1、全国考研专业课高分资料大连理工大学数学分析笔记笔 记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲 义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题 2-3 套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题 2 套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真 题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！雪林雨荷，一生承诺！2 / 181 考研专业课高分资料目录第二模块 笔记 3第一部分 实数集与函数 3第二部分 数列极限 .8第三部分 函数极限 .10第四部分 函数连续性 15第五部分 导数与微分 .32第六部分 微分中值定理及其应用 38第八部分 不定积
2、分 53第九部分 定积分 .56第十部分 定积分的应用 62第十一部分 反常积分 70第十二部分 数项级数 74第十三部分 函数列与函数项级数 92第十四部分 幂级数 103第十五部分 傅里叶级数 118第十六部分 多元函数的极限与连续 133第十七部分 多元函数微分学 138第十八部分 隐函数定理及其应用 150第十九部分 含参量积分 154第二十部分 曲线积分 165第二十一部分 重积分 168第二十二部分 曲面积分 177雪林雨荷，一生承诺！3 / 181 考研专业课高分资料第二模块 笔记第一部分 实数集与函数 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有
3、关概念一 实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如： 记为 ；0 记为 ； 记为 实数大小的比较定义 1 给定两个非负实数其中 为非负整数， 。若由1） 则称 与 相等，记为 2） 若存在非负整数 ，使得 ，而 ，则称 大于 （或 小于 ） ，分别记为 （或 ） 。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 ，若按定义 1 有 ，则称 实数的有理数近似表示定义 2 设 为非负实数，称有理数为实数 的 位不足近似值，而有理数称为 的 位过剩近似值。对于负实数 雪林雨荷，一生承诺！4 / 181 考研专业课高分资料的 位不足近似值
4、规定为： ；的 位过剩近似值规定为：比如 ，则1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。命题 设 为两个实数，则 实数的一些主要性质1 四则运算封闭性:2 三歧性( 即有序性 ):3 实数大小由传递性，即 4 Achimedes 性: 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示 数轴:例 二. 绝对值与不等式绝对值定义： 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值的一些主要性质 雪林雨荷，一生承诺！5 / 181 考研专业课高分资料性质 4（三角不等式）的证明：三. 几个重要不
5、等式: 对 记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: ( 在中学已用数学归纳法证明过)对 由二项展开式雪林雨荷，一生承诺！6 / 181 考研专业课高分资料有: 上式右端任何一项.2 数集。确界2 二 数集 . 确界原理:一 区间与邻域:邻域二 有界数集 . 确界原理:1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界)闭区间、 为有限数） 、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.无界数集: 对任意 ，存在 ，则称 S 为无界集。 等都是无界数集, 例 证明集合 是无界数集.证明：对任意 , 存在 由无界集定义，E 为无界集。确界
6、先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：（1） 对一切 有 ，即 是数集 S 的上界；雪林雨荷，一生承诺！7 / 181 考研专业课高分资料（2） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最小上界）则称数 为数集 S 的上确界。记作 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条：（3） 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界；（4） 对任何 存在 使得 （即 是 S 的最大下界）则称数 为数集 S
7、的下确界。记作 3 函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一 函数的定义1. 函数的几点说明.函数的两要素: 定义域和对应法则约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法.分段函数 狄里克雷函数 黎曼函数 三 函数的四则运算（见课本）四. 函数的复合: 雪林雨荷，一生承诺！8 / 181 考研专业课高分资料六 初等函数:基本初等函数:1 常函数2 幂函数 幂函数 4 具有某些特性的函数1.有界函数 若函数 在定义域 上既有上界又有下界，则称
8、为 上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切 ，恒有 请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例 是无界函数。证明 对任意的 ，存在 ，取 ，则 2. 单调函数 奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称周期函数 1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分 数列极限1 数列极限概念对于数列 ，设 A 是一个常数，若任给 ，都存在相应的自然数 时， ，则称 A 为数列 的极限。下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：（1） 的任意性 （2） 的相应性雪林雨荷，一生承诺！9 / 181 考
