1、大 学 数 学 概 念 、 方 法 与 技 巧线 性 代 数 与 概 率 统 计 部 分俞 正 光 王 飞 燕叶 俊 赵 衡 秀 编 清 华 大 学 出 版 社施 普 林 格 出 版 社(京 )新 登 字 158 号书 名 : 大 学 数 学 概 念 、 方 法 与 技 巧线 性 代 数 与 概 率 统 计 部 分作 者 : 俞 正 光 王 飞 燕 叶 俊 赵 衡 秀 编出 版 者 : 清 华 大 学 出 版 社 施 普 林 格 出 版 社( 北 京 清 华 大 学 学 研 大 厦 ,邮 编 100084)http:/ / ww w .tup .tsingh ua .edu .cn印 刷 者
2、: 北 京 顺 义 振 华 印 刷 厂发 行 者 : 新 华 书 店 总 店 北 京 发 行 所开 本 : 850 1168 1/ 32 印 张 : 18 .125 字 数 : 452 千 字版 次 : 2001 年 8 月 第 1 版 2002 年 2 月 第 2 次 印 刷书 号 : ISBN 7-302-04613-1/ O 264印 数 : 5001 15000定 价 : 24 .00 元前 言 大 学 数 学 概 念 、 方 法 与 技 巧 是 一 套 学 习 与 复 习 大 学 数学 的 系 列 辅 导 教 材 ,主 要 是 为 大 学 非 数 学 类 本 科 生 与 全 国 硕
3、士 研究 生 入 学 统 一 考 试 应 试 者 ,系 统 地 复 习 大 学 数 学 内 容 、 以 求 巩 固 提高 所 学 知 识 ,取 得 良 好 考 试 成 绩 而 编 写 的 . 内 容 包 括 微 积 分 ,线 性代 数 与 概 率 统 计 两 个 分 册 ,以 及 将 陆 续 出 版 的 配 套 习 题 集 、 模 拟 试题 与 解 答 等 分 册 . 选 材 原 则 与 教 学 要 求 是 按 照 清 华 大 学 非 数 学 类本 科 生 数 学 教 学 大 纲 与 教 育 部 颁 发 的 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考试 大 纲 而 确 定 的 . 本 教
4、材 也 可 作 为 大 学 数 学 的 教 学 参 考 书 .本 书 是 编 者 数 十 年 教 学 经 验 的 积 累 , 是 编 者 依 据 对 课 程 内 容的 研 究 理 解 ,并 在 综 合 分 析 学 生 认 识 规 律 的 基 础 上 编 写 而 成 的 .许 多 教 学 资 料 是 第 一 次 向 外 公 开 . 这 些 教 师 不 但 有 丰 富 的 教 学 经历 ,同 时 也 多 从 事 科 研 工 作 , 对 数 学 基 本 概 念 、 基 本 方 法 的 灵 活 运用 特 别 重 视 . 另 外 , 他 们 也 都 是 清 华 大 学 考 研 辅 导 班 的 主 讲 教
5、 师 ,对 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 大 纲 的 要 求 与 题 型 结 构 均 有 深 入的 研 究 . 因 此 , 本 书 的 编 写 风 格 与 内 容 取 舍 充 分 体 现 了 他 们 注 重知 识 的 基 础 性 、 系 统 性 、 交 叉 性 与 技 巧 性 的 教 学 风 范 . 同 时 , 本 书在 整 体 内 容 上 把 平 时 的 教 学 要 求 与 考 研 复 习 的 需 要 结 合 起 来 , 既突 出 了 基 础 ,又 具 有 较 强 的 针 对 性 , 希 望 能 对 两 类 读 者 都 有 全 方 位的 指 导 意 义 , 为 他 们
6、训 练 数 学 思 维 与 解 题 能 力 提 供 较 为 系 统 的帮 助 .学 好 数 学 ,重 在 基 础 . 一 味 追 求 技 巧 , 往 往 导 致 无 所 适 从 , 望题 生 畏 . 本 书 在 内 容 安 排 上 强 调 基 本 概 念 与 基 本 思 维 的 训 练 , 各章 节 均 配 有 相 当 数 量 的 基 本 例 题 ( 例 * . * . * ) , 其 中 蕴 涵 着 基 本概 念 、 基 本 方 法 与 技 巧 . 应 该 说 , 扎 实 熟 练 的 基 本 概 念 , 加 上 对 基本 方 法 的 深 入 思 考 , 是 技 巧 的 真 正 源 泉 . 另
