1、- 1 -湖北省部分重点中学 2013-2014 学年度下学期高二期中考试数 学 试 卷（理 科）本试卷满分 150 分 答题时间 120 分钟祝考试顺利注意事项:1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。2选择题作答：每小题选出答案后，将答案填在答题卡上的对应题号后，答在其他位置无效。3填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的区域内，答在其他位置一律无效，答在对应区域外、填错答题区域均无效。一.选择题：共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线 yx42的焦点坐标是( )A. ),0( B. 1,0 C. )
2、0,( D. )0,1(2下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）A半径为 r圆的面积 2Sr，则单位圆的面积 S；B由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D由平面直角坐标系中圆的方程为22()()xaybr，推测空间直角坐标系中球的方程为222()()()xaybzcr3.把复数 z的共轭复数记为 ,已知 izi34)1(,则 z等于( )A. i1 B. i1 C. D. 24用数学归纳法证明 1)()2( nnn（ （ *N）时，从“kn到 ”左边需增乘的代数式为（ ）A 12 B )1(k C 1k D32k5若 )(xf在 R 上可导,
3、3)2(2xfxf,则0)(dxf( ) A. 6 B. 8 C. 4 D.56设 a，若函数xyea， R，有大于零的极值点，则（ ）A、1eB、 1 C、 1 D、1ae- 2 -7. 已知抛物线方程为24yx，直线 l的方程为 40xy，在抛物线上有一动点 P 到 y轴的距离为 1d，P 到直线 l的距离为 2d，则 12的最小值为 ( ) A 25B1C25D1258下列不等式对任意的 (0,)x恒成立的是（ ）A sin1x B 2 C ln(1)x D xe9椭圆2yab(0)的一个焦点为 1F，若椭圆上存在一个点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 1PF相切于该线段的中点，则椭
4、圆的离心率为( ) A.2B.23C.59D.5310定义在 (0,)上的单调递减函数 ()fx，若 ()f的导函数存在且满足xf)(，则下列不等式成立的是（ ） A.3(2)f B.3(4)f C.2(3)4f D. (2)1f二填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分11双曲线24x+ ky=1 的离心率 3e，则 k的值为 12观察下列等式 1 2395672481049照此规律，第 n个等式为 13由曲线 si,cosyx与直线0,2x所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是_;- 3 -14过抛物线218xy的焦点作直线交抛物线于 AB、两点，线段 的中点 M的
5、纵坐标为 2，则线段 AB长为 15已知函数32() 1fxaxa的图象经过四个象限，则实数 a的取值范围是 三解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 （本小题满分 12 分）已知命题 p： 64x，命题 q：2210xm（ ） 若“ p”是“ q”的必要而不充分条件，求实数 m的取值范围17 （本小题满分 12 分）函数1()ln()fxaxR（1） 0a时，求 ()f最小值；（2）若 ()fx在 2,是单调减函数，求 a取值范围18 （本小题满分 12 分）已知四棱锥 PABCD，底面 为矩形，侧棱 PABCD底 面 ，其中 26BCAP，
6、 MN,为侧棱 上的两个三等分点，如下图所示.（）求证： /B平 面 ；（）求异面直线 与 D所成角的余弦值；（）求二面角 C的余弦值.- 4 -19 （本小题满分 12 分）已知圆 1C的方程为22()1xy，定直线 l的方程为 1y动圆 与圆 1外切，且与直线 l相切（1）求动圆圆心 的轨迹 M的方程；（2）直线 l与轨迹 相切于第一象限的点 P, 过点 作直线 l的垂线恰好经过点 (0,6)A，并交轨迹 于异于点 P的点 Q，求直线 的方程及 Q弦 的长。20 （本小题满分 13 分）如图，椭圆2:1xyCa)0(的焦点在 x 轴上，左右顶点分别为 1,A，上顶点为 B，抛物线 12,分