9、研专业课高分资料三、用极限定义证明 的例题2. 数列极限的等价定义:对 对任正整数 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：（ 证 ）2. 收敛数列有界性 收敛的必要条件：（ 证 ）3. 收敛数列保号性：定理 2.4 设 或 . 则对 (或(或例 1 设 证明：若 则 （ 证 ）定理 2.5 设 若 ， （注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）.推论 若 则对 4. 定理（ 迫敛性 ） ( 证 )5. 绝对值收敛性:( 注意反之不确 ).( 证 )推论 设数列 和 收敛, 则6.四则运算性质:7. 子列收敛性: 子列概念.定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 的任何子列收敛于同一极限 .雪林雨
10、荷，一生承诺！10 / 181 考研专业课高分资料定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列 和 收敛于同一极限. 定理 ( 数列收敛充要条件 ) 收敛 子列 、 和 都收敛. ( 简证 )一、利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1. 利用四则运算性质求极限：数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明 , 而且 利用单调有界定理, 设其极限为 , 则有 , A=2定理 2.10 数列 收敛，（ 或数列 收敛，第三部分 函 数 极 限1 函数极限概念一 趋于 时函数的极限设函数 定义在 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 趋于 时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数 。例如，对于函数
11、雪林雨荷，一生承诺！11 / 181 考研专业课高分资料从图象上可见，当 无限增大时，函数值无限地接近于 0；而对于函数 ，则当 趋于 时函数值无限地接近于 。我们称这两个函数当 时有极限。一般地，当 趋于 时函数极限的精确定义如下：定义 1 设 定义在 上的函数， 为定数。若对任给的 ，存在正数，使得当 时, 有 ，则称函数 当 趋于 时以为极限，记作 或 。说明:(1) 、在定义 1 中正数 的作用与数列极限定义中 的相类似，表明 充分大的程度；但这里所考虑的是比 大的所有实数 ，而不仅仅是正整数 。因此，当 趋于 时函数 以 为极限意味着： 的任意小邻域内必含有 在 的某邻域内的全部函数
12、值。(2)、定义 1 的几何意义如下图所示，对任给的 ，在坐标平面上平行于雪林雨荷，一生承诺！12 / 181 考研专业课高分资料轴的两条直线 与 ，围成以直线 为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当 时有 ”表示：在直线 的右方，曲线 全部落在这个带形区域之内。如果正数 给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数 ，使得曲线在直线 的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。定义 1 的否定叙述: 定义 1 设 定义在 上的函数， 为定数。若存在某个 0，对任意充分大的正数 M，总存在某个 x,使得: Axf)(0，则称函数 当趋于 时不以
13、为极限 .(3)、现设 为定义在 或 上的函数，当 或 时，若函数值 能无限地接近某定数 ，则称 当 或 时以 为极限，分别记作: 或 ; 或 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，只须把定义 1 中的“ ”分别改为“”或 “ ”即可。问题: ?)(lim)(lim 何 写的 否 定 叙 述 的 定 义 又 如或 AxfAxfxx (4)、显然,若 为定义在 上的函数，则（1） (返回)二 趋于 时函数的极限设 为定义在 某个空心邻域 内的函数。现在讨论当 趋于 时，对应的函数值能否趋雪林雨荷，一生承诺！13 / 181 考研专业课高分资料于某个定数 。这类函数极限的精确定义如下：定义 2
14、（函数极限的 定义）设函数 在 某个空心邻域 内有定义， 为定数。若对任给的 ，存在正数 ，使得当 时有 ，则称函数 当趋于 时以 为极限，记作 或 。下面我们举例说明如何应用 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。通过以上各个例子，读者对函数极限的 定义应能体会到下面几点：1.定义 2 中的正数 ，相当于数列极限 定义中的 ，它依赖于 ，但也不是由所唯一确定，一般来说， 愈小， 也相应地要小一些，而且把 取得更小些也无妨。如在例 3中可取 或 等等。2.定义中只要求函数 在 某一空心邻域内有定义，而一般不考虑 在点 处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因
15、为，对于函数极限我们所研究的是当 趋于 过程中函数值的变化趋势。如在定理 3.9 设函数 在点 的某空心右邻域 有定义。 的充要条件是：对任何以为极限的递减数列 ，有 。这个定理的证明可仿照定理 3.8 进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列 能递减地趋于 。证明的细节留给读者作为练习。相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：定理 3.10 设 是定义在 上的单调有界函数，则右极限 存在。证 不妨设 在 上递增。因 在 上有界，由确界原理， 存在，记为 。下证 。事实上，任给 ，按下确界定义，存在 ，使
16、得 。取 雪林雨荷，一生承诺！14 / 181 考研专业课高分资料，则由的递增性，对一切 = ，有另一方面，由 ，更有 。从而对一切 有这就证得 。最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。定理 3.11（柯西准则）设 在 内有定义。 存在的充要条件是：任给，存在正数 ，使得对任何 ， ，有证 必要性 设 ，则对任给的 ，存在正数 ，使得对任何有。于是对任何 ， 有。充分性 设数列 且 。按假设，对任给的 ，存在正数，使得对任何 ， 有 。由于 （ ） ，对上述的，存在 ，使得当 时有 ， , 从而有 .于是,按数列的柯西收敛准则,数列 的极限存在,记为 ,即 .设另一数列 且 , 则如上所