7、 外 , 在 大 多 数 章 节 里 ,还 选 编 了 一 定 数 量 的 综 合 例 题 (综 例 * . * .* .) , 体 现 知 识 的 综 合性 与 交 叉 性 ,与 训 练 综 合 运 用 所 学 知 识 进 行 分 析 问 题 及 解 决 问 题的 能 力 . 基 于 体 现 综 合 性 与 交 叉 性 的 考 虑 , 在 个 别 例 题 中 所 涉 及的 内 容 可 能 超 前 本 章 的 内 容 安 排 . 读 者 在 使 用 本 书 时 , 对 书 内 例题 应 首 先 立 足 于 独 立 思 考 ,而 后 有 选 择 地 查 阅 解 答 过 程 , 对 一 些 典型
8、题 ,应 争 取 有 自 己 的 解 题 方 法 , 很 可 能 你 的 方 法 会 优 于 书 中 提 供的 方 法 , 果 真 如 此 , 正 说 明 你 学 习 的 深 入 . 对 准 备 考 研 的 读 者 , 鉴于 国 家 每 年 公 布 的 考 试 大 纲 会 有 局 部 变 化 以 及 四 类 数 学 试 卷 的 分类 ,在 使 用 本 书 时 , 可 参 照 考 试 大 纲 ,有 选 择 地 略 去 书 内 某 些 章 节 .每 册 书 后 附 有 清 华 大 学 相 应 课 程 的 近 期 试 题 及 答 案 , 以 供 读者 练 习 . 这 些 试 题 的 详 细 解 答
9、将 放 在 后 续 出 版 的 本 系 列 辅 导 教材 中 .全 书 编 写 工 作 得 到 清 华 大 学 数 学 科 学 系 副 主 任 白 峰 杉 教 授 与其 他 许 多 教 师 的 支 持 与 帮 助 , 责 任 编 辑 刘 颖 博 士 为 本 书 的 编 写 与书 稿 的 勘 误 提 出 许 多 好 的 建 议 , 并 对 全 书 的 编 审 做 出 了 大 量 出 色的 工 作 ,编 者 向 他 们 表 示 衷 心 的 感 谢 . 限 于 编 者 水 平 及 撰 稿 时 间仓 促 ,对 书 中 的 疏 漏 与 错 误 , 敬 请 读 者 批 评 指 出 .本 书 主 编 为 刘
10、 坤 林 . 全 书 各 章 节 编 写 分 工 如 下 :微 积 分 部 分 : 刘 坤 林 ( 1 13 章 ) , 谭 泽 光 ( 14 23 章 ) ;线 性 代 数 部 分 : 俞 正 光 ( 1 3 章 ) ,王 飞 燕 (4 6 章 ) ;概 率 统 计 部 分 : 叶 俊 ( 1 5 章 ) ,赵 衡 秀 (6 8 章 ) . 前 言作 者 简 介谭 泽 光1962 年 毕 业 于 清 华 大 学 , 清 华 大 学 责 任 教 授 .长 期 在 清 华 大 学 从 事 数 学 基 础 课 程 教 学 和 应 用 数 学 及 运 筹 学方 面 的 科 研 工 作 ,曾 在 奥
11、地 利 Graz U niversity 任 访 问 教 授 . 讲 授过 高 等 数 学 、 线 性 代 数 、 最 优 化 理 论 基 础 等 多 门 课 程 , 分 析 系 列 课程 负 责 人 . 长 期 担 任 清 华 大 学 考 研 辅 导 班 数 学 主 讲 .负 责 过 多 项 科 研 项 目 , 发 表 学 术 论 文 20 多 篇 , 并 编 著 数 学 规划 等 教 材 . 先 后 获 省 部 级 以 上 奖 励 四 次 , 1992 年 获 国 家 科 技 进 步二 等 奖 .任 高 校 应 用 数 学 学 报 编 委 . 1997 年 开 始 担 任 国 家 工 科
12、基础 课 程 教 学 ( 清 华 数 学 ) 基 地 负 责 人 , 投 入 较 多 精 力 从 事 数 学 教 改研 究 工 作 ,2001 年 获 国 家 教 学 改 革 成 果 二 等 奖 .俞 正 光1962 年 毕 业 于 清 华 大 学 . 清 华 大 学 责 任 教 授 .清 华 大 学 代 数 系 列 课 程 负 责 人 . 从 事 组 合 图 论 的 研 究 , 发 表学 术 论 文 10 多 篇 . 主 编 线 性 代 数 与 解 析 几 何 、 理 工 科 代 数 基础 等 著 作 .长 期 担 任 清 华 大 学 考 研 辅 导 班 数 学 主 讲 和 清 华 大 学
