1、透平压缩机机组的横向振动和扭转振动分析 CAECAE, 压缩机, 机组, 振动分析采用转子动力学分析软件 MADYN 2000，对一台离心压缩机进行了横向振动分析，对一套轴流压缩机机组进行了扭转振动分析，讨论了转子动力学分析的重要性。0 引言 透平压缩机转子在启停机的升速或降速过程中，转速达到某一数值时，转子发生强烈振动，转速高于这一数值后，振幅又减小；振幅出现峰值的转速称为临界转速。如果转子的转速停滞在临界转速附近，轴的变形将迅速增大，以至轴或轴上零件乃至整个机器遭到破坏。因此，透平压缩机转子的转速应避开临界转速。 随着流程工艺复杂化，介质类型多样化，机械设备朝着大型化、精密化、高效化和高可
2、靠性方向发展。跨度较大、刚性较小、外伸端较长的轴被大量采用，压缩机转子临界转速都有不同程度的降低，更加容易引起共振。对于“转子-齿轮-轴承”系统，整个轴系的扭转临界转速相对降低了很多，压缩机机组扭转振动问题也引起了极大的重视。 对于这些，需要采用功能相对完备的转子动力学软件。能够进行横向振动、扭转振动等方面的分析。可以考虑多种数据：包括轴的几何尺寸，叶轮、叶片、盘套等的位置以及相关属性，轴承的位置以及相关属性，联轴器相关属性，齿轮的相关属性，支撑的位置以及相关属性，材料属性，转子速度，不平衡量的大小、相位角和位置，附加的外部载荷的位置以及与时间相关的属性，外部激励的位置以及谐波等。 转子动力学
3、分析软件“MADYN 2000”软件包，具有较强的功能和快捷的性能。该软件包界面友好，易学易用、具有丰富的前处理、后处理功能。可以对“转子-齿轮-轴承”系统进行横向振动、扭转振动、轴向振动等方面的仿真分析。包括有临界转速分析、不平衡响应分析、阻尼特征值分析及转子稳定性分析、瞬态分析及非线性分析等。可以考虑陀螺效应的影响、轴承的影响、基础的影响及密封的影响及齿轮的影响等。 “MADYN 2000”软件包主要采用梁结构，采用的梁理论是铁木辛柯梁(Timoshenko Beam)；采用的计算分析方法是有限元法；采用的多项式是埃尔米特多项式。 这里，对一台离心压缩机进行了横向振动分析，对一套轴流压缩机
4、机组进行了扭转振动分析。 图 1 计算模型 1 横向振动分析 1.1 计算模型的建立 这里计算分析一台离心压缩机。计算模型考虑了各轴段及叶轮的转动惯量，考虑了滑动轴承 8个动态特性系数。计算模型如图 1所示。 计算模型建立之后，可立即计算出转子的总质量、总转动惯量、重心位置等，便于进行数据核对。 1.2 计算及分析 在分析计算时，进行了刚性支承下的特征值计算、滑动轴承支承下的特征值计算、不平衡响应分析等。一阶不平衡响应分析结果如图 2所示，二阶不平衡响应分析结果如图 3所示。 图 2 一阶不平衡响应分析结果 图 3 二阶不平衡响应分析结果 在不平衡响应分析结果里，可直接显示出横向临界转速等数据
5、，使用非常方便。 采用转子动力学分析软件MADYN 2000，对一台离心压缩机进行了横向振动分析，对一套轴流压缩机机组进行了扭转振动分析，讨论了转子动力学分析的重要性。该离心压缩机的工作转速为 11700r/min,经过计算，可得到一阶临界转速为4099r/min,二阶临界转速为 21590 r/min，该转子在设计转速下运行时不会发生横向振动。 2 扭转振动分析 2.1 计算模型的建立 计算和分析了一套轴流压缩机机组，该压缩机机组由电机、齿轮箱、轴流压缩机和膜片联轴器组成。高速轴转速：4545 r/min，低速轴转速：1500 r/min，速比为3.030。计算程序采用 MADYN 2000
6、软件，模型共分 2个连续轴系，模型分布图如图 4所示。 图 4 机组的模型分布图 图 5 扭转振动 CAMPBELL图 2.2 计算及分析 在分析计算时，进行了特征值分析、阻尼特征值分析等，扭转振动 CAMPBELL图如图 5所示，扭转振动一阶振型图如图 6所示，扭转振动二阶振型图如图 7所示，扭转振动三阶振型图如图 8所示。 图 6 扭转振动一阶振型图 图 7 扭转振动二阶振型图 图 8 扭转振动三阶振型图 计算的一阶扭转临界转速为 1173 r/min（19.55 Hz），二阶扭转临界转速为 3810 r/min（63.50 Hz），三阶扭转临界转速为 18217r/min（303.62
7、Hz）。根据有关标准，要求机组各阶扭转临界转速应避开 1倍，2 倍工作转速10%这一范围，从机组的扭振 CAMPBELL图和各阶扭转临界转速振型图可以看出，该机组扭转振动计算结果满足了相关要求。 3 结论 目前，各个方面对转子动力学分析的要求都在不断提高，进行横向振动、扭转振动等方面的分析也越来越多，振动特性测试、振动监测保护等方面的工作也增加了很多。这样，转子动力学分析、试车测试、监测保护等工作可以有机地结合起来，以便机组更平稳地运行。一、转子系统临界转速的概念 图 2-20 单盘转子示意图 图 2-21 圆盘的瞬时位置及受力转子系统是一类特殊的工程机械，下面通过最简单的转子模型来进行讨论，
