1、 Y.P.M 数学竞赛讲座 1 方程问题方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组) 与根的问题.一、解方程(组)数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组) 是研究处理这一中心 问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.1.指对方程例 1:(2002 年美国数学邀请赛试题 )若方程组 的两组解为(x 1,y1),(x2,y2),则 log30(x1y1x2y2)= .164log25lyx解析:类题:1.(2010 年全国高中数学联赛江 苏初赛试题) 方程 9x+|1-3x|=5 的实数解为 .(2009 年全国高中数学联赛江 苏初赛
2、试题) 已知 = ,则实数 x .13xx(2006 年全国高中数学联赛福建初 赛试题) 方程 = 解的个数是( )x8276(A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多2.(2009 年第二十届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题)方程 = 的解 x .)762(log13x136log(2007 年全国高中数学联赛安徽初 赛试题) 设函数 f(x)=lg(10-x+1),方程 f(-2x)=f-1(2x)的解为 .(2004 年全国高中数学联赛天津初 赛试题) 若关于 x 的方程 =x 只有一个实数解,则 a 的值等于 .axlg23.(2011 年全国高中数学联赛湖南初 赛试题) 对于
3、正整数 a,b,c(abc) 和实数 x,y,z,w,若a x=by=cz=30w + + =x1yz.试求 a+b+c 的值.w12.换元法例2:(2005年美国数学邀请赛试题 )已知方程2 333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为 (m,n)=1),则m+n= .nm解析:类题:1.(2007 年全国高中数学联赛湖北初 赛试题) 已知 a,b 是方程 log3x3+log27(3x)=- 的两个根,则 a+b= .34(1999 年全国高中数学联赛河北初 赛试题) 已知 logab+3logba= ,当 ab1 时, 的值是 .2132ba2.(2006 年上海杯高二
4、试题)方程 sinx2=2 在区间0,20内有多少个实根？x(1994 年第五届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 2sinx=cosx 在0,2上的根的个数是 .2 Y.P.M 数学竞赛讲座 3.(2010 年美国数学邀请赛试题 )已知正实数 x,y,z 满足 xyz=1081,且 lgxlg(yz)+lgylgz=468,则 = .zyx22lglg(1993 年第四届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)已知 x1,y1,且 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(其中a0,a1),则 loga(xy)的取值范围是 .3.主元法例 3:(200
5、8 年全国高中数学联赛试题 )方程组 的有理数解(x,y,z)的个数为 . 0yzxy解析:类题:1.(2007 年全国高中数学联赛广西初 赛试题) kR,方程 x4-2kx2+k2+2k-3=0 的实数 x 的取值范围是 .(2006 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 实数 x、y、z(xy)满足:5(x-y)+ (z-y)+(z-x)=0,则52)(yxz= .2.(2006 年上海交通大学自主招生试题) 设 k9,解方程:x 3+2kx+k2x+9k+27=0.3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设 a、b 是常数,解方程组 ,并求出若使 x、y、z 是互不相同的正数,2zxybaa、b
6、 应满足什么条件？4.配方法例 4:(1997 年全国高中数学联赛 上海初赛试题) 设 x1,y1,则方程 x+y+ + =2( + )的解(x,y)13xy2xy=_.解析:类题:1.(2007 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 方程 +2 +3 = (x+y+z)的实数解(x,y,z)= .1x4y9z21(1992 年北欧数学奥林匹克试题 )试求大于 1 的实数 x,y,z 满足方程:x+y+z+ + + =2( + +3x1y3z2xy).2z2.(2010 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 满足方程: + =2 的所有实数为 .201209xx 01209xx(1995 年第六届