13、MBA 入学 辅 导 数 学 主 讲 . 1997 年 开 始 担 任 国 家 工 科 基 础 课 程 教 学 (清 华数 学 )基 地 负 责 人 , 从 事 数 学 教 改 研 究 工 作 .曾 参 加 全 国 工 商 管 理 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 研 究 中 心 组 织 编 写的 MBA 联 考 考 前 辅 导 教 材 , 主 编 全 国 工 程 硕 士 研 究 生 入 学 考试 数 学 考 试 大 纲 及 考 前 辅 导 教 材 等 各 类 考 研 数 学 辅 导 教 材 .刘 坤 林1970 年 清 华 大 学 数 学 力 学 系 毕 业 . 清 华 大 学 责 任 教
14、 授 .从 事 基 础 数 学 与 应 用 数 学 教 学 工 作 , 两 次 获 清 华 大 学 教 学 优秀 奖 . 研 究 方 向 : 控 制 理 论 与 系 统 辨 识 ,随 机 系 统 建 模 及 预 测 , 并行 计 算 . 1994 年 至 1995 年 在 美 国 Texas A ( B) - ( m + n) ;( C) n - m; ( D) m - n .( 1993 年 考 研 题 )【 思 路 】 先 用 性 质 4,再 用 性 质 2 .【 解 】 | 3 , 2 , 1 , ( 1 + 2 ) | = | 3 , 2 , 1 , 1 | + | 3 , 2 , 1
15、 , 2 |= - | 1 , 2 , 3 , 1 | + | 1 , 2 , 2 , 3 |= - m + n .故 选 ( C) . 【 解 毕 】1 .2 行 列 式 的 展 开 定 理行 列 式 按 一 行 展 开 的 定 理 是 行 列 式 的 一 项 非 常 重 要 的 性 质 ,是 行 列 式 计 算 常 用 方 法 的 重 要 依 据 . 不 仅 如 此 , 还 是 逆 矩 阵 存 在的 充 分 条 件 的 理 论 根 据 .按 行 展 开 定 理 包 含 两 部 分 内 容 , 其 一 是 说 行 列 式 任 何 一 行 的元 素 与 其 代 数 余 子 式 的 乘 积 之
16、和 等 于 该 行 列 式 的 值 ; 其 二 是 说 行列 式 任 何 一 行 的 元 素 与 其 他 行 的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 的 乘 积11第 1 章 行 列 式和 为 零 . 合 起 来 用 以 下 式 子 表 示 :nk = 1aik A jk = | A | , i = j;0, i j .其 中 Ajk 表 示 元 素 a jk 的 代 数 余 子 式 , 其 值 为Ajk = ( - 1 ) j+ k Mj k ,而 Mjk 是 元 素 ajk 的 余 子 式 ,是 将 行 列 式 划 去 ajk 所 在 的 第 j 行 和 第k 列 后 得 到 的 n
17、- 1 阶 行 列 式 ,即Mjk =a11 a1 k - 1 a1 k + 1 a1 n aj - 1 1 aj - 1 k - 1 aj - 1 k + 1 aj - 1 naj + 1 1 aj + 1 k - 1 aj + 1 k + 1 aj + 1 n an1 an k - 1 an k + 1 ann.例 1 .2 .1 计 算 n阶 行 列 式x - 1 0 0 00 x - 1 0 00 0 x 0 0 0 0 0 x - 1an an - 1 an - 2 a2 a1 + x.【 思 路 】 1 . 按 行 或 按 列 展 开 .2 . 利 用 递 推 关 系 .【 解 】
18、 (方 法 1 )按 最 后 一 行 展 开 .原 式 = ( - 1 ) n+ 1 an- 1 0 0 0x - 1 0 00 x 0 0 0 0 x - 121 第 1 篇 线 性 代 数+ ( - 1 ) n+ 2 an - 1x 0 0 00 - 1 0 00 x 0 0 0 0 x - 1+ + ( - 1 ) n+ n ( a1 + x)x - 1 0 0 00 x - 1 0 00 0 x 0 0 0 0 0 0 x= an + an - 1 x + + a1 xn - 1 + xn .(方 法 2 )若 x = 0, 按 第 1 列 展 开 .0 - 1 0 0 00 0 -
