随机过程作业(2).doc

1、要求：前六个题每人选 3 个，第 7 题到第 14 题每人任选 1 个。第三章 Poisson 过程1、设 是强度为 的 Poisson 过程，令 ，其中 L0 为常(),0Nt()(YtNLt数，求 的一维分布，均值函数和相关函数。Y2、设 是强度为 的 Poisson 过程，证明对于任意的 ，(),t 0st()|()()1,1,knknsPNsktCnt3、设有两个相互独立，强度分别为 的 Poisson 过程 ，证12,2()(),0Ntt明在过程 中两个相邻事件间，过程 出现 k 个事件的概率为1(),0t2,0t122(),1,kp4、设 复合 Poisson 过程，证明 也是平稳

2、独立增量过程。(),0Xt,0Xt5、对于齐次泊松过程，计算 的联合分布。123,t，6、产生一个泊松随机变量。设随机变量列 服从（0，1）上的的均匀分12,UL布，且相互独立：若 ,证明 服从参数为 的指数分布；()alniiUX-=iXl若 定义为满足下式之 值：bNn，其中11i ii ieUl+-=01ii=利用 证明 服从均值为 的泊松分布。()a7、考虑一个从底层起动上升的电梯。以 记在第 层进入电梯的人数。设 相iNi iN互独立，且 是均值为 的泊松变量。在第 层进入的各个人相互独立地以概iNil率 在第 层离开电梯。 =1，令 为第 层离开电梯的人数。ijpijjpjO求 ；

3、 的分布是什么？ 的联合分布是什么？()a)jEO(bj ()c,jk8、考虑一个具有 个面的骰子，且假定每掷一次只呈现其一面，第 面以概率r i出现， 。给定数 ，以 记直到第 面出现 次时所需掷次ip1riip=1,rnLiNiin数， 。令 ,于是 是对某个 ,第 面出现 次,2rL1,.miirN= 1,2r=Li时所需掷次数.的分布是什么?()ai诸 独立吗?biN设抛掷是在参数为 =1 的泊松过程所产生的随机来到时刻进行的。以 记 iT直到第 面出现 次所需要时间， ，令 ，iin1,2ir=L1,minrT=L的分布是什么?()ciT诸 独立吗?di导出 的表达式。()eE用 导

4、出 的表达式。fN9、个体按照参数为 的泊松过程进入系统。每个来到的个体相互独立地经历系统的状态。以 记一个体来到后经过时间 处于状态 的概率。以()isasi记在时刻 处于状态 的个体数。证明 相互独立且 服()iNtti(),12,iNt=L()iNt从均值为 一个体从进入系统到 时止处于状态 的时间。Et10、证明非齐次泊松过程的增量 服从均值为 的泊松)(ts)(smt分布。11、一个二维泊松过程是在平面上随机发生的事件构成的过程，使得（i）对于任一面积为 的区域，其中的事件数服从均值为 的泊松分布；AA（ii）不相交的区域中的事件数是相互独立的。对此过程，考虑平面上任意一点，以 记它

5、与最近的事件间的距离，此处的距离是指通常的欧氏距离。X证明 ； 。()a2)tPtelp-=()b12EXl=12、设 是复合泊松过程，计算 。(),0Xt)(,cov(tXs13、对一个条件泊松过程：（a） 解释为什么条件泊松过程有平稳增量但无独立增量。（b） 在已知 ,即过程直到 时的历史资料条件下，计算0),(tsNt的条件分布，并且证明它只依赖于 。解释为什么会是这样的。)(N（c） 在已知 = 的条件下，计算 之后第一个事件发生的时刻的条件)(tNnt分布。（d） 计算 hPh1)(lim0（e） 以 表示来到间隔，它们独立吗？它们同分布吗？12,XL14、考虑一个条件泊松过程，其中 服从参数为 与 的 分布，即密度为m1(),0!meglall l-=(a)证明 ；1()(),nmnmtPNtC+-+(b)证明在已知 的条件下， 的条件分布仍是 分布，参数为t=, + .nmt(c) 是什么？0()(1()lihPNttNtnh-