7、“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)如果关于 x 的方程 x+ =a 有且仅有一个实根,则4实数 a 的取值范围是 .3.(2005 年全国高中数学联赛福建初 赛试题) 实数 x,y,z 满足 x2+2y=7,y2+4z=-7,z2+6x=-14,则 x2+y2+z2= .5.不等式法Y.P.M 数学竞赛讲座 3 例 5:(2006 年全国高中数学联赛试题 )方程(x 2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .解析:类题:1.(1992 年第三届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 2cos =10x+10x+1 的实根的个数是 .3(
8、2001 年第十二届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)已知 a 是正常数且 a1,则方程 ax+a-x+1=3cos2y 的解是 .(2009 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 满足方程 log22cos2(xy)+ =-y2+y+ .的所有实数对(x,y)= .)(cos12xy432.(1991 年第二届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 x3 x2+3=0 的全部负根之和是 .63.(数学通报数学问题 1433 号)在正实数范围内,解方程组 .)23(zxyzy6.单调函数法例 6:(2001 年第十二届“ 希望杯”全国数学邀请赛试题)方程 log5(3x+4x)=
9、log4(5x-3x)的解集为 .解析:类题:1.(1992 年第三届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 3x+4x+5x=6x的解是 .(2006 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 设 t=( )x+( )x+( )x,则关于 x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0 的所有实数2165解之和等于 .2.(2008 年第十九届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题)设方程 x3+x+1=0 与 x+ +1=0 的根分别是 ,则 += .3x(1998 年第九届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)若 , 分别是方程 log2x+x+2=0 和 2x+x+2=0 的根,
10、则 += .(2011 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 设 是方程 x10x=2011 的解, 是方程 xlgx=2011 的解,则 = .2011.3.(1983 年第 17 届全俄数学奥林匹克 试题) 解方程组 .yyx232(1990 年第 16 届全俄数学奥林匹克 试题) 解方程组 .3123xzy7.方程的方程组法例 7:方程 x2+ =16 的实数解的和为 .)3(94 Y.P.M 数学竞赛讲座 解析:类题:1.(2007 年全国高中数学联赛天津初 赛试题) 方程 + =6 的实数解的个数为 .3)4(1x3)5(2x2.(2006 年美国数学邀请赛试题)使得 cos33x+c
11、os35x=8cos34xcos3x(10000 时有三个实根17.参数范围例 17:(1995 年全国高中数学联赛试题 )己知方程|x-2n|=k 在区间 (2n-1,2n+1上有两个不相等的实根,则 k 的取值x范围是( )(A)k0 (B)00),则 t3+4t=2t2+1 t3-8t2+16t-4=0 x1+x2+x3= (log2t1+log2t2+log2t3)= log2(t1t2t3)=4112类题:1.(2007 年全国高中数学联赛湖北初 赛试题) 已知 a,b 是方程 log3x3+log27(3x)=- 的两个根,则 a+b= .34解:令 log3x3=t log27(
12、3x)= t+ =- =(-1)+(- ) t=-1,- x= , a+b= + = .t31t3431319819810(1999 年全国高中数学联赛河北初 赛试题) 已知 logab+3logba= ,当 ab1 时, 的值是 .224ba解:令 logab=t(0,1) logba= t+3 = =6+ t= logab= a=b2 =1.t1t213112.(2006 年上海杯高二试题)方程 sinx2=2 在区间0,20内有多少个实根？x(1994 年第五届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 2sinx=cosx 在0,2上的根的个数是 .3.(2010 年美国数学邀请赛