19、1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1an an - 1 an - 2 a2 a1= ( - 1) n+ 1 an ( - 1 ) n - 1 = an .设 x 0, 第 1 列 1x 倍 加 到 第 2 列 , 第 2 列 1x 倍 加 到 第 3列 , , 第 n - 1 列 1x 倍 加 到 第 n 列 , 设 s = 1xn - 2 an + 1xn - 3 an - 1 + +a2 , t = 1xn - 1 an + 1xn - 2 an - 1 + + 1x a2 + a1 + x . 则 有31第 1 章 行 列 式原 式 =x 0 0 0 00 x 0 0 0
20、0 0 x 0 0 0 0 0 x 0an 1x an + an - 1 1x2 an + 1x an - 1 + an - 2 s t= xn - 1 1xn - 1 an + 1xn - 2 an - 1 + + 1x a2 + a1 + x= an + an - 1 x + + a2 xn - 2 + a1 xn - 1 + xn .综 合 之 ,得原 式 = an + an - 1 x + + a1 xn - 1 + xn .(方 法 3 )原 式 记 作 Dn , 并 记 k 阶 行 列 式 为Dk =x - 1 00 x 0 ak ak - 1 a1 + x.对 Dk 按 第 1
21、列 展 开 得Dk = xx - 1 00 x 0 ak - 1 ak - 2 a1 + x+ ( - 1) k+ 1 ak- 1 0 0x - 1 0 0 0 - 1= xD k - 1 + ak .这 是 一 个 递 推 公 式 ,于 是Dn = xDn - 1 + an= x( xDn - 2 + an - 1 ) + an= x2 Dn - 2 + xan - 1 + an 41 第 1 篇 线 性 代 数= xn - 1 D1 + + xan - 1 + an= xn + xn - 1 a1 + + xan - 1 + an= xn + a1 xn - 1 + + an - 1 x
22、+ an . 【 解 毕 】【 注 】 方 法 3 用 了 递 推 关 系 式 ,也 可 以 用 数 学 归 纳 法 来 写 .例 1 .2 .2 计 算 n阶 行 列 式a b 0 0 00 a b 0 00 0 a 0 0 0 0 0 a bb 0 0 0 a.( 1991 年 考 研 题 )【 思 路 】 本 题 特 点 是 每 行 每 列 都 有 一 个 a 和 一 个 b, 其 余 全 为 0,由 于 有 许 多 0,适 合 用 展 开 定 理 . 注 意 到 第 1 列 和 第 n 行 的 特 殊性 ,按 它 们 来 展 开 更 方 便 .【 解 】 按 最 后 一 行 展 开 ,
23、有原 式 = ( - 1 ) n+ 1 bb 0 0 0a b 0 00 a b 0 0 0 0 b+ ( - 1 ) n+ n aa b 0 00 a b 00 0 a 0 0 0 0 a= ( - 1 ) n+ 1 bn + an . 【 解 毕 】51第 1 章 行 列 式【 注 】 尽 管 本 题 也 有 行 和 相 等 的 特 点 , 但 如 果 把 各 列 都 加 到 第 1列 ,提 公 因 子 , 做 起 来 并 不 简 单 .例 1 .2 .3 计 算 n阶 行 列 式0 0 a1 00 a2 0 0 an - 1 0 0 00 0 0 an.【 思 路 】 每 行 每 列 都
24、 只 有 一 个 非 零 元 素 ,适 合 按 行 展 开 .【 解 】 按 最 后 一 行 展 开 .原 式 = ( - 1) n+ n an0 0 a10 a2 0 an - 1 0 0= ( - 1) n+ n an ( - 1 ) n - 1 + 1 an - 1 ( - 1 ) n - 2 + 1 an - 2 ( - 1 )2 + 1 a2 a1= ( - 1) ( n+ 6 )( n - 1 )2 an an - 1 a2 a1 . 【 解 毕 】【 注 】 1 . 系 数 ( - 1) ( n + 6 )( n - 1)2 也 可 以 是 ( - 1) ( n + 2 )( n