8、说明转子系统临界转速的概念。 设有一转子如图 2-20所示，其中 是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为，在跨中安装有质量为 的刚性薄盘。由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为 。当转子以等角速度 自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。设圆盘在瞬时 的状态如图 2-21 所示，这时弹性轴因有动挠度而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为 （2-100） 式中， 为弹性轴在跨中的刚度系数，由材料力学可知，对于图 2-20所示的模型 （2-101） 设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为 （2-102） 式中， 为粘性阻尼系数。 根
9、据质心运动定理，可得： （2-103） 由图 2-21的几何关系知 （2-104） 对上式求两次导数，可得 （2-105） 把（2-105）代入（2-103），得到转子模型的运动微分方程 （2-106） 可改写为 （2-107） 式中， ， 把（2-107）式与有阻尼单自由度系统的强迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。因此引用其求稳态解的方法，设 (2-108） 把（2-108）代入（2-107）中，得到 （2-109） 由此可见， 点绕固定坐标系的 轴在作圆周运动。对照几何关系 可见圆周运动的半径就是轴的动挠度 ，角速度等于轴的自转角速度 ，因为有阻尼，动挠度与偏心之间
10、存在相位差 。即有 （2-110） 根据（2-110）式可绘出在不同 值时， 和 随 值变化的曲线，分别如图 2-22与图 2-23所 示。由于 的存在，在一般情况下， 、 和 三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形 ，而且 的形状在转子以等角速度 旋转过程中保持不变。只有当时， ，这三点才近似在一直线上， 点位于 和 之间，即所谓圆盘的重边飞出。当 时， ，这三点又近似在一直线上，但 点位于 和 之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。 图 2-22 转子动挠度的幅值-转速曲线 图 2-23 转子动挠度的相位-转速曲线 根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主
11、响应的特征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，于是可利用条件 （2-111） 来确定临界转速，并以 表示。由（2-111）式得 由此解得 （2-112） 可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图 2-22中也可以看出，各曲线的峰值都偏在 线的右边，这一点应特别注意。 对于小阻尼情况 （2-113） 对于无阻尼的理想情况，即 ，在临界转速时，动挠度 将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为 ，即在临界转速前后有相位突变， 、 和 三点始终在一条直线上。实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避
12、免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。 为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差 ，把 、 及 三点在不同转速时的相对位置表示在图 2-24上。 图 2-24 在不同转速时的偏心位置 二、振动传感器的基本原理 一个完整的振动传感器，可以分为两部分，即机械接收部分和机电变换部分。机械接收部分的作用是将被测的机械量（如振动位移、速度、加速度等）接收为另一个适合于机电变换的中间量。机电变换部分再将中间量变换为电量输出。 振动传感器常用的机械接收原理有相对式和惯性式两种。下面以惯性式传感器的接收为例来讨论振动传感器的基本原理。惯性接
13、收传感器的接收部分可以简化为由质量 、弹簧 和阻尼 构成的单自由度系统，如图 2-25所示。设传感器的底座完全刚性地固定在测量对象上，与被测体具有完全相同的运动规律。设测量对象的振动为 ，质量 相对于底座的相对振动为 ，则表示接收关系的相对振动微分方程为 图 2-25 惯性传感器的接收部分简化模型 （2-114） 可改写为 （2-115） 其中， ，为传感器底座完全刚性固定不动时接收部分的自然频率，也称为“固定安装共振频率”，为接收部分的阻尼比。后面将会看到，固定安装共振频率 及阻尼比 是决定传感器使用频率范围的两个最主要的参数。下面分两种情况讨论。 1. 位移计型惯性接收（ ， ） 设输入的
