1、1量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与温度mT 成反比，即T=b（常量） ；m并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解 根据普朗克的黑体辐射公式， （1）dvechvdkThvv 183以及 ， （2）c， （3）|dv有 ,18)(|52kThcvedc这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 +d 之间的辐射能量密度。本题关注的是 取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对 的一阶导数为零，由此可求得相应的 的值，记作 。但要注意的是，还需要m验证 对 的二阶导数在 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求m得
2、的 就是要求的，具体如下：m2015186 kThckThc eedkThcekc)1(5如果令 x= ，则上述方程为kThcxe)1(5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xkhcTm把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 K3109.2这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。31.2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波
3、长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知。hP所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能 ） ，满足eVcmEek 62105.，ekp2因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式，有 nmEcmhphee71.035.2104296在这里，利用了，eVhc6024.。e15最后，对 Eme2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微
4、观世界才能显现。自然单位制： 在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速 c，约化普朗克常数 ,玻耳兹曼常数 k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位 eV） 。例：1nm=5.07/keV，1fm=5.07/GeV，电子质量 m=0.51MeV. 核子（氢原子）质量M=938MeV，温度 .518.60KeV41.3 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德TE23布罗意波长。解：根据 ，eVK5106.8知本题的氦原子的动能为 ,29.324kTE显然远远小于 这样，便有2c核EcmhHe2nm3.10109.7.494
5、6这里，利用了 。eVecmHe 962984最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相应的德布罗意波长就为 mkThE2据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。51.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；解：玻尔索末菲的量子化条件为： nhpdq其中 q 是微观粒子的一个
6、广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为 m，于是有221xpE这样，便有 )(2k这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移 处 p=0，x21kxE可解出 。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 xx nhdxkEmdkEm)21()21(xx )()(2)21(nhdkEmx 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换： sinkEx这样，便有 2si2cos2hkdE2nkm21cos2hdEnhkm6 2nhkmE。能量间
7、隔 mkE最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。71.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 2cmhvEe此外，还有 p于是，
8、有 2cmhe61231.40.40.405nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。8第二章波 函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令 ，得(,)(iEtrte*(2)()()()(
9、2i i i iEt Et Et EtiJmirerererei （ ） （ ）可见 无关。tJ与92.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的球面波。1解：在球坐标中 1sinreer所以， 。12rJ和 只 有 方 向 分 量*1112223() ()1 () )( ikrikrikrikrrrimieeeiiirrkem 同向，表示向外传播的球面波。rJ1与*2222223() ()11 () )( ikrikrikrikrrriieeemiiirrkke 反向，表示向内(即向原点) 传播的球面波。
10、rJ与2102.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知 t=0 时刻波函数为，求 。12sinsi,0(,0), ,xxaa (,)xt解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tU与)()()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()( 0 1112 xxxx： )()( 22Edma： )()()( 3332 xxUxx由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须0)(1x3即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(2xmEdx令 ，得 2mEk)()(22k其解为 xBAxcossin)(2根据波函
11、数的标准条件确定系数 A、B，由连续性条件，得)0(123a11 0B sinkaA),32 1( 0i k xanAxsi)(2由归一化条件 d得 1sin02ax由三角函数正交性 0ii2a mnmadxxanxAsi2)(2可见 E 是量子化的。2mEk),31( 2n对应于 的归一化的定态波函数为naxxeantxtEin n , ,0 ,si2),(补充：粒子的一般含时波函数为 ，在 t=0 时刻()()ntct212sin,0sisin,0(,0) , ,ncxaxxaxaa所以 ，综上得任意时刻粒子波函数为12/,n其 余 1 212(,)(,)sisin,0(,t)0,i iE
12、t Etxttxexexaaa 122.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 aA1证： 2.6-14）axanAn ,0 ),(si由归一化，得 aAaxndxxanAdAdaaan22222)(sico)(s1)(i归一化常数 1132.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：一维谐振子第一激发态的波函数 ， 。212)(xex/m得几率密度为 22311 4)(xxex对其微分得 2 )(3231 xdx由极值条件，令 ， 0)(1可得 xx 由 的表达式可知， 时， 。显然不是最大几率的位置。)(1x 0， 0)(1而 22)51(4 )(6(2 )( 423 32
13、312 x xex ed而即 231) 0xd可见 是所求几率密度最大的位置。 #1xm142.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ，证明粒子的)(xU定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为)()()(2xExUdx将式中的 代换，得)(以 )()()(2xxdx利用 ，得)(U)()()(2xExUdx比较、式可知， 满足同样的 S-方程，都是描写在同一势场作和用下的粒子状态的波函数。如果体系不存在简并，它们描写的是同一个状态，因此 之间)(x和只能相差一个常数 。方程、可相互进行空间反演 而得其对方，c x由经 反演，可得，x )( xc由再经 反
14、演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。)() 乘 ，得 xcx(2可见， ，即 12c1当 时， ， 具有偶宇称，)()(x当 时， ， 具有奇宇称。c x如果体系存在简并，对 做线性组合：)(x和)()(,22xx根据叠加原理， 也满足 S-方程，且满足),(15， 具有偶宇称， ()x()x， 具有奇宇称。S-方程的定态波函数可以表达为 （偶宇称）和 （奇宇称）的叠加形式。()x()x综上，当势场满足 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#)( U162.7 一粒子在一维势阱中运动，axUx ,0 )(求束缚态( )的能级所满足的方程。E补充：取电子质量，势阱深 20eV，a=0
15、.5nm ，给出基态（和第一激发态）能级的数值结果并作波出函数和概率密度的图。解法一：粒子所满足的定态 S-方程为)()()(2xExUdx按势能 的形式分区域的具体形式为)(U： )x()()x(d21101 ax： )()(22E： )x()(U)x(d33032 a整理后，得： )(1201E：. 2： 0)(3203U令 22021 )(EkEk则： 12：. 02k： 13各方程的解为17xkxk3222xkxk11111FeEcosDsinCBA由波函数的有限性，有0 )(31A有 限有 限因此xk311FeB由波函数的连续性，有 1 112 222322()(),sincos (
16、10)in,sic ()okakaaeCDBFekak 1si (3)k整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得1 112222sincs0 inD0ioFcssika kaeBCeka解此（四元一次）方程即可得出 B、C、D、F ，进而得出波函数的具体形式。注意，系数依赖于未定常数 E，即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解，必须系数矩阵的行列式为零1 12222sincos0cin0issika kaekaeB 1 11 111 1 2222222co0sincos0inssincin ciosika kaka kakakakaee eke 11 111222
17、2222112csoincsin i()sicka kakaekaeka18 012ake 02cossin)(122 ak即 为所求束缚态能级(E)所满足的方程。1aktgk注意 都依赖于 E，做出函数 的图，其中束缚2, 21212()fEktgak态要求 0EU0，其零点即给出本征能量 E 的解。能级的特点：U0 较小（1/a）且无论多小时，存在且只存在 1 个束缚态，随 U0的增大，束缚态数增加。由于本征方程的解不定，可以差一个常系数，取 B 为自由量，将其余系数矩阵（部分）化为（消元法） 1 111 122222222sincos0cin0issiinsico0cocn0sinka kakak kekeBekkae 11 122222si(sinc)0coin0sinsiakaka kaBkeke 所以由 B 及前三个方程可得（注第四个方程和前三个是自洽的）1 112221222C(sin/cos)(B(cos/sin)(i)e Bka kakaeDkaF 即粒子的波函数为 112223sincosxkx xCDkaFeB 可由波函数的归一化得出。#