13、试题 )已知正实数 x,y,z 满足 xyz=1081,且 lgxlg(yz)+lgylgz=468,则 = .zyx22lglg解:设 lgx=a,lgy=b,lgz=c a+b+c=81,ab+bc+ca=468 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=812-2468=752.(1993 年第四届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)已知 x1,y1,且 loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(其中a0,a1),则 loga(xy)的取值范围是 .解:log a2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2) (logax1)
14、2+(logay1)2=4,logax=2cos+1,log ay=2sin+1 loga(xy)=2(cos+sin)+22-2 ,2+2 .3.主元法例 3:(2008 年全国高中数学联赛试题 )方程组 的有理数解(x,y,z)的个数为 . 0yzxy解析:若 z=0,则 ,解得 ,或 ;若 z0,则由 xyz+z=0 得 xy=-1,由 x+y+z=0 得 z=-x-y,代入0yx0yx1xy+yz+zx+y=0 得 x2+y2+xy-y=0 (- )2+y2+(- )y-y=0 (y-1)(y3-y-1)=0,易知 y3-y-1=0 无有理数根,故 y=1 x=-1 z=0,矛y1y盾
15、,故该方程组共有两组有理数解.类题:1.(2007 年全国高中数学联赛广西初 赛试题) kR,方程 x4-2kx2+k2+2k-3=0 的实数 x 的取值范围是 .解:x 4-2kx2+k2+2k-3=0 k2+2(1-x2)k+x4-3=0 4(1-x2)2-4(x4-3)0 x- , .2(2006 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 实数 x、y、z(xy)满足:5(x-y)+ (z-y)+(z-x)=0,则52)(yxz= .解:由题知, 是方程(x-y)t 2+(z-y)t+(z-x)=0 的根,而该方程恒有一根 t=-1 =( -1)(- ).5 2)(yxz52.(2006 年上
16、海交通大学自主招生试题) 设 k9,解方程:x 3+2kx2+k2x+9k+27=0.解:x 3+2kx2+k2x+9k+27=0 xk2+(2x2+9)k+x3+27=0,=(2x 2+9)2-4x(x3+27)=(6x-9)2 k= k= x2)96()(-x-3,或 k=- x=-k-3,或 x2+(k-3)x+9=0 x=-k-3,或 x= .x9322)3(9)3(kk3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设 a、b 是常数,解方程组 ,并求出若使 x、y、z 是互不相同的正数,22zxybaa、b 应满足什么条件？解: (a-z)2=b2-z2+2z2 2az=a2-b2.若 a=0
17、b=0 x=y=z=0;若 a0 z= x+y= ,22zxybaab2ab2xy=( )2 x,y 是方程 t2- t+( )2=0 的两根 =aabab4.配方法例 4:(1997 年全国高中数学联赛 上海初赛试题) 设 x1,y1,则方程 x+y+ + =2( + )的解(x,y)13xy2xy=_.解析:x+y+ + =2( + ) (x+ -2 )+(y+ -2 )=0 x2-x+3-2(x-1)13xy2xy13x213y21x+ y2-y+3-2(y-1) =0 (x-1)2-2(x-1) +( )2+ (y-1)2-2(y-1) +2xy xyy( )2=0 (x-1)- 2+
18、 (y-1)- 2=0 x=y= (3+ ).1xx1yy13类题:1.(2007 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 方程 +2 +3 = (x+y+z)的实数解(x,y,z)= .1x4y9z21解: +2 +3 = (x+y+z) x-2 +y-4 +z-6 =0 ( -1)2+( -2)2+( -3)1x4y9z21x4y9z2=0.(1992 年北欧数学奥林匹克试题 )试求大于 1 的实数 x,y,z 满足方程:x+y+z+ + + =2( + +13xy13z2xy).2z2.(2010 年全国高中数学联赛浙江初 赛试题) 满足方程: + =2 的所有实数为 .201209xx 0
19、1209xx解: + =2 | -1|+| +1|=2 0 1.201209xx 01209xx1(1995 年第六届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)如果关于 x 的方程 x+ =a 有且仅有一个实根,则412x实数 a 的取值范围是 .解:x+ =a x+ =a x+ + =a ( + )2=a( 0) a .412x2)14(x41x241x41x413.(2005 年全国高中数学联赛福建初 赛试题) 实数 x,y,z 满足 x2+2y=7,y2+4z=-7,z2+6x=-14,则 x2+y2+z2= .解:把三个式子相加得:(x+3) 2+(y+1)2+(z+2)2=0 即得.