14、被测振动的复数形式为 （2-116） 经接收后输出的相对振动的稳态响应为 （2-117） 代入（2-115）式，可得： （2-118） 式中， 为输入对输出的幅值比，它相当于机械接收部分的灵敏度， 为无量纲动力放大系数， 为输出对输入的相位 （2-119） b （2-120） 其中， 称为频率比。 在图 2-26（a）、（b）中分别给出了 、 随 的变化规律，从图中可以看出： （1）使用频率范围。当 以后， 曲线逐渐进入平坦区，并随着 的增加而趋向于 1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。因此，对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感器的自然频 图 2-26 位移计型惯性
15、式接收特性曲线 （a）辐频特性曲线；（b）相频特性曲线 率。为了压低使用频率下限，一般引进 的阻尼比，这样， 曲线在过了之后，很快进入平坦区。在 的范围内，接收灵敏度急剧下降，因此，位移计型惯性接收不适用于比传感器自然频率更低的振动测量。理论上讲，测量频率上限无限制。 （2）阻尼与相移。引进阻尼虽然改善了 附近接收灵敏度曲线的平坦度，但是，阻尼使相移大大增加，从图中相移曲线上可以看到，在 的区域内， 值的取值越大，相移角 偏离 无相移线的差角也越大。这在传感器使用中应当注意。 （3）幅值上限。位移计型惯性接收的传感器在其使用频率范围内，其内部惯性质量的相对振动位移的幅值接近于被测振动位移幅值。
16、因此，它不允许测量超过其内部可动部分行程的振动位移。 需要说明的是，位移计型惯性接收的传感器不等于是位移传感器，这还取决于传感器所采用的机电变换原理。 2. 加速度计型惯性接收( )令被测的振动加速度的复数形式为 （2-121） 式中， 为加速度的复振幅，它与位移复振幅的关系为 （2-122） 由（2-115）可求得输出的相对振动位移与输入的振动加速度的复振幅比（表示为无量纲形式）为 （2-123） 上式中， 仍为传感器固定安装时的自然频率， 仍代表接收灵敏度。 为输出 相对于输入 的相位滞后。 （2-124） （2-125） 在图 2-27（a）、（b）上，分别绘制了 和 随 的变化曲线，从
17、这两组曲线看出：图 2-27 加速度计型惯性接收的特性曲线（a）辐频特性曲线；（b）相频特性曲线 （1）使用频率范围。加速度计型惯性接收是利用 曲线上 之间平坦段作为使用频率范围。在这一平坦段内，相对振动位移 正比于被测振动加速度 。当 时有 ，因此，加速度计型惯性接收具有零频率的响应的特点。如果传感器的机电变换部分和测量电路部分都具有零频率响应，则构成的整个测量系统也有零频率响应。可以用于测量特低频振动和恒加速度运动。使用频率上限除了受自然频率 和安装刚度的限制外，还与引进的阻尼比值有关。为了扩展其频率上限，某些加速度传感器也引入的阻尼比。 （2）阻尼与相移，在压电式加速度传感器中，由于采用
18、压电式机电变换，其固有频率可达几十 ，而阻尼比只有 的量级。因此，在其使用的 或 范围内，只有极小的相移，但对于引入了较大阻尼的加速度传感器（如金属丝电阻 加速度传感器）中，相移应多注意。 （3）加速度计型惯性接收的传感器，在其使用频率范围内，内部的相对振动位移总是远小于测量对象的振动位移。因此，一般不存在类似的位移计型的行程问题。 习 题 2.1 弹簧不受力时原长为 65厘米，下端挂上重 1公斤的物体后，弹簧长度增大到 85厘米。设用手把物体托住，使弹簧回到原来长度 时，突然释放，物体初始为零。试求物体的运动方程、振幅、周期以及弹簧力的最大值。答： ， 厘米 ， 秒 ， 千克2.2 由吊索悬
19、挂的矿笼重 吨，以速度 米/秒匀速下降。设吊索突然嵌入滑轮侧面的缝隙，吊索上端被卡住，立即停止不动。求此后矿笼的运动，以及吊索中的最大张力。吊索的悬垂部分，重量可以不计，刚度系数为 吨/厘米。答： 吨2.3 求图示物体 的周期，三个弹簧都成铅垂，且 。答： 2.4 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图所示。试列出振动微分方程，并求出其固有圆频率。图 2-28 题 2.3图 图 2-29 题 2.4图答： 运动方程 固有圆频率 2.5 求图示系统微幅扭振的周期。两个摩擦轮可分别绕水平轴 与 转动，互相啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径 与 在同一水平线上），弹簧不受力，弹簧系数为 与 摩擦