25、 - 1)2 或 ( - 1) ( n+ 3) ( n - 2 )2等 等 ,只 要 同 一 个 n 的 值 正 负 号 一 致 就 可 以 .2 . 本 题 可 以 看 成 是 A 00 B 的 形 式 , 有 公 式 A 00 B =| A| | B| , 可 以 直 接 套 用 .3 .0 0 a10 a2 0 an 0 0非 零 元 素 在 次 对 角 线 上 ,不 是 对 角 行 列式 ,答 案 中 在 a1 a2 an 前 有 一 个 由 n 决 定 的 正 负 号 .61 第 1 篇 线 性 代 数例 1 .2 .4 计 算 n阶 行 列 式 + 0 0 01 + 0 00 1
26、+ 0 0 0 0 0 + 0 0 0 1 +.【 思 路 】 这 是 个 三 对 角 行 列 式 ,第 1 行 只 有 两 个 非 零 元 素 , 可 以 按第 1 行 展 开 ,得 到 递 推 公 式 .【 解 】 记 原 式 为 Dn ,则Dn = ( + ) Dn - 1 - Dn - 2 ,Dn - Dn - 1 = ( Dn - 1 - Dn - 2 )= 2 ( Dn - 2 - Dn - 3 ) = n - 2 ( D2 - D1 )= n - 2 ( 2 + + 2 - ( + ) )= n .若 ,由 对 称 性 , 有Dn - Dn - 1 = n ,消 去 Dn - 1
27、 ,得 到Dn = n+ 1 - n+ 1 - = n + n - 1 + + n .若 = ,则 有Dn - Dn - 1 = n ,按 递 推 ,有Dn - 1 - Dn - 2 = n - 1 , D2 - D1 = 2 .71第 1 章 行 列 式以 上 各 式 依 次 用 1, , 2 , , n - 2 相 乘 并 相 加 , 得Dn - n - 1 D1 = ( n - 1 ) n ,Dn = ( n + 1) n . 【 解 毕 】【 技 巧 】 本 题 利 用 了 与 在 题 中 地 位 等 价 ,写 出 相 应 关 系 式 , 达到 消 去 Dn - 1 的 目 的 . 在
28、 = 的 情 况 下 , 用 了 另 一 种 手 段 , 解 出Dn . 这 两 点 都 要 很 好 领 会 .【 注 】 这 是 一 个 很 有 代 表 性 的 题 目 , 许 多 题 都 是 由 这 个 题 演 变 来的 . 如2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 0 0 0 2 10 0 0 1 2就 是 当 = = 1 时 的 情 形 ,又 如3 2 0 0 01 3 2 0 00 1 3 0 0 0 0 0 3 20 0 0 1 3就 是 当 = 2, = 1 的 情 况 .例 1 .2 .5 计 算 n阶 行 列 式81 第 1 篇 线 性 代 数cos 1 0
29、0 01 2cos 1 0 00 1 2cos 0 0 0 0 0 2cos 10 0 0 1 2cos.【 思 路 】 这 也 是 一 个 三 对 角 行 列 式 , 注 意 第 1 行 第 1 列 元 素 是cos 与 其 他 主 对 角 元 素 2cos 不 同 ,为 了 得 到 递 推 公 式 , 要 从 最 后一 行 展 开 .【 解 】 记 原 式 为 Dn ,则Dn = ( - 1 ) n+ n - 1 1 ( - 1 ) n - 1 + n - 1 1 Dn - 2 + ( - 1 ) n+ n 2cos Dn - 1= 2cos Dn - 1 - Dn - 2 .以 下 用
30、数 学 归 纳 法 ,先 算 n = 1 和 n = 2 时 的 值 :D1 = cosD2 = 2cos2 - 1 = cos2 .假 设Dk - 2 = cos( k - 2 ) , Dk - 1 = cos( k - 1) ,则 Dk = 2cos D k - 1 - Dk - 2 = 2cos cos( k - 1) - cos ( k - 2)= cos k + cos ( k - 2 ) - cos( k - 2 )= cos k .故 Dn = cos n 对 任 意 自 然 数 n 成 立 . 【 解 毕 】【 技 巧 】 当 得 到 递 推 公 式 后 , 可 以 看 到 由 D1 , D2 可 推 出 D3 , .先 算 D1 , D2 ,找 到 规 律 , 然 后 用 数 学 归 纳 法 验 证 . 最 后 一 步 是 利 用积 化 和 差 公 式 得 出 的 .例 1 .2 .6 计 算 n阶 行 列 式91第 1 章 行 列 式