20、5.不等式法例 5:(2006 年全国高中数学联赛试题 )方程(x 2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .解析:由(x 2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005 x0.(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005 (x+ )2051x(1+x2+x4+x2004)=2006 x+x3+x5+x2005+ + + + =2006 2006=(x+ )+(x3+ )+(x2005+ )21003=2002051x3201xxx12051x6.等号成立:x n= x=1 原方程的实数解个数为 1.x1类题:
21、1.(1992 年第三届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 2cos =10x+10x+1 的实根的个数是 .3(2001 年第十二届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)已知 a 是正常数且 a1,则方程 ax+a-x+1=3cos2y 的解是 .(2009 年全国高中数学联赛上海初 赛试题) 满足方程 log22cos2(xy)+ =-y2+y+ .的所有实数对(x,y)= .)(cos12xy43解:log 22cos2(xy)+ log 22=1;-y2+y+ 1.当且仅当 y= ,2cos2(xy)= cos( x)= x=.)(cos12xy43 )(cs2xy21
22、2.(1991 年第二届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 x3 x2+3=0 的全部负根之和是 .6解:当 x0 时,x 3 x2+3=0 x+ = .x+ = + + .当且仅当 = ,即 x= ,x3 x2+3=623x62x2x32x366(x- )2(x+ )=0.3613.(数学通报数学问题 1433 号)在正实数范围内,解方程组 .)23(zxyzxy解:x=z 3(3-2z)=zzz(3-2z)z 3=z,同理可得:yx,zy xzyx x=y=z x=1.)2(zz6.单调函数法例 6:(2001 年第十二届“ 希望杯”全国数学邀请赛试题)方程 log5(3x+4
23、x)=log4(5x-3x)的解集为 .解析:令 log5(3x+4x)=log4(5x-3x)=t 3x+4x=5t,5x-3x=4t (消去 3x)5x+4x=5t+4t (由函数 f(x)=5x+4x单调递增)x=t3x+4x=5x ( )x+( )x=1 (由函数 f(x)=( )x+( )x单调递减,且 f(2)=1)x=2.554类题:1.(1992 年第三届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 3x+4x+5x=6x的解是 .(2006 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 设 t=( )x+( )x+( )x,则关于 x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0 的所有
24、实数2165解之和等于 .解:2.(2008 年第十九届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题)设方程 x3+x+1=0 与 x+ +1=0 的根分别是 ,则 += .3x(1998 年第九届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)若 , 分别是方程 log2x+x+2=0 和 2x+x+2=0 的根,则 += .(2011 年全国高中数学联赛河南初 赛试题) 设 是方程 x10x=2011 的解, 是方程 xlgx=2011 的解,则 = .2011.解:3.(1983 年第 17 届全俄数学奥林匹克 试题) 解方程组 .yyxx232解:两式相减得 y2-x2=(x3-3x2+2x)-
25、(y3-3y2+2y) x3-2x2+2x=y3-2y2+2y,令 f(t)=t3-2t2+2t (t)=3t2-4t+20 x=yf x3-4x2+2x=0 x=0,(1990 年第 16 届全俄数学奥林匹克 试题) 解方程组 .312323xzyx解:令 f(t)= ,则 f(t)0,且 f(t)在(0,+)内单调递增.x,y,z0,若 xy,由 x=f(y),y=f(z),z=f(x) f(y)321t f(z) yz f(z)f(x) zx 矛盾.x=y=z t= .1437.方程的方程组法例 7:方程 x2+ =16 的实数解的和为 .)3(9解析:设 =y xy=3(x+y) (x
