1、1章节题目第四节 数量积 向量积 混合积内容提要向量的数量积向量的向量积向量的混合积重点分析数量积的定义及运算法则向量积的定义及运算法则难点分析向量的数量积、向量积的运算习题布置：1（1） 、3、6、7、8、10402P备注2教 学 内 容一、两向量的数量积实例 一物体在常力 作用下沿直线从点 移动到点 ，以 表示位移，则力F1M2s所作的功为 (其中 为 与 的夹角)Fcos|WFs启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.定义 向量 与 的数量积为abba(其中 为 与 的夹角)cos|abcos|ba,Pr|ja,Prcs|ajbb|.r|ja结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和
2、另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积” 、 “内积”.关于数量积的说明： .|)1(2a证 ,0.|cos| 2)2(baba证 ,0,|,0|,cos2.ba)(,0cos.0cos|数量积符合下列运算规律：3（1）交换律： ;ab（2）分配律： ;)(cc（3）若 为数：),()ba若 、 为数：.(a设 ,kjiazyxkjibzyxb)(z )(z,kji,0ikji1|.kji数量积的坐标表达式zyxbabacos| ,|222cs zyxzyxzyxbab(两向量夹角余弦的坐标表示式)由此可知两向量垂直的充要条件为 ba0zyxb例 1 已知 ， ，求（1）
3、；（2） 与 的夹角；4,1a2,bab（3） 在 上的投影.b解 )( )(2.9222cos2 zyxzyxzyxbab,1.434ajbaPr|)3( .3|rbaj例 2 证明向量 与向量 垂直.cc)()(证 aba)()(cc)(0cabca)()(二、两向量的向量积实例 设 为一根杠杆 的支点，有一力 作用于这杠杆上 点处力 与OLFPF的夹角为 ，力 对支点 的力矩是一向量 . PFMLPQO它的模 |FMsin|O的方向垂直于 与 所决定的平面, 指向符合右手系.P定义 向量 与 的向量积为 abab(其中 为 与 的夹角)sin|c的方向既垂直于 ，又垂直于 ，指向符合右手
4、系.向量积也称为“叉积” 、 “外积”.关于向量积的说明： .0)1(a)0sin(b/2.,(ba证 )(,|5,0sinba/)(或 si.0n| ba向量积符合下列运算规律：（1） .（2）分配律： .)(cbacb（3）若 为数：).()a设 ,kjaizyxkjizyxb)(z)(bz,0kji,ijkij,j.kba kbajbaibaxyxzxzyzy )()()( (向量积的坐标表达式)向量积还可用三阶行列式表示 zyxbakjiba由上式可推出 a/zyx、 、 不能同时为零，但允许两个为零，xbyz例如， zyxba00,yxa补充表示以 和 为邻边的平行四边形的面积.|a
5、6abac例 3 求与 ， 都垂直的单位向量.kji42kjib2解 zyxbaac143,50j,510|2|c.kj例 4 在顶点为 、 和 的三角形中，求 边上的)2,1(A),65(B)1,3(CAC高 .BDAC解 3,40C0,54AB三角形 ABC 的面积为S= 2122161,A,5)3(42|BDCS|5BD.|例 5 设向量 两两垂直，符合右手规则，且 ， ， ，pnm, 4|m2|n4|计算 .)(解7),sin(| mnm,8124依题意知 与 同向，np0),(m cos| .2438三、向量的混合积定义 设已知三个向量 、 、 ，数量abcba)(称为这三个向量的混
6、合积，记为 .c设 ,kjiazyx,kjizyxcczba)(zyxzyxcba(混合积的坐标表达式)关于混合积的说明：（1）向量混合积的几何意义：向量的混合积 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 、cbac)( a、 为棱的平行六面体的体积.bcab)2(cc)(a)(.)(bc（3）三向量 、 、 共面ab0例 6 已知 ，计算 .2c )()(ac解 )(a8)( acbcab0)()( cc)(ba)(22.4例 7 已知空间内不在一平面上的四点 、 、),(1zyxA),(2zyxB、 , 求四面体的体积.),(3zyxC),(4zyxD解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 、 、 为棱的平行六面体BCD的体积的六分之一61ABV,121212zyx333C,141414zyxAD1414143332226zyxV式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.四、小结向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）向量的混合积（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）思考题已知向量 ， ，证明 .0ab222)(| baba思考题解答 )(sin| ,22 )(cos1| ,22|ba)(cs|,2ba|.2ba9