17、证, 存在, 记为 . 现证.为此,考虑数列 : , , , , , , , 易见 且 雪林雨荷，一生承诺！15 / 181 考研专业课高分资料故仍如上所证, 也收敛.于是，作为 的两个子列， 与 必有相同的极限。所以由归结原则推得按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限 不存在的充要条件：存在 ，对任何 （无论 多么小） ，总可找到 ， ，使得 如在例中我们可取 ，对任何 设正整数 ，令 ， ，则有 ，而于是，按柯西准则极限 不存在解 当 时有 。故所求极限等于 。第四部分 函数连续性1 连续性的概念一 函数在一点的连续的定义 设函数 在 的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对，当 时
18、，都有 ，则称 在 时，以 为极限。雪林雨荷，一生承诺！16 / 181 考研专业课高分资料这里 可以有三种情况：1） 无定义，比如上部分讲过的特殊极限 2） ，比如 ， 3）对 1） 、2）两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第 3）种情况与前两种情况不同，曲线在 处连绵不断，我们称这种情况即：)()(lim0xfAxfxo时， 在 处2）的情形1）的情形 3）的情形雪林雨荷，一生承诺！17 / 181 考研专业课高分资料连续。为此给出函数 在点 连续的定义定义 1 设函数 在 的某邻域内有定义，若：则称函数 在 点连续。2、函数在一点的左、右连续的定义相应于在的左、右极限的概念，我们给出左
19、右连续的定义如下：定义 2 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义，若：（ ）则称 在 点左（右）连续。由极限与单侧极限的关系不难得出：3、函数在点连续与函数在该点左、右连续的关系：定理 4.1 函数 在 点连续的充分必要条件为： 在 点既左连续又右连续。 （事实上： 连 续 又 连 续 。既 左在 点 连 续在 点 0 000)( )()(lim)()(lim)( 000xf xffxffxf xxx）定理 4.1 的等价的否定叙述：函数 在 点不连续的充分必要条件为： 在 点或不左连续或不右连续。前面我们学习函数在一点上连续的有关定义，下面我们来学习二 函数的间断点（不连续点）及其分类雪林雨
20、荷，一生承诺！18 / 181 考研专业课高分资料1、函数不连续点的定义定义 3 设函数 在某 内有定义，若 在点 无定义，或在点 有定义但不连续，则称点 为函数 的间断点或不连续点。由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下 3 种情形:1） ，而 在点 无定义，或有定义但2） 左、右极限都存在，但不相等, 称： 为 跳跃度或跃度。3） 左、右极限至少一个不存在据此，函数)(xf的间断点可作如下分类：2、间断点及其分类1） 、可去间断点 对于情况 1） ，即若： （存在） ，而 在点无定义，或有定义但 ，则称： 为可去间断点（或可去不连续点） ； 三 区间上的连续函数定义 若函数 在区间
21、I 上每一点都连续，则称 为 I 上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在区间 上按段连续。例如 是按段连续函数。雪林雨荷，一生承诺！19 / 181 考研专业课高分资料小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；4）区间上连续函数的定义。2 连续函数的性质内容：1 连续函数的局部性质2 区间上的连续函数的基本性质3 反函数的连续性4 一致连续性重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质难点：连续函数的保号性；一致连续性.一 连
22、续函数的局部性质根据函数的在 点连续性，即 可推断出函数在 点的某邻域 内的性态。定理 4.2（局部连续性）若函数 在 点连续，则 在 点的某邻域内有界。定理 4.3 （局部保号性） 若函数 在 点连续，且 ，则对任意 存在 某邻域 时，定理 4.4（四则运算性质）若函数则 在区间 I 上有定义，且都在连续，则雪林雨荷，一生承诺！20 / 181 考研专业课高分资料（ ）在 点连续。例 因连 续，可推出多项式函数和有理函数 为多项式）在定义域的每一点连续。同样,由 上的连续性，可推出与 在定义域的每一点连续。定理 4.5（复合函数的连续性）若函数 在 点连续，在 点连续， ，则复合函数在 点连
23、续。雪林雨荷，一生承诺！21 / 181 考研专业课高分资料证明 由于 在 连续，对任给的 ，存在 ，使 时有 （1）又由 及 在连续，故对上述，存在 ，使得当 时，有. 联系（1）得: 对任给的 ，存在 ，当 时有.这就证明了 在点 连续.注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为(2)雪林雨荷，一生承诺！22 / 181 考研专业课高分资料二 闭区间上连续函数的基本性质前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。定义 1 设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在 ，使得对一切有 ，则称 f 在 D 上有最大（最小值）值，并称 为 f 在 D 上的最大（最
24、小值）值.例如 在 上有最大值 1,最小值 0.但一般而言 f 在定义域 D 上不一定有最大值或最小值（即使 f 在 D 上有界） 。如 在 上既无最大值又无最小值，又如 (4)在闭区间上也无最大、最小值。定理 4.6 (最大最小值定理) 若函数 在闭区间 上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。该定理及以后的定理 4.7 和定理 4.9 将在第七部分2 给出证明.推论：（有界性）若函数 在闭区间 上连续，则雪林雨荷，一生承诺！23 / 181 考研专业课高分资料在闭区间 上有界。定理 4.7(介值性定理) 若函数 在闭区间 上连续，且，若 为 介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间 内至少