26、+y)2=x2+y2+2xy=16+6(x+y) (x+y)2-6(x+y)-16=0 x+y=8,-2)(3162yx , t2-8t+24=0(无解),t 2+2t-6=0 和为-2.248xy6xy类题:1.(2007 年全国高中数学联赛天津初 赛试题) 方程 + =6 的实数解的个数为 .3)4(1x3)5(2x解:设 a= ,b ,则 a+b=6,a3+b3=6,因此 a2+b2-ab=1,从而可得 ab= ,因此 a,b 是方程 t2-3)4(1x3)5(2x 3256t+ =0 的两个实根,判别式1 (10a+6b+21+1)(15+1)=1 不成立.所20b以 a=- ,b=-
27、 .5231类题:1.(2011 年全国高中数学联赛湖南初 赛试题 B)如果 x 和 y 是非零实数,使得|x|+y=3 和|x|y+x 3=0,那么 x+y 等于 .解:当 x0 时,x+y=3 y=3-x x(3-x)+x3=0 x2-x+3=0 无实根;当 x0) =( )xxx =( )x =( )x = x= x+y= = m+n=529.x4343x4134138125647x8110.消去常数法例 10:(2007 年全国高中数学联赛 安徽初赛试题) 函数 f(x),g(x)的迭代函数定义为:f (1)(x)=f(x),f(2)(x)=f(f(x),f(2)(x)=f(f(n-1
28、)(x);g(1)(x)=g(x),g(2)(x)=g(g(x),g(2)(x)=g(g(n-1)(x).其中 n=2,3,4,设 f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.方程组 ,的解为 .)()(69)()(xgzfyf解析:f (n)(x)=2nx-3(2n-1)=2n(x-3)+3;g(n)(x)=3nx+3n-1=3n(x+1)-1, .-,-,-得: x-y= (y-z)=( )()(69)()(xgzfy xzzyyx1)(3)(269 )(3)(269yxzzy962396232(z-x)=( )3(x-y) x-y=0 y-z=0 x=y=z,代入得:2 9(x-3)+3=3
29、6(x+1)-1 x=- x=y=z=- .9 1231类题:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初 赛试题) 已知a 2(b+c)=b2(a+c)=2011,且ab,则abc= .解:二式相减得:a 2(b+c)-b2(a+c)=0 ab+(a+b)c=0 c=- ,代入 a2(b+c)=2011 a2(b- )=2011 a2babb=2011 abc=ab(- )=-2011.ba2.(2008年全国高中数学联赛天津初 赛试题) 已知实数a、b、c、d,且 ab,cd.若关系式:a2+ac=2,b2+bc=2,c2+ac=4,d2+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d的值为 .0解
30、:二式:a 2+ac=2,b2+bc=2相减得:(a-b)(a+b+c)=0 a+b+c=0;二式c 2+ac=4,d2+ad=4相减得:(c-d)(c+d+a)=0 a+c+d=0b=d b2+ab=4;由a 2+ac=2,b2+bc=2 a2b+abc=2b,ab2+abc=2a相减得:ab=-2 b2=-6 b=-3a 6a+2b+3c+2d=6a+4b+3c=3a+b=0.11.整体换元法例 11:(2006 年全国高中数学联赛试题 )解方程组 .62044332wzyxz解析:设 x+z=a,xz=b,y+w=c,yw=d,则 a2=x2+z2+2b,a3=x3+z3+3ab,a4=
31、x4+z4+4a2b-2b2,c2=y2+w2+2d,c3=y3+w3+3cd,c4=y4+w4+4c2d-2d2.由 x-y+z-w=2 a-c=2 a=c+216324886342cca8126320ccdab类题:1.(2011 年全国高中数学联赛湖南初 赛试题 B)已知 + = , + = , + = ,则 + + 的值为 .x1zy2y1xz3z1yx4x2y3z4解:设 x+y+z=a,则 + = x2-ax+2a=0 =1- ,同理可得: =1- , =1- + + =2.x1ax2ay3axz4x2y3z42.(2003 年德国数学奥林匹克试题 )解方程组 .2)(73y解:设