7、别以 A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点 O， 1C与2C相交于 直线 2yx上一点 P. （1）求椭圆 C 及抛物线 1,的方程；（2）若动直线 l与直线 OP 垂直，且与椭圆 C 交于不同的两点 M,N，已知点 2,0Q，求QMN的最小值。21 （本小题满分 14 分）已知函数)(ln1)()2Raxxaxf .(1) 当 210a时，讨论 )(f的单调性；（2）设 4)(2bxxg,当、31a若对任意 ),20(1x存在 ,21x 使,021f求实数 的取值范围。- 5 -2013-2014 学年度上学期高二期中考试（理科）(答案)一. BADBB CDCDA 二. 11. 32k 12
8、. 2(1)2(3)(1nn 13. 14. 6515. （ 6,5）三. 解答题16.解: 2102xp或3 分 mxq:或6 分依题意: 1或 210x或 8 分9210m12 分17. （1） 0a时1()=lnfx2()fx01时 ()01fx、时 ()0f 21ax(),fx、单减，在 单增- 6 -1x时 ()f有最小值 1 6 分（2）22=axf ()fx在 ,为减函数，则012x2恒成立， xa)1(2最小值 9 分令22()4gx则10()0gx4a12 分18 （）证明：连结 AC交 BD于 O，连结 M ， ABD底 面 为 矩 形， 为 中 点 ，MNP、 为 侧 棱
9、 的 三 等 分 点， N，/O， ,BD平 面 平 面 ，AB平 面. 4 分（）如图所示，以 A为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 (0,)， (3,0)， (,60)C， (,)D，,P， 2,41M， ,2N,(,)(0,63)AND, 1265cos,APN,异面直线 与 D所成角的余弦值为 15. 8 分（） 侧棱 PABC底 面 , (0,3)AP平 面 的 一 个 法 向 量 为, 设 MB平 面 的法向量为 ()xyzm,PABCDMNyx- 7 -(3,60)(1,4)BDM，并且 ,BDMm,4xyz，令 y得 2x， z,MBD平 面的一个法向量为 (,1)m.2
10、cos,3APm, 12 分由图可知二面角 C的大小是锐角,二面角 大小的余弦值为23. 12 分19. 解（1）设动圆圆心 C 的坐标为 (,)xy，动圆半径为 R，则221|(1xR，且 | 2 分可得 2)|y由于圆 C1 在直线 l的上方，所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l的上方，所以有 10y，从而得22()xy，整理得28xy，即为动圆圆心 C 的轨迹 M的方程 5 分（2）如图示，设点 P 的坐标为20(,)，则切线的斜率为04x，可得直线 PQ 的斜率为 04x，所以直线 PQ 的方程为2004()8xyx由于该直线经过点 A（0,6） ，所以有20648x，得2016x
11、因为点 P 在第一象限，所以 04x，点 P 坐标为（4,2） ，直线 PQ的方程为 y 9 分把直线 PQ 的方程与轨迹 M的方程联立得 284x，解得 12x或 4 1612xkPQ12 分20解：（）由题意，A（ a，0） ，B（0， 2） ，故抛物线 C1 的方程可- 8 -设为 axy42，C2 的方程为 yx24 1 分由 xya242得 )28,(4P 3 分所以椭圆 C:162y，抛物线 C1： ,162xy抛物线 C2： yx245 分（）由（）知，直线 OP 的斜率为 ，所以直线 l的斜率为设直线 l方程为bxy2由 bxy2162，整理得 0)168(252bx设 M（
12、1,） 、N（ 2,y） ，则 5,52121 7 分因为动直线 l与椭圆 C 交于不同两点，所以 0)168(20b解得 10b 8 分 58)(21)2)( 221121 bxbxbxxy因为 ),(,211 yQNyQM所以 2)()( 12121 yxxxx- 9 -514692b 11 分因为 0，所以当 98b时， QNM取得最小值其最小值等于3514)(6)98(52 13 分21. 解（1） 222 )1()1()( xaxaxaf 3 分当、a，即10时，此时 )(f的单调性如下：x（0，1） 1（1， a）a1（,1a）)(f+ 0 _ 0 +x增 减 增当 210a时，
13、)(xf在(0,1)， （,1a）上是增函数，在（1，）上是减函数。7 分（2）由（1）知，当 31a时， )(xf在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数.于是 )2,0(1x时，,(1f.8 分从而存在 ,使 2(xg）=32)(4min12xfbx 2,13)(minxxg10 分考察 ,14)22b的最小值。当 1b时， )(xg在 ,1上递增， min)(xg= 617,325)(b（舍去）- 10 -.11 分当 2b时， ， )(xg在 2,1上递减，bgx,3248)2()(min 6163.12 分当 21b时，,324)()(minbgx无解。13 分综上 6314 分
