1、2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化 第二章 平面问题的基本理论 本章内容 应变分量与应力分量之间的关系，即 物理方程 ，也称为 本构方程 。 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系由虎克（ Hooke）定律给出。 111111x x y zy y z xz z x yx y x yy z y zzx zxEEEGGG E 是弹性模量， G 是剪切弹性模量， 是泊松比，是材料自身的特性
2、， 不随点的坐标值及方向改变 。 21EG 第二章 平面问题的基本理论 2.5物理方程 平面应力问题的物理方程 在平面应力问题中， 0z 1121x x yy y xx y x yEEE z x yE 由虎克定律，得 ，可以用来求得薄板厚度 的改变， 可以由 和 计算得出， 不作为独立的未知函数 。 因为在平面应力问题中有 0yz 0zx 和 ，所以有 0yz 0zx 和 第二章 平面问题的基本理论 2.5 物理方程 z x y 平面应变问题的物理方程 在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿 z方向移动，即 w = 0，所以 z方向的线段都没有伸缩，即 0z 由虎克定律第三式，得 z x
3、y 22111121x x yy y xx y x yEEE ，代入虎克定律，得 平面应变问题的物理方程 第二章 平面问题的基本理论 2.5 物理方程 因为在平面应变问题中也有 0yz 0zx 和 ，所以有 0yz 0zx 和 在平面应力问题的物理方程中，将 E 和 作如下变换， 可得平面应变问题的物理方程 22111121x x yy y xx y x yEEE 21EE 1 同样， 在平面应变问题 的物理方程中，将 E 和 作如下变换， 可得平面应力问题的物理方程 2121EE 1 第二章 平面问题的基本理论 2.5 物理方程 平面应变问题的物理方程 平面应力问题的物理方程 1121x x
4、 yy y xx y x yEEE 平衡微分方程： 应力与体力之间的关系 第二章 平面问题的基本理论 平面问题三大方程小结 00yxxxx y yyfxyfxy , , x y x yu v v ux y x y 22111121x x yy y xx y x yEEE 几何方程： 应变和位移的关系 物理方程： 应力与应变的关系 1121x x yy y xx y x yEEE , , , , , , , x y x y x y x y uv 平面问题简化为 8个未知数， 8个方程 由于是微分方程，所以还需考虑弹性体 边界 上的 条件 ，才能定解。 xyOyxyyxyxxy xxyP 22 1
5、1 1abS uA BCS xyo.M.第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，又分为 位移边界条件 、 应力边界条件 和 混合边界条件 。 位移边界条件 ：若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件 )()(),()( ssuu ss 其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全固定的边界，其约束位移分量均为 0。 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 应力边界条件 ：若给定了部分边界上面力分量，则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每
6、一点的应力与面力的关系式。可将 P13式 (2-3） 应力分量 px和 py分别用面力分量 代替可得： 其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为该点处边界面外法线的方向余弦。 ( ) ( )( ) ( )x x y s xx y y s yl m f sl m f s第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 ( ) , ( )xyf s f s1.应力边界条件中的面力和应力具有 不同的正负号规定 ，且分别作用于通过边界点的不同面上。 2. 应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系， 它是边界面 坐标的函数方程 ,必须
7、把边界坐标表达式带入到边界条件式左边的应力分量中去，该式才成立； 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 应力边条件较为复杂，比较常用，需要说明的几点： 对于边界面为坐标面的情形， 应力边界条件 (2-15)可进行简化如下： 由于 面力和应力具有不同的正负号规定 ，带入式（ 2-15）左右两边应力与面力分量的 正负号确定方法不同 。因此，在 正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的 ，可以看出：在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。 yaxxyxaxx ff )(,)( 若 x=a为正 x面， ybxxyxbxx ff )(,)( 若 x=b为负 x面
8、， 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 xyO xfy xfyxaxb应力边界条件 可采用两种表达形式： 1、在边界上取出一个微分体， 考虑其平衡条件 ，便可得出应力边界条件 常用于斜边界面 ，用式（ 2-15）给出； 2、 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致） 。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向，然后再按照应力的正负号规定写出应力条件。 常用于坐标面上的应力边界条件，直接写出。 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 xyO xfy xfyxaxb这两种方法应用见后面
9、的例子。 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 例 2.1：悬臂梁受力如图，试写出其上、下两边应力边界条件。 上表面： xypq( ) ( )( ) ( )x x y s xx y y s yl m f sl m f s2hy 0 , 1lm 2 0xy yh 2y yh p 下表面： 2hy 0 , 1lm2xy yh q 20y yh 例 2.2：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。 0s inc o s0s inc o syxyxyx右侧面： s ins inc o sc o ss inc o syyyxyxyx左侧面： 第二章 平面问题的
10、基本理论 2.6 边界条件 例 2.3：如图，为上、下边分别受均布力作用的三角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不写）。 qyxyyy00)(0)(上边界： pyxyxyxc o ss in0c o ss in下边界： 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 作业：如图所示，薄板条在 y方向受均匀拉力作用（视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分的尖端 A处无应力存在 (注： Ox是角平分线 )。 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件 混合边界条件： 一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如式（ 2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（ 2-15）； 另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力边界条件， 课本图 2-7。 第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