32、 x+y=a,xy=b x,y 是方程 t2-at+b=0 的两根 t2=at-b x2+y2=a(x+y)-2b=a2-2b,x3+y3=a(x2+y2)-b(x+y)=a3-3ab.所以 a=1,b=-2 .273ab12.数形结合法例 12:(2006 年美国数学邀请赛试题 )已知实数 x,y,z 满足x= + ,y= + ,z= +162y2z251zx3612x,且 x+y+z= (m,nZ +, 为最简根式),则 m+n= .3nmn解析:由根式的形式联想到勾股定理,作ABC,使 AB=z,BC=x,CA=y,则三边 AB,BC,CA 上的高分别为 , , .设6145ABC的面积
33、为 S,则 x=8S,y=10S,z=12S p= (x+y+z)=15S,由海伦公式:S 2=p(p-x)(p-y)(p-z) S= x+y+z= .21 71572类题1.(2011 年全国高中数学联赛湖北初 赛试题) 已知 a,bR,关于 x 的方程 x4+ax3+2x2+bx+1=0 有一个实根.求 a2+b2的最小值.解:x 4+ax3+2x2+bx+1=0 x3a+xb+(x4+2x2+1)=0(视为 a,b 关于的直线 l,直线 l 上的 P(a,b)满足:|OP|d,其中 d 是点 O到直线 l 的距离) = = + 2 a2+b28(当且仅当2ba26|1|x1|24x|4x
34、1|24xx= 1,a+b= 4,a2+b2=8 a=b= 2).2.(2008 年美国数学邀请赛试题)令 a,b(ab)为正实数. 为 的可能的最大值 ,使得方程组 a2+y2=b2+x2=(a-x)2+(b-y)2ba的解(x,y)满足 0x0 时有三个实根(2006 年全国高中数学联赛河北初 赛试题) 包含方程 x+lnx=3 的根的区间为 ( )(A)(1, ) (B)( ,2) (C)(2,e) (D)(e,3)ee17.参数范围例 17:(1995 年全国高中数学联赛试题 )己知方程|x-2n|=k 在区间 (2n-1,2n+1上有两个不相等的实根,则 k 的取值x范围是( )(A
35、)k0 (B)01,则 的取值范ab围是 .(2006 年河南初赛题)己知关于 x 的方程|x|=ax+1 有一个负根,而且没有正根 .则实数 a 的取值范围是( )(A)a|a1 (B)a|a1,或 a-1 (C)a|a1 (D)a|0a1(2004 年北京高一竞赛初赛题)方程|x|-1|=a 恰有 3 个实数根,则 a 等于 .(2007 年浙江宁波高一试题)已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用()yfx,(0.1)b“二分法”求这个零点（精确到 0。0001）的近似值，那么将区间 等分的次数至多是 。(2008 年福建初赛题)方程 的实数解个数是（ ）22331xxA.0
36、 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个原方程为 .分 、 、 、 四种情况讨论|1|(|)1x2x知满足方程的实数解有 2 个 (2006 年上海 TI 杯高二试题)(1)画出函数 f(x)=|3|x|-1|的图像;(2)如果关于 x 的方程|3|x|-1|=2 x+a 有 4 个实数根,求实数 a 的取值集合.(1990 年第一届“希望杯 ”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 arcsin(sinx)= 的实根个数是 。16|x(2009 年第二十届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高二) 试题)方程 的实数根的个数为（ ）log(0,1)xaA0 B1 C2 D3(1998 年第九届“ 希望杯”全国数学邀请赛(高一) 试题)在区间2，3上，方程 的实根个数xx232logl是-（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个(2008 年浙江初赛题)设实系数一元二次方程 有两个相异实根，其中一根在区间 内，另一20xab(0,1)根在区间 内，则 的取值范围是 。(,24ba解： 根据题意，设两个相异的实根为 ，且 ，则12,x12x， 。3a102b于是有 ，也即有31,ab。1, 424a故有 ，即取值范围为 。421ba3,(2011 年全国高中数学联赛试题)求所有三元整数组(x,y,z),使其满足 .15,2033yxz解:
