距离空间.docx

1、距离空间在数学分析中研究的对象是函数，研究的基本工具是极限，极限同时也是分析理论的基础，而在泛函分析中，将上述内容进行了推广，定义极限的基础为距离，研究的对象是算子和泛函（空间到空间的映射），首先引入距离作为度量的工具，其次在度量空间中定义极限，建立相应的理论，进一步对每一个具体的空间引入相应的结论。1.1、定义和举例：1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若且满足（距离公理）：,xyxy 按 一 定规 则 ()0（1）非负性 ,yx当 且 仅 当 时 ()（2）对称性 ,（3）三角不等式 z有(,)(,)(,)xyzy则称实数 为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距离空间或度量空间

2、，,记作 。距离空间中的元素也称为“点” ，用“”表示。,X()或距离 是集合 XX（称为乘积空间或笛卡尔积空间）到实数集合R1 上的二元泛函（或称函数） 。2）举例：例 1 设 R1 是非空实数集合， ，1,Rxy（1）若定义 ，,()验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间；（2）若定义 ，验证知三条距离公理成立，所以1,()xyR1 按定义 也是距离空间；（3）若定义 ，22,xy()验证不满足第三条公理，所以 R1按定义 不是距离空间。可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不同的距离空间。例 2 设 Rn 是 n 维向量全体构成的空

3、间，112(,)(,)Rnxxyy 定义 2(iy)证明：R n 在 下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。补充不等式1）Minkowski 不等式（1）1/1/1/kkknnni iiabab（ ， 为实数或复数）k,i（2） 11/ 1/()()()kkbbbkaaafxgdfxdgxd其中 在 上可积分，,2）Holder 不等式（1） ，1/1/pqnnniiibb其中 为实数或复数， 。,ia（2） 1/ 1/()()()pqbbbaaafxgdfxdgxd其中 在 上可积分。,pq,特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式特别的，当 n=1 时， ，y()当 n=2 时，

4、 221,)()xxy如果在 R2 中，定义 ， （()d）验证得知 R2 按 也是距离空间，但与欧氏空1212(,),xyd间是不同的度量空间。例 3 设 表示定义在 上的所有连续函数的全体。,Cabb，定义(),t,()max()tbyyt则 在 下是距离空间。,若 ， 则 在 下也是距离空间 1()()baxytdt,C1例 4 设 表示 上 方可积的所有函数的全体，即,1pLP,p。,()pbatt定义xy,1/(,)()pbaxytdt则 是距离空间，常称为 方可积的空间。,pLbp特别的，当 p=2 时， 称为平方可积的空间。2,L例 5 设 是所有 方可和的数列所成的集合，即(1

5、)lP，满piixx对于，1/1,(,)ppii ixylxy,定 义则 是距离空间，常称为 方可和的空间。pl特别的，当 p=2， 称为平方可和距离空间。2l1.2、收敛概念1）定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间， x n是 X 中点列， 。x若 （即,()0时 nx,N当 时）(n则称点列 x n在 X 中按距离 收敛于 x，记作lim()n或此时，称 x n为收敛点列， x 为 x n的极限点。(),0n数 列定理 1（极限唯一性）在距离空间 X 中，收敛点列 x n的极限是唯一的。定理 2（极限存在的有界性）在距离空间 X 中的收敛点列 x n必有界。即 0 0,0,(,)nxX

6、rxr及 实 数 使 得 都 有定理 3（距离的连续性）在距离空间 X 中，距离 是两个变元y的连续泛函。即当 时,y00,nnxy()(,)x2）柯西点列（Cauchy）定义 设x n是距离空间 X 中的一个点列，若 ,时 ， nm（即 ）0(,)当 时 nNx则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。例如：R 1 中，点列 是 Cauchy 列，也是收敛点列。1nx注：R 1 中有结论：x n是收敛数列 x n是 Cauchy 数列。但在一般的距离空间中，该结论不成立。定理 若 x n是 中的收敛点列，则 x n一定是 Cauchy 点列；反之，,X（ ）Cauchy 点列不一定是收敛点列。证明：设 ，,(,)0n时(,),(,)nmmxxx则。,(,)0nmnmx时