1、定义域与值域一 函数定义域的求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（1） ；（2） （细化到每一步） 。1xy2156xy二 函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，如 正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数 ,等等,其值域可通过观察直接得到。y=kx+b y=ax+b y=2x 例 求函数1,2yx的值域例 2. 求 函 数 3的 值 域 。2、配方法配方法是求 二次函数 值域最基本的方法之一。例、求函数25,yxR的值域。 再 求 2,1x,52y的 值 域 。解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)1(2 ,1由 二 次 函 数 的 性 质 可 知
2、 ： 当x=1 时 ， ymin， 当 1x时 ， 8ymax故 函 数 的 值 域 是 ： 4， 8例 3：求函数 y=(x2+x+2)的值域。 （这是瑶瑶最容易错的类型）点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由x2+x+20, 可知函数的定义域为 x1，2。此时x2+x+2= （x 1/2）29/4 0，9/40 x2+x+23/2,函数的值域是0,3/2练习：求函数 y=2x5 154x 的值域.(答案:值域为yy3)3、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)一般用在 y=ax+b/cx+d 的形式中。例 求函数456xy值域。提前讲反函数的概念，反函数的定义
3、域就是原函数的值域。3464563435xyyyx,分母不等于 0,即35y例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。求函数 y=(10x+10-x)/(10x10-x) 的值域。4、根判别式法：只要分式中含有一个二次函数就可以用根式判别法。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。例 4 求函数 y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y 2）x2(y2)x+(y-3)=0 （）当 y2 时, 由 =(y2)24（y
4、2）x+(y3)0 ，解得：2x10/3当 y=2 时, 方程( )无解。函数的值域为 2y10/3。例 4. 求 函 数 2x1的 值 域 。解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程0)y()(2（ 1） 当 时 ， R0)1y(4)1(2解 得 ： 23y（ 2） 当 y=1 时 ， 0x， 而 3,故 函 数 的 值 域 为 ,2练习：求函数 y=1/(2x23x+1) 的值域。（答案：值域为 y8 或 y0）。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数1xey
5、，2sin1y，2sin1coy的值域。用 y 表示出 x 就可以了。复习下指数函数6.换元法，一般形如 y=ax+b+cx+d 或 y=ax+b+cx2+d。注意：带根号的表达式。例 2 求函数 y=x-3+2x+1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t=2x+1 （t0 ）,则 x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为y|y7/2。练习：求函数 y=(x-1)x 的值域。（答案： y|y3/4Y=(154x)+2x-5 ；（y|y3）例
6、求函数23yx的值域例 15 求函数 的值域。17.图像法，一般用在带有绝对值符号的函数，先分段表示，再作图。例 6 求函数 y=x+1+(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 2x+1 (x1)y= 3 (-12)显然函数值 y3,所以，函数值域 3，。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。8.单调性，一般会给出 X 的范围。增+增=增，减+ 减=减，注意，增减无法判断利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：设 f(x)=4x,g(x)= 1-3x
7、,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x 1-3x在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3 )例 10. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 为 ：2令 ,21， 显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y， 在 1上 也 为 无 上
8、界 的 增 函 数所 以 当 x=1 时 ， 21有 最 小 值 ， 原 函 数 有 最 大 值2显 然 0， 故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(练习题1、求下列函数的定义域： 2153xy 21()xy02()41xx2、设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ _；函数f()1， fx()2的定义域为_； f(3、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 (1)fx23， (21)fx；函数 的定义域为 。24、 知函数 的定义域为 ，且函数 的定义域fx() 1,()()Fxfmfx存在，求实数 的取值范围。m5、 求下列函数的值域(1) 23yx()xR23yx1,2x31xy31xy() 26xy25941xy 31yx 245yx245yx12yx6、 已知函数 的值域为1，3，求 的值。2()1xabf,ab
