1、第三章 量子力学初步,主要参考书：褚圣麟编的原子物理学杨福家编的原子物理学,内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述,3.1 微观物质的波粒二象性,一、光的波粒二象性,光的波动性：光的干涉、衍射、偏振。,光的微粒性：黑体辐射、光电效应。,一个光子的能量:,按照相对性原理，能量与质量的关系：,波数,-光的波粒二象性,二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量 E 和一定动量 p 的自由粒子，相当于具有一定频率 和一定波长 的平面波，二者之间的关系
2、为：,与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。,-德布罗意关系式。,粒子的德布罗意波长：,1当 时，,2当 时，,德布罗意波的实验验证：戴维孙和孔斯曼在德布罗意的建议提出以前，在1921到1923年间就观察到，电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角度上散射较强，当时未有合理的解释。其实这已经显示了电子的波动性。,三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。,1实验装置,由热金属丝发射的电子，加速后经过前后几个小孔，形成一道电子束，打在晶体上。晶体可以绕一平行于电子束的轴转动。接收器（电子探测器）同一个灵敏电流
3、计相接，用以测量收到的电子的数量。电子探测器可以在一圆弧上移动，圆弧的圆心在晶体上，所以，电子探测器可以在不同角度接受从晶体散射出来的电子。,2实验结果,(1)当U不变时，I与的关系如图：不同的，I不同；在有的上将出现极值。,(2)当不变时，I与U的关系如图：当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化。,当 时加强-布拉格公式。,波程差：,3 实验解释,经过电场加速的电子：,根据电子在晶体上散射的实验，强波束射出的条件是：,(1),此式与实验数据符合，从而证实了电子的波动性及德布罗意波的正确性。,3.2 测不准原理,在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的。,在量子理论中，
4、要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的。这个限制来源于微观物质的二象性。,海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是 ,那么同时测得其动量 也有一个不确定范围 二者的乘积总是大于一定的数值。即：,测不准原理,一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出),电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。由单缝衍射的暗条纹的条件：,知：第一级暗条纹符合,x方向上，粒子坐标的不确定度为：,粒子动量的不确定度为：,海森伯严格推的测不准关系,狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用
5、是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。,如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。,1927年，海森堡首先推导出不确定关系：,二、不确定关系,测不准原理来源于物质的二象性。是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。对微粒不可能象经典力学那样准确知道物质的位置和动量，对微观物体的恰当描述是说它处于某一位置的几率，而在它可能出现的空间中有一个位置几率的分布。,3.3 波函数及其物理意义,一、波函数,现在考虑一个自由粒子的波。自由粒子不受力，动量不变，所以同它联系的波长也不变，是单色波。代表平面单色波的公式为
6、：,r是原点到这波面任何一点的距离，rn是从原点到这波面的垂直距离。 将（1）式改成复数形式：,矢量代表波长倒数的数值和波的前进方向。,量子力学中一般用下式表示一个自由粒子的波：,二、波函数的物理意义： 一粒自由粒子怎样和这样一个波联系起来呢？波函数究竟代表什么意思？,玻恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率，这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。如果有大量的粒子，那么在某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比。将这种情况同光来对比，光的强弱同光子的几率成正比，我们知道光的强弱同光波的电场或磁场强度的平方成正比，这样来类比，可见在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意
7、波的波函数平方 成正比。如果 是复数，就用 代表 我们可以将在体积 中发现一个粒子的几率表达为：,函数既然具有这样的物理意义，必须满足一些条件，就是它必须是连续的、单值的、有限的。几率不会在某处发生突变，所以函数必须随处连续。在任何处，只能有一个几率，所以函数是单值的。几率不能无限大，所以函数必须是有限的。,代表在单位体积内发现一个粒子的几率，因而称几率密度。这就是德布罗意波的物理意义。,2归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的总几率应当为1,三、波函数的标准条件及归一化,1波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几
8、率一般不发生突变。,对x、y、z分别求二次偏导：,3.4 薛定谔波动方程,一、薛定谔方程的建立,1自由粒子的薛定谔方程,对t求一次偏导：,自由粒子的薛定谔方程。,三者相加：,拉普拉斯算符：,自由粒子:,因为自由粒子的速度较光速小得多,则有：,2一般粒子的薛定谔方程,一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为,对于一个处在力场中的非自由粒子，它的总能量等于动能加势能,这就是处于力场中的非自由粒子的薛定谔方程。即：薛定谔的一般方程,E为一常数,二、定态薛定谔方程能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代入方程
9、：,波函数分离变量：,解出：,定态波函数,定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量,定态薛定谔方程,如果 、是方程的解，那么它们的的线性组合 也是方程的解， 为任意常数。即如果 、是体系可能的状态，那么它们的的线性组合 也是体系一个可能的状态,4态迭加原理,3具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒,三、薛定谔方程的讨论,1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势场 中随时间变化 的规律。,2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。,子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛定谔方程
10、，就可以求出任意时刻的状态 。,5在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所,4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。,以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 m=0 的粒子，这是方程的局限性。,上节内容回顾,二、自由粒子的薛定谔方程：,三、一般粒子的薛定谔方程,一、自由粒子的波函数,四、定态薛定谔方程,定态波函数,四、代表力学量的算符,每一个力学量可以用一个算符来表示。下面介绍薛定谔方程中几个常用的算符。把自由粒子的波函数对x求一阶偏导.,可见动量Px可用算符 代表。同样可
11、以写出代表动量Py和Pz以及代表动量平方的算符如下。,由前面推导知：,将上式对时间 t 取一阶偏微商得：,代表能量的算符E,哈密顿算符,将哈密顿算符运算于u(r), 即有：,此式是于时间无关的薛定谔方程,此方程称为本征值方程，由此求出的u称为能量算符的本征函数，同每个本征值函数u对应的E值，称为能量算符的本征值。,3.5 量子力学问题的几个简例,例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？,解：由于粒子做一维运动，所以有,因此一维定态薛定谔方程为,1方程的通解,(1),所以波函数为零，即,粒子不可能跑到
12、阱外去，,(2),时，,， 方程为,令,二阶齐次微分方程，它的通解为,式中A、B为两常数。,2常数的确定及能量量子化,根据波函数的标准条件，波函数应连续，,当,时，,表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。,波函数的归一化：, 能量是量子化的,3讨论,能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。,n=1,2,3,n=1,2,3,3.6 量子力学对氢原子的描述,主要了解一下内容：,（一）量子数 的物理意义,1主量子数 与能量量子化,当 时， 能量是量子化的。,2角量子数 和角动量量子化 角动量是量子化的。,
13、3磁量子数m和空间量子化 个 角动量在外场方向的分量也是量子化的，即空间取 向量子化。,第三章作业第七题P114,7、粒子位于一维对称势场中，势场形式如下图，即：,试推导粒子在EV0情况下，其总能量E满足的关系式。,解：由薛定谔方程（定态）,在 0xL, V=0, 则为：,解微分方程,（1）式,在xL,薛定谔方程为：,（2）式,不符合波函数的标准条件，舍去。,则在 XL时，波函数为：,在边界上两边的函数应是连续的，即在边界上两边的函数和函数的一阶微商应相等。则有：,在X=0处：两函数值相等，则：,在x=o处：两函数的一阶微商相等。则：,在x=L处：两函数值相等。则：,在x=L处：两函数的一阶微商相等。则：,这就是总能量满足的能量关系式,谢 谢 大 家,