20、轮可看为等厚均质圆盘，质量为 与 。答： 图 2-30 题 2.5图 图 2-31 题 2.6图 2.6 轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为 ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量 的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧 维持平衡。半径 与 都是已知的。求微幅振动的周期。答： 2.7 用弹簧悬挂的物体，质量为 ，原成静平衡。突然有质量为 的物体从高度 落下，撞到 后不再回跳，求此后的运动。答： 2.8 求图所示周盘系统对轴 1的等效转动惯量。轴 1与 2是平行轴。 及 分别为两圆盘的半径及对轴 1，2 的转动惯量。图 2-32 题 2.7图 图 2-33 题 2.8图 答： 2.9 半径
21、为 的均质圆柱，可以在半径 的圆筒内滚动而无滑动。圆柱与圆筒的轴线都成水平。试求圆柱在静平衡位置附近振动的频率。答：图 2-34 题 2.9图 图 2-35 题 2.10图 2.10 如图所示为一测低频振幅用的测振仪的倒置摆。1. 试导出系统的静态稳定平衡条件； 2. 给定整个系统对转动轴 的转动惯量为 ， ， 求系统的固有频率。答：（1）提示：一个系统的静态平衡是否稳定定于它的势能是极小值还是极大值，再由等效刚度的正负来判别。（2）2.11 用能量法求图示三个摆微幅振动的固有频率。摆锤重为 ，杆重不计。（b）与（c）中每个弹簧的刚度系数为 。图 2-36 题 2.11图答： 2.12 一质量
22、为 ，长为 的等直杆，以等角速度 绕垂直轴旋转，如图所示，以 表示杆与垂直轴的夹角1. 确定杆的稳定的相对平衡位置 ； 2. 导出杆在平衡位置 附近作微摆的微分方程，并求其固有圆频率； 3. 求当 很大时的固有频率。 答：（1）（2）（3） 当 时， ，此时 即等直杆接近水平位置。图 2-37 题 2.12图2.13 重量为 的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长 。在上下运动时所遇到的阻力与速度 成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数 的最低值。答： 2.14 图示简化系统，假定系数 以及弹簧 下端的运动 均为已知。试写出系统的运动微分方城，并求出临界阻尼。图 2-38 题 2.14图 图 2
23、-39 题 2.15图 答： 2.15 一弹簧 与阻尼器 并联于无质量的水平板上，今将一质量 轻放在板上后立即释手，系统即作衰减振动。问质量 的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在何时？设 。答： 2.16 挂在弹簧下端的物体重为 0.49公斤，弹簧系数为 0.20公斤/厘米，求在铅垂扰力作用下强迫振动的规律。答： 2.17 空桶重 4吨，浮在水面上，而水面的高度按照 米的规律上下波动。桶的水平截面积可以认为常数，等于 。试求桶沿铅垂方向的运动规律，假定阻尼可以不计，且在初瞬时桶的位移 与速度 都等于零。答： 2.18 导出图示弹簧与阻尼串联的单自由度系统的运动微分方程，求出其振
24、动解。答： 常数 可由初始条件 决定。图 2-40 题 2.18图图 2-41 题 2.19 图 图 2-42 题 2.20图 2.19 如图示，弹簧下端挂着重 的物体，上端作简谐运动， 。求物体的强迫振动。已知 公斤， 公斤/厘米， 厘米， 1/秒。答： 2.20 在图所示的弹簧质量系统中，在两个弹簧的连接处作用一激励 。试求质量块 的振幅。答： 图 2-43 题 2.21图 图 2-44 题 2.23图2.21 试求图所示的有阻尼弹簧质量系统的振动微分方程，并求其稳态响应。答：微分方程 稳态响应 令 ， ， 2.22 某传感器固有频率为 1Hz，无阻尼。用来测量频率为 4Hz的振动时，振幅
25、度数为1.30毫米。问实际振幅等于多少？答： 1.22 毫米2.23 求图所示系统在两端都有支承运动时的稳态响应，图中 ，。式中 。答： 2.24 求图示函数 的傅立叶级数。图 2-45 题 2.24图 答： 图 2-46 题 2.25图 2.25 求图示系统，在凸轮作用下受到如图所示的锯齿形波形的支承运动的稳态相应。提示： 答： 式中 2.26 试证明：有阻尼振系对阶跃函数 的响应，出现峰值的时刻为 响应的峰值为2.272.29 求无阻尼振动对下列各个激扰力的响应，假定在 时刻有 与 。见图 2.26至 2.282.27答： 图 2-47 题 2.27图 图 2-48 题 2.28图 2.28 答： 2.29答： 图 2-49 题 2.29图 图 2-50 题 2.30图 图 2-51 题 2.31图2.302.31 求无阻尼振系对下列各种支座运动的响应，假定在 时刻有 与。见图 2.30和 2.312.30 答： 2.31答： 2.32 如图所示箱中有一无阻尼弹簧质量系统，箱子由高 处静止自有下落。试求： 1. 箱子下落过程中，质量块 相对于箱子的运动 ； 2. 箱子落地后传到地面上的最大力 图 2-52 题 2.32图 答： （1） （2）
