1、习题 33-1如图，一质点在几个力作用下沿半径为 的圆周运动，其中有一恒20Rm力 N，求质点从 A 开始沿逆时针方向经 3/4 圆周到达 B 的过程中，力0.6Fi所做的功。解：本题为恒力做功，考虑到 B 的坐标为（ ， ） ， ，再利用： ，20BArij Fr有： （焦耳）0.6()12i3-2质量为 m=0.5kg 的质点，在 xOy 坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从 t=2s 到 t=4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义： ，题意：AFr250.rtij，24()260ri 2.15dmit 。53AiJ3-3劲度系数为 k 的轻巧弹簧
2、竖直放置，下端悬一小球，球的质量为 m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，则： ，选向上为正向。Fkx当小球刚脱离地面时： ，有： ，maxgkaxgk由做功的定义可知： 。ax22001mAdyxOAF3-4如图，一质量为 m 的质点，在半径为 R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力数值为 N，求质点自 A滑到 B 的过程中，摩擦力对其做的功。分析： 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的f情况
3、。解：求在 B 点的速度： ，2vNGmR可得： mv)(21由动能定理： 20fgAv ()(3)fANGRNmgR3-5一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为，其中 和 单位分别为 和 。2(5.83.4)FxiFx（1）计算当将弹簧由 拉伸至 过程中，外力所做之功；5.0134.12（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知： 231216.4().6()9.xxJ（2） ，按保守力的定义：)Fi 0d)4.38.52()4.8.5( 2 xxkdzjyird lll 该弹力为保守力。3-6一质量为 的物体，在力 的作用下，由静止开始运动，m2()Fatibj求在任一时刻
4、 此力所做功的功率为多少。t解：由 ，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：PFv22311()()dttijdttitjmmARB所以功率为：。PFv223232511()()()atibjatibtjatbtmm3-7一质点在三维力场中运动已知力场的势能函数为：。czxyE2p（1）求作用力 ；（2）当质点由原点运动到 、 、 位置的过 3xy3z程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中 的单位为 ， 的pEJzyx、单位为 ， 的单位为 。mFN解：（1）由力和势能的关系： 有：PF2()()(2)ijkaxbyczaxbyijckxyz （2）由于该力场是有势场，所以该力是保守
5、力，由保守力做功的定义cEA390393-8轻弹簧 的上端 固定，下端 悬挂质量为 的重物。已知弹簧原长BABm为 ，劲度系数为 ，重物在 点达到平衡，此时弹簧伸长了 ，如图所示。0lkO0x取 轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置 ；x O力的平衡位置 。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置 时系统的总势能。P解：（1）取弹簧原长位置 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置 时系统的总势能：，2001()()PEmgxkx（2）取力的平衡位置 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置O时系统的总势能： ，而220011PEmgkxkx（ ）
6、0mgkx 201Pgxk（ ）3-9在密度为 的液面上方，悬挂一根长为 ，密度为 的均匀棒 ，棒的l2AB端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和B重力作用下运动，在 的条件下，求细棒下落过程121中的最大速度 ，以及细棒能进入液体的最大深度 。maxv H解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以： ，即 ，则： 。GF浮 hsgl12l12利用功能原理： ，有：mgvA浮 2max210hsvsglsyd可解得： 2ax1vl（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度 时，速度为零，设：H，由能量守恒有： ，Hlh2110llsgysdlgh即：
7、2110()lsgysd 。2()3-10若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力 的作用，设f阻力与速度的大小成正比，比例系数 为常数，即 ，试求质量为 的kfkvm卫星，开始在离地心 （ 为地球半径）陨落到地面所需的时间。Rr40解：该卫星在任何时刻的总机械能为： rMGmE21又由于 联立两式得：222 vrMGvmr2两边微分得： ，由功能原理得： dE2， sf rskvd2)(trmvktmtrGkv d212)( 2，由已知条件两边积分：rtmd2 ln40rR3-11一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为 ，L质量为 ，试问将
8、链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则： 14832PAEmglgl3-12起重机用钢丝绳吊运质量为 的物体时以速率匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯0v性运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为 ，k求它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量)解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢丝绳的弹性势能，由 ，可得：2201kxmv，0vkx（这里，由于是 微小伸长 ，因伸长而引起重力势能的降低可以忽略不计）分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： 。0Tmgkxkv3-13在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体 、A边上
9、再放一物体 ，它们质量分别为 和 ，弹簧劲度系数为 ，原长为ABAB用力推 ，使弹簧压缩 ，然后释放。求：l 0x（1）当 与 开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后， 还能往前移动多远? A解：（1）当 与 开始分离时，两者具有相同的速度，但 的加速度为零，此时弹簧和 都不对 产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到： ，有： ， ；2201()ABmvkx0xmkvBAl（2）分离之后， 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：，则： 。221AA0AB3-14已知地球对一个质量为 的质点的引力为 （ 为地m3eGFre,R球的质量和半径)。 （1）若选取无穷远处势能为零
10、，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：；ee211ePRREFdrGmdrGmR（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为： ee2e r两种情况下势能差是完全一样的。3-15试证明在离地球表面高度为 ( )处，质量为 的质点所具有的引heRm力势能近似可表示为 。mg解：万有引力的势能函数表达式为 ， （以无穷远处为势能零点） ，0PMEGr且此时地球表面处的势能为： ，在离地球表面高度为eReeg( )处，质量为 的质点所具有的引力势能为：heR )()()()( 20200 hRmghR
11、hmGMeeeee ，如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为：。()PeeEgRg思考题 33-1求证：一对内力做功与参考系的选择无关。证：对于系统里的两个质点而言，一对内力做功可表示为：，12Afdrf由于外力的存在，质点 1 和 2 的运动情况是不同的，虽然其内力相等而方向相反（ ） ，但 ，上式可写为：12frdA= 212()Adffr表明，内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立条件。质点的动能变化定理：物体受外力 作用下，从 A 运动 B，其运动状态变F化，速度为 变化到 ，即
12、动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的AvB增量。221ABBAKBAfdrmvE质点系的动能定理：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力做功之和。公式表达： exCinNi、 KE3-3 和 两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力 一样，位移 也一样，ABFs但一个接触面光滑，另一个粗糙 力做的功是否一样?两物体动能增量是否一F样?答：根据功的定义： Ar所以当它们受到的水平恒力 一样，位移 也一样时，两个功是相等的；s但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量
13、就不相同。3-4按质点动能定理，下列式子： 22121dxxxmvF1221 yyy 21221 zzz v是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。3-5在劲度系数为 的弹簧下，如将质量为 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长km多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?答：如将质量为 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为 ，所以 ；mmgkxkmg如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒： ，所以21。kgx23-6试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的?答：图（d） 、 （f）为非保守力场，因为如果对其取环路积分必定不为零。