25、存在一点 ，使得 :推论（根的存在定理）若函数 在闭区间 上连续，且雪林雨荷，一生承诺！24 / 181 考研专业课高分资料异号，则至少存在一点 使得 .即 在 内至少有一个实根.应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若 在区间a,b上连续且不是常量函数,则值域 也是一个区间；特别若 为区间 a,b, 在 a,b上的最大值为 ,最小值为 ，则；又若 为 a,b上的增（减）连续函数且不为常数，则例 3 证明：若 为正整数，则存在唯一正数 ，使得 .证明 先证存在性。由于当 时有 ，故存在正数 ，使得 .因 在 上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点 使得雪林雨荷，一生承诺！25 /
26、181 考研专业课高分资料.再证唯一性。设正数 使得 由于第二个括号内的数为正所以只能 ，即 .例 4 设 在 a,b 连续，满足（5）证明：存在 ，使得（6）证 条件（5）意味着：对任何 有 ，特别有以及 .若 或 ，则取 ，从而（6）式成立。现设 与。 。令 ，则 ，. 由根的存在性定理，存在 ，使得 即 .雪林雨荷，一生承诺！26 / 181 考研专业课高分资料三 反函数的连续性定理 4.8（反函数的连续性）若函数 在闭区间 严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域 （ ）上递增（递减）且连续。证明 （只证明 f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定
27、义域为。 设 ，且 则 ，对任给的 可在 的两侧各取异于 的两点（ ） ，使它们与 的距离小于 （参见上图）.设 ，由函数的严格递增性， 必分别落在 的两侧，即当 时，令 ， 则当 时，对应的雪林雨荷，一生承诺！27 / 181 考研专业课高分资料的值必落在 之间，从而 .应用单侧极限的定义，同样可证 在区间端点也是连续的。四 一致连续性前面介绍的函数 在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 不仅与 有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的 只与有关，而与 无关。定义 2（一致连续性）设
28、函数 在区间 I 上有定义，若 只要 ， ，都有 ，则称 在区间 I 上一致连续。这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说 在区间 I 一致连续意味着：不论两点 在 I 中处于什么位置只要它们的距离小于 ，就可使 . 显然 I 必然在 I 上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9） 。定理 4.9 （一致连续性）若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续。3 初等函数连续性从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在其定义域内的连续性。一 指数
29、函数的连续性在第一部分中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在 上是严格单调雪林雨荷，一生承诺！28 / 181 考研专业课高分资料的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数函数的连续性。定理 4.10 设 为任意实数,则有.证明 不妨设 ，则 由第一部分3（6）式所定义，即.任给 ，设 为两个有理数，且 ，使得.由 的严格增递性，得 .又有 ，故得.由任意性推出 .为证相反的不等式, 设 为有理数，且 ，使得 .再取有理数 使 , 则有故得到 .由任意性推出 ,所以有 .(后一等式的证明留给读者.)定理 4.11 指数函数 在 R 上是连续的.证明 先设
30、 .有第三部分2 例 4 知这表明 在 连续.现任取 .由定理 4.10 得.令 则当 时有 ,从而有雪林雨荷，一生承诺！29 / 181 考研专业课高分资料.这证明了 在任一点 处连续.当 时,令 ,则有 ,而 可看作函数 与 的复合，所以此时 亦在上连续。利用指数函数 的连续性，以及第三部分5 例 4 中已证明的可知 的值域为（ ）( 时也是如此).于是 的反函数对数函数 在其定义域( ) 内也连续.二 初等函数的连续性由于幂函数 （ 为实数）可表为 ，它是函数 与 的复合，故有指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数 在其定义域（ ）上连续。前面已经指出，常函数，三角函
31、数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定理：定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有：定理 4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数.第五部分 导数与微分1 导数概念速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 （3）定义 1、设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数 在点 可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，雪林雨荷，一生承诺！30 / 181
32、 考研专业课高分资料等.若上述极限不存在，则称 在点 不可导。注：令 ， ，则（3）式可改写为（4）所以，导数是函数增量y 与自变量增量x 之比 的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商） ，而导数则为 在 0 处关于 的变化率，它能够近似描绘函数 在点 附近的变化性态。注：此公式对= 0 仍旧成立。利用有限增量公式，可得下面结论： 定理 1 若函数 在 处可导，则函数 在 处连续。但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数在 处连续，但不可导。（二）函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限, 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。定义 2 设函数 在点 的某右邻域 上有定义，若右极限(0 或 (
