作 轴的垂线分)(xf1C)(x2C,PQRx别交 于点 ，问是否存在点 ，使 在 处的切线与 在 处的切线平行？若存在，求出12,C,MNR1M2N的横坐标；若不存在，请说明理由.R解：（I）依题意： .ln)(2bxxh在（0,+ ）上是增函数，()对 x（0,+ ）恒成立， 2 分1
13、20x812.0,则 .bx4 分.2,的 取 值 范 围 为b（II）设 .2,1, tbyetx则 函 数 化 为 ,2,12,12.4)(2 上 为 增 函 数在函 数时即当 y，bbty当 t=1 时，y m I n=b+1； 6 分,2,14,2 ;4, 2min上 是 减 函 数在函 数时即当 时当时即当 yb bybt 当 t=2 时，y m I n=4+2b 8 分.4)(,24 .1)(, 2bxbx的 最 小 值 为时当 的 最 小 值 为时当综 上 所 述 当 的最小值为 8 分,时.（III）设点 P、Q 的坐标是 .0),(, 2121xyx且则点 M、N 的横坐标为 .2xC1在点 M 处的切线斜率为 .|1212xkxC2在点 N 处的切线斜率为 9 分.)(|221 babax假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行，则 .21k9,ln)2()2()()(2.212112111xybxabxaxba则即10 分.1)(2)(ln12xx设 11 分,)(ln,12 uxu则.1)(2ln,0),.(,1.)1()4).,l( 22uruur则故 上 单 调 递 增在所 以则令这与矛盾，假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行. 13 分